§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.

Теорема 1.2. detA = (;\s\do10(I(j1(1)^I(j₁^{, j}₂^{,…, j}_n⁾aj1; 1aj2; 2… ajn;n.

Поясним, что здесь записано. Мы выбираем в матрице n элементов, так чтобы из каждой строки и каждого столбца был выбран ровно один элемент. Мы расположим эти элементы в порядке возрастания номеров строк и составим их произведение. Тогда номера столбцов образуют перестановку I(j₁, j₂,…, j_n). Если эта перестановка нечётная, то мы добавляем к произведению знак минус. Затем мы все такие произведения складываем. Число слагаемых равно числу различных перестановок (j₁, j₂,…, j_n) нижних индексов, т.е. равно n!.

Например, множество индексов {1, 2, 3} имеет 6 перестановок:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1),

среди которых нечётными являются вторая, третья и шестая. Поэтому разложение определителя третьего порядка имеет вид

= a1;1a1;2a1;3+ a2;1a3;2a1;3+ a3;1a1;2a2;3a1;1a3;2a2;3a2;1a1;2a3;3a3;1a2;2a1;3.

Эту формулу можно запомнить виде схемы

§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Определение. Система из m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) имеет вид:

(1.11)

Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b¹, b²,…, b^m – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:

A= , B =

Символы x¹, x²,…, xⁿ называются неизвестными. Матрица

A^*=

Называется расширенной матрицей СЛУ (8).

Определение. Решением системы линейных уравнений (1.11) (частным решением) называется любой набор чисел (¹, ²,…, ⁿ), при подстановке которых вместо неизвестных x¹, x²,…, xⁿ все уравнения системы превращаются в верные равенства. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Например, следующая система несовместна:

СЛУ может иметь более, чем одно решение. Тогда она имеет бесконечное количество решений. Например, все решения системы

можно записать в виде (12, ),R (т.е.  выступает здесь в качестве параметра: вместо  мы можем подставить любое число, и получится частное решение). Такая запись называется общим решением системы.

Пусть теперь число уравнений в СЛУ равно числу неизвестных: m=n. Тогда матрица A является квадратной. Обозначим =detA, а _i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B. Например,

₁= .

Теорема 1.3. (Правило Крамера). Если 0, то СЛУ (1.11) (при m=n) имеет, и притом единственное решение. Это решение можно найти по формулам

x¹ = , x² = , …, xⁿ = .

Обратите внимание, что данная теорема состоит из двух утверждений. Первое предложение о существовании и единственности решения имеет самостоятельное большое значение.

Пример 3. Найти решение системы уравнений

Решение.

== –2, ₁= = 6, ₂= = – 4.

x₁ = = = –3, x₂ = = = 2.

Ответ: (–3, 2).

§11. Ранг матрицы.

Определение. Рангом системы строк (системы столбцов) матрицы A называется максимальное количество её линейно независимых строк (столбцов). Т.е. говорим, что ранг системы строк матрицы A равен r₁, если в матрице существует r₁ линейно независимых строк, а любые r₁+1 строк линейно зависимы; говорим, что ранг системы столбцов матрицы A равен r₂, если в матрице существует r₂ линейно независимых столбцов, а любые r₂+1 столбцов линейно зависимы.

Определение. Рангом матрицы A называется максимальная размерность её ненулевого минора. Т.е. говорим, что ранг матрицы A равен r, если в ней существует ненулевой минор порядка r, а любой минор порядка r+1 равен нулю (или таких миноров вообще нет).

Ранг матрицы обозначаем rankA или rkA. Если L – ненулевой минор порядка r, то он называется базисным минором. В матрице может быть несколько базисных миноров. Строки и столбцы, в которых расположен базисный минор будем называть базисными.

Пример 3. В следующей матрице первая и вторая строки пропорциональны, а третья строка им не пропорциональна.

A= .

Поэтому в матрице есть 2 линейно независимые сроки, а 3 строки линейно зависимы. Значит ранг системы строк матрицы A равен 2.

Минор

L12;23 = 0,

а любой минор порядка три должен включать в себя часть первой и часть второй сроки. Поэтому любой минор порядка 3 равен нулю. Значит, L12;23 – базисный минор и rankA=2. Также базисными будут миноры L13;23 , L14;23 , L34;23 , L24;23 .

Перебирать все миноры в поисках базисного – это очень трудоёмкая задача. Поэтому можно использовать метод окаймляющих миноров. Если мы нашли ненулевой минор L порядка k, то мы затем перебираем не все миноры порядка k+1, а только те, которые содержат в себе минор L (их будем называть окаймляющими). Если все окаймляющие миноры окажутся равными нулю, то и все миноры порядка k+1 тоже будут равны нулю, и мы сделаем вывод, что rankA=k. Если среди окаймляющих миноров мы найдём ненулевой минор L, то переходим к минорам порядка k+2, которые содержат в себе L, и т.д.

Другой метод вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора – это метод Гаусса. С подобным методом мы уже познакомились, когда приводили матрицу к треугольному виду с целью вычислить её определитель. При вычислении ранга матрицы мы можем позволить себе больше видов действий.

Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования.

1. Вычёркивание срок и столбцов, которые состоят только из нулей.

2. Перестановка строк или столбцов.

3. Умножение строки или столбца на число не равное нулю.

4. Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), домноженной на некоторое число.

Предложение 4. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Шаг 1. Вычеркнем все строки и столбцы, состоящие только из нулей.

Шаг 2. В первом столбце матрицы выберем ненулевой элемент и строку, в которой он находится, поставим на первое место.

Шаг 3. Разделим первую строку на a1;1. К каждой i-ой строке матрицы прибавим первую строку, домноженную на число a1; i. В результате мы получим матрицу вида

A= .

Шаг 4. Совершаем те же действия над матрицей

B=,

совершая их на самом деле над всей матрицей. Т.е., если в матрице B какой-либо столбец равен нулю, то мы вычёркиваем его во всей матрице A. В результате мы получим матрицу вида

A= .

Шаг 5. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей

,

совершая на самом деле их над всей матрицей A.

В конечном итоге мы получим матрицу вида

, (1.12)

определитель которой равен 1. Сколько в этой матрице осталось строк и столбцов, таков и ранг матрицы. Для того, чтобы указать в исходной матрице A базисный минор, надо вспомнить какие номера в ней имели оставшиеся не вычеркнутыми строки и столбцы. В этих сроках и столбцах находится базисный минор.

В процессе преобразований мы вычеркнули все строки, которые не были базисными, т.е. они превратились в нулевые. До этого мы прибавляли к ним другие строки, домноженные на некоторые числа. Получается, что небазисные строки являются линейной комбинацией тех строк, которые мы к ним прибавляли. Мы могли совершать элементарные преобразования над столбцами матрицы и прийти к аналогичному выводу для столбцов. Отсюда вытекает теорема.

Теорема 1.4. (О базисном миноре) Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк, а любой столбец – линейной комбинацией базисных столбцов.

Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 1.5. (О ранге матрицы) Ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов и равен рангу матрицы.

Мы можем продолжить элементарные преобразования матрицы (1.12) и с помощью единиц, стоящих на диагонали занулить все элементы, обозначенные звёздочками. В результате мы получим единичную матрицу. Тем самым мы базисный минор можем привести к виду единичной матрицы. Если исходная матрица A является квадратной и для неё detA0, то этот определитель и будет её базисным минором. При этом все столбцы будут базисными, и нам не придётся вычёркивать столбцы в процессе элементарных преобразований. Отсюда вытекает теорема.

Теорема 1.6. Если для квадратной матрицы detA0, то с помощью элементарных преобразований одних только строк матрицы мы можем привести эту матрицу к виду единичной матрицы.

Если не вычёркивать столбцы в матрице, но допускать их перестановку, то с помощью элементарных преобразований строк мы можем привести матрицу к виду

.

Для этого нам понадобится на первое место переставить базисные столбцы. Все оставшиеся не вычеркнутыми строки будут базисными и их количество равно рангу матрицы. Этот результат окажется нам очень полезным, когда мы будем вести речь о решении СЛУ методом Гаусса. Затем, с помощью выделенных единиц мы можем занулить все стоящие выше их элементы и наша матрица примет вид

. (1.13)

Теорема 1.4. Если для квадратной матрицы detA=0, её строки столбцы линейно зависимы (без доказательства).