§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
Определение. Система векторов {e1, e2,…, ek}En называется ортонормированной, если все векторы единичные и взаимно ортогональные, т.е. i, j = 1…k выполнено ei·ej = ij = (напомним, что ij называется символом Кронекера).
Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.
Действительно, пусть
1e1+ 2e2 +…+ kek = o.
Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e1:
(1e1+ 2e2 +…+ kek)·e1 = o·ei 1e1·e1 + 2e2·e1 +…+ kek·e1 = 0
Отсюда
1·1 + 2·0 +…+ k·0 = 0 1 = 0.
А
налогично,
домножая на2
получим
2
=
0
и т.д. Итак,
1=
2
=…=
k
=
0.
Теорема 3.1. В En существует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов.
Доказательство. Докажем теорему для случая n=3. Выберем произвольный базис {a1, a2, a3} в E3.
1 шаг. Пусть e1=a1/|a1|. Тогда e1 – единичный вектор.
2 шаг. Пусть b2=a2–e1. Попробуем подобрать так, чтобы b2 получился ортогональным к e1. Умножим последнее равенство скалярно на вектор e1:
b2·e1=a2·e1–(e1·e1) b2·e1=a2·e1–.
Значит, при =a2·e1 мы получим b2·e1=0. Теперь нормируем этот вектор: e2=b2/|b2|. Получим, что e2 – единичный вектор и e1·e2=0.
3 шаг. Пусть b3=a3–1e1–2e2. Попробуем подобрать 1 и 2 так, чтобы b3 получился ортогональным к e1 и e2. Умножим последнее равенство скалярно на вектор e1 и его же на вектор e2:
b3·e1=a3·e1–1(e1·e1)–2(e2·e1) b3·e1=a3·e1–1.
b3·e2=a3·e2–1(e1·e2)–2(e2·e2) b3·e1=a3·e1–2.
Значит, при 1=a3·e1, 2=a3·e2 мы получим b3·e1=0 и b3·e2=0. Теперь нормируем этот вектор: e3=b3/|b3|. Получим, что e3 – единичный вектор и e1·e2=0, e1·e3=0.
И
так,
мы получили ОНБ{e1,
e2,
e3}.
Аналогичный процесс с большим числом шагов можно провести и для пространства произвольной размерности. Этот процесс называется процессом ортогонализации Грамма-Шмидта.
Пусть теперь в En задан ОНБ B ={e1, e2,…, en}. Пусть x, yEn – произвольные векторы. Пусть x(x1, x2,… xn)B , y(y1, y2,… yn)B . Тогда
x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xiei)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1yjej ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixi yj(ei·ej ) =\s\up1(\a\vs11( n;ixi yjij =\s\up1(\a\vs11( n;i =1 xi yi .
Итак,
x·y = x1y1+ x2y2 +…+ xnyn , (3.13)
т.е. в произвольном евклидовом пространстве формула для вычисления скалярного произведения векторов относительно ОНБ такая же, как и в обычном геометрическом пространстве относительно декартовой СК.
Из этой формулы следует, что
|x|=. (3.14)
Примеры. 1. Пространство V3 с обычным скалярным произведением векторов: a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = |a;\s\up8(( |b;\s\up9(( cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) представляет собой евклидово пространство. Аксиомы А11– А14 в точности совпадают со свойствами этого произведения. Базис B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.
2. В пространстве Rn для столбцов
X = , Y = .
определим
X·Y = x1y1+ x2y2 +…+ xnyn. (3.15)
Упражнение 1. Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11– А14.
Таким образом, Rn со скалярным произведением (3.15) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы
E1 = , E2 = , ... , En =
составляют ОНБ.
Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Ln векторное пространство Rn может служить его моделью. Для этого надо в Ln выбрать базис B и каждому вектору x(x1, x2,… xn)B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве En ОНБ B ={e1, e2,…, en} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:
x(x1, x2,… xn)B X = , y(y1, y2,… yn)B Y = .
Тогда x·y = x1y1+ x2y2 +…+ xnyn = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что En изоморфно евклидову векторному пространству Rn или, что евклидово векторное пространство Rn является моделью пространства En.
Пусть теперь базис B ={f1, f2,…, fn} в En не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторов x(x1, x2,… xn)B, y(y1, y2,… yn)B?
Обозначим gij = fi·fj , и из этих чисел составим матрицу
=.
Она называется матрицей Грама базиса B . Эта матрица, очевидно, является симметрической: gji = fj·fi= fi·fj = gij . Тогда
x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xiei)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1yjej ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixiyj(ei·ej ) =\s\up1(\a\vs11( n;igijxiyj . (3.16)
Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (3.16) можно переписать в матричном виде:
x·y=XТY= . (3.16)
Например в двумерном евклидовом пространстве эта формула выглядит так:
x·y == = g11x1y1 + g12(x1y2 + x2y1) + g22x2y2.
Если базис ортонормированный, то gij = ij и = E (единичной матрице). Отметим ещё, что для любого базиса det>0.
Предположим теперь, что оба базиса B = {e1, e2, e3} и B= {e1, e2, e3} являются ортонормированными. Тогда должно выполняться
e12 = (c11)2 + (c12)2 + (c13)2 = 1,
e1·e2 = c11·c21 + c12·c22 + c13·c32 = 0.
И аналогично, сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы C равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца матрицы C на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Напомним, что матрица, обладающая такими свойствами, является ортогональной, т.е. для неё выполнено C·CT= E. Мы доказали теорему.
Теорема 3.2. Переход от одного ОНБ к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы.