Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.

Определение. Пусть G  произвольное множество, на котором задана операция «·», которая двум элементам a, bG сопоставляет третий элемент a·bG так, что выполнены следующие аксиомы: a, b, cG

1. (a·b)· c = a ·(b·c) – ассоциативность умножения;

2. e G такой, что e·a=a·e=a – существование единичного элемента;

3.  a^–1 G такой что a·a^–1=e – существование обратного элемента.

Тогда множество вместе с данной операцией называется группой и обозначается G, ·. Если дополнительно выполняется a, bG a·b=b·a, то группа называется коммутативной.

Примеры. 1. Z, +, Q, +, R, + , C, +  целые числа по сложению, рациональные числа по сложению, действительные числа по сложению, комплексные числа по сложению. Роль единичного элемента везде играет число ноль. Роль обратного элемента – противоположное число.

2. Q\{0}, ·, R\{0}, ·, C\{0}, ·  рациональные числа без нуля по умножению, действительные числа без нуля по умножению, комплексные числа без нуля по умножению. Роль единичного элемента везде играет число 1. Роль обратного элемента – число 1/a. А вот, целые числа без нуля по умножению группу не образуют: множество Z не содержит обратных чисел ко всем числам, кроме 1 и 1.

3. R_mⁿ , +  совокупность всех матриц размера mn по сложению.

4. GL(n, R) – общая линейная группа, состоящая из всех квадратных матриц порядка n с определителем не равным нулю, по умножению. Роль единичного элемента играет единичная матрица, роль обратного элемента – обратная матрица.

5. SL(n, R) – специальная линейная группа, состоящая из всех квадратных матриц порядка n с определителем равным 1, по умножению.

6. O(n) – ортогональная группа, состоящая из всех ортогональных матриц порядка n, по умножению.

7. E(2)  группа всех движений плоскости относительно операции композиции (т.е. последовательного выполнения) преобразований.

Определение. Пусть G, · – группа, а HG – некоторое подмножество. Тогда H называется подгруппой группы G, если относительно операции «· » сама H является группой.

Для того чтобы проверить, что подмножество HG является подгруппой достаточно проверить, что оно замкнуто относительно групповой операции: a, bH  a·bH.

Например, Z, + и Q, + – это подгруппы в R, +; SL(n, R) и O(n) – это подгруппы в GL(n, R).

§2. Группа преобразований плоскости Минковского.

В двумерном пространстве Минковского скалярное произведение векторов x;\s\up8(((x¹, x²), y;\s\up8(((y¹, y²) в некотором базисе {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( } вычисляется по формуле

x;\s\up8((·y;\s\up8(( = x¹y¹ + x²y².

По этой формуле e1;\s\up8(( ² = 1, а e2;\s\up8(( ² = –1. Условие изотропности вектора x;\s\up8(((x¹, x²) имеет вид:

(x¹)²  (x²)² = 0.

Пусть l₁ и l₂ – прямые, которые задаются уравнениями

l₁: x¹ – x² = 0, l₂: x¹ + x² = 0.

Тогда все изотропные векторы коллинеарны этим прямым; а если отложить изотропный вектор из начала координат, то он будет лежать на одной из этих прямых.

Прямые l₁ и l₂ образуют две пары вертикальных углов. В одной из этих пар будут лежать времениподобные векторы, если отложить их от начала координат, а в другой – пространственноподобные.

Ортогональность векторов понимается так же, как и в евклидовом пространстве: x;\s\up8((y;\s\up8((   x;\s\up8((·y;\s\up8((= 0.

Определение. Движением плоскости Минковского называется её преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов.

Очевидно, что параллельные переносы и симметрии относительно координатных осей будут движениями плоскости Минковского. Преобразование, действующее по формуле

(9)

x¹= x¹ch t + x²sh t,

x²= x¹sh t + x²ch t, tR,

назовем гиперболическим поворотом. Пусть вектор y;\s\up8(((x¹, x²) получен гиперболическим поворотом вектора x;\s\up8(((x¹, x²). Тогда

y;\s\up8((² = (x¹ch t + x²sh t)² – (x¹sh t + x²ch t)²

= (x¹)²(ch²t – sh²t) – (x²)²(ch²t – sh²t)=(x¹)² – (x²)² = x;\s\up8((².

Таким образом, гиперболический поворот сохраняет скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение векторов можно выразить через скалярный квадрат:

x;\s\up8((·y;\s\up8((= ((x;\s\up8((+y;\s\up8(( )² – x;\s\up8((² – y;\s\up8((²).

Поэтому гиперболический поворот сохраняет скалярное произведение, т.е. является движением плоскости Минковского.

Примем без доказательства, что произвольное движение плоскости Минковского является композицией гиперболического поворота, параллельного переноса и, возможно, симметрии относительно одной из координатных осей.

Из (9) следует, что при гиперболическом повороте базисные векторы e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( переходят в векторы e1(;\s\up8(( (ch t, sh t)_B , e2(;\s\up8(( (sh t, ch t)_B . Если отложить e1(;\s\up8(( от начала координат и начать изменять t, то его конец опишет одну ветвь гиперболы. Аналогично, e2(;\s\up8(( опишет одну ветвь сопряженной гиперболы. Прямые l₁ и l₂ являются общими асимптотами этих гипербол.

Все движения плоскости Минковского образуют группу, которая называется группой преобразований Лоренца. Один из вариантов её обозначения: E(1, 1).