- •Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- •Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над матрицами.
- •§3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- •§4. Определитель матрицы.
- •§5. Свойства определителя.
- •§6. Приведение к диагональному виду.
- •§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- •§8. Перестановки.
- •§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- •§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- •§11. Ранг матрицы.
- •§12. Умножение матриц.
- •§13. Обратная матрица.
- •§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§15. Ортогональная матрица.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§3. Многочлены.
- •§4. Комплексные матрицы.
- •Глава 3. Векторные пространства
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве
- •§3. Преобразование координат
- •§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- •§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- •Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- •§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •§4. Примеры решения задач.
- •Советы по поводу особых ситуаций.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- •§2. Действия над линейными операторами.
- •§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- •§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- •§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- •§5. Пространство Минковского m4.
- •Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- •§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель Литература
§2. Базис и координаты в векторном пространстве
Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:
А9. Существуют n линейно независимых векторов;
А10. Любые n +1 векторов линейно зависимы.
Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dimL=n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Ln.
Определение. Базисом в Ln называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.
Пусть B ={e1, e2,…, en} – базис в Ln, а xLn – любой вектор. Тогда система {x, e1, e2,…, en} состоит из n+1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть
ox +1e1+ 2e2 +…+ nen = o, (3.3)
и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно o0. Действительно, предположим противное: o= 0. Тогда среди 1, 2,…, n есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:
1e1+ 2e2 +…+ nen = o.
Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.
Поэтому o0. Тогда из (3.3) получаем
x = e1+ e2 +…+ en .
Обозначим xi = –i /o, i = 1,…, n, и получим что
x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen . (3.4)
Определение. Выражение (3.4) называется разложением вектора x по базису B. Числа x1, x2,…, xn называются координатами вектора x в базисе B. Пишем: x(x1, x2,… xn)B.
Докажем, что разложение (2) единственно. Предположим, что существует ещё одно разложение вектора x:
x = y1e1+ y2e2 +…+ ynen . (3.4)
Вычтем (3.4) – (3.4):
o = (x1 y1)e1+ (x2 y2)e2 +…+ (xn yn)en . (3.5)
Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, которая равна нулевому вектору. Базисные векторы линейно независимы эта комбинация является тривиальной, т.е. все скобки в (3.5) равны нулю. Значит x1=y1, x2=y2,…, xn=yn, т.е. (3.4) совпадает с (3.4).
Если y = y1e1+ y2e2 +…+ ynen , то
x + y = (x1+ y1)e1+ (x2 + y2)e2 +…+( xn + yn)en ,
x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen .
Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Сопоставим каждому вектору x(x1, x2,… xn) столбец, составленный из его координат:
x(x1, x2,… xn) X = , y(y1, y2,… yn) Y = ,
x + y X +Y = , x X = .
Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Ln устроено точно также, как и Rn. Говорят, что Ln изоморфно Rn или, что Rn является моделью пространства Ln.
Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.