§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду

Определение. Выражение

k(x)=₁(x¹)² + ₂(x²)² +…+ _n(xⁿ)² (6.4)

называется диагональным видом квадратичной формы. Говорим, что квадратичная форма k(x) приведена к диагональному виду, если указан такой базис, в котором она имеет вид (6.4). Если в (6.4) все коэффициенты ₁, ₂,…, _n равны 1, 1 или 0, то говорим, что k(x) имеет канонический вид.

Теорема 6.2. Всякую квадратичную форму, определённую на векторном пространстве Lⁿ, с помощью выбора нового базиса можно привести к диагональному виду. Причём, если пространство является евклидовым, мы можем это сделать с помощью выбора нового ОНБ.

Доказательство. Пусть сначала наше пространство является евклидовым. Пусть k(x) – квадратичная форма, f(x,y) – полярная ей билинейная функция, A – соответствующий ей самосопряженный оператор. Выберем такой ОНБ, в котором матрица оператора имеет диагональный вид:

A = . (6.5)

Тогда k(x) тоже будет иметь такую же матрицу, а значит, будет иметь вид (6.4). Напомним, что базис, в котором матрица оператора имеет вид (6.5), состоит из собственных векторов оператора, а ₁, ₂,…, _n – это его собственные числа.

Впроизвольном векторном пространстве мы можем ввести скалярное произведение и, тем самым, превратить его в евклидово пространство. Для этого достаточно произвольный базис объявить ортонормированным. Тогда мы сможем применить описанный выше метод приведения к диагональному виду.

Существует и другой метод приведения квадратичной формы к диагональному виду в произвольном векторном пространстве, который мы рассмотрим на примере. Это метод выделения полных квадратов. Пусть в пространстве L³

k(x)=2(x¹)² + 3(x²)² + 5(x³)² + 4x¹x²  8x¹x³  4x²x³.

Соберём вместе все слагаемые, содержащие x¹, и дополним это выражение до полного квадрата; всё добавленное вычтем.

k(x)=2[((x¹)² + 2x¹x²  4x¹x³ + (x²)² + 4(x³)²  4x²x³) (x²)²  4(x³)² + 4x²x³] + + 3(x²)²  4x²x³+ 5(x³)^{2 =}

=2(x¹ + x²  2x³)² + (x²)²  3(x³)² + 4x²x^3.

Теперь мы группируем вместе все слагаемые, содержащие x² и дополняем это выражение до полного квадрата; добавленное вычитаем.

k(x)=2(x¹ + x²  2x³)² + [(x²)² + 4x²x³ + 4(x³)^2] 4(x³)² 3(x³)^{2 =}

=2(x¹ + x²  2x³)² + (x² + 2x³)² 7(x³)^2.

^{Делаем теперь замену координат:}

(6.6)

Мы знаем, что формулы замены координат выглядят так: X=C^1X. Значит, по формулам (6.6) мы можем выписать матрицу C^1. Для того чтобы найти формулы перехода новому базису, нам нужно знать матрицу C. Из (6.6) нетрудно выразить x¹, x², x³ через x¹, x², x³:

Теперь мы можем выписать матрицу перехода

C= ,

а по ней выписываем формулы замены базиса:

Подчеркнём, что данная процедура используется только в том случае, когда не ставится задача найти новый ОНБ в евклидовом пространстве.

Теорема 6.3. Всякую квадратичную форму, определённую на векторном пространстве Lⁿ, с помощью выбора нового базиса можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Приведём сначала квадратичную форму к диагональному виду. Сделаем затем ещё одну замену координат: xⁱ=xⁱ, если _i0, и xⁱ=xⁱ, если _i=0, i=1,…, n. Тогда _i(xⁱ)² превратится в (xⁱ)², если _i0, а 0·(xⁱ)² останется нулём. Матрица перехода к новому базису будет диагональной, и на диагонали будут стоять числа |_i|^1/2, если _i0, и единицы для _i=0.

Базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид, может не быть единственным. Если мы приводим квадратичную форму к диагональному виду в евклидовом пространстве с помощью ортогонального преобразования, то коэффициенты ₁, ₂,…, _n – это собственные числа соответствующего линейного оператора. Значит эти коэффициенты не зависят от того, какой именно ОНБ мы выбираем. Применительно к произвольным заменам базиса действует следующая теорема.

Теорема 6.4. (Закон инерции квадратичной формы) Число отрицательных, число положительных и число нулевых коэффициентов _i в каноническом или диагональном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором квадратичная форма приведена к этому виду (без доказательства).

Определение. Говорим, что квадратичная форма имеет сигнатуру

(k, l, m) или (+,…,+,,…,,0,…,0),

если в её диагональном виде есть k положительных коэффициентов, l отрицательных и m нулевых.

Определение. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), если k(x)>0 (k(x)<0) для всех ненулевых векторов xLⁿ. Квадратичная форма называется положительно полуопределённой (отрицательно полуопределённой), если k(x)0 (k(x)0) для всех xLⁿ.

Определение. Назовём главными минорами матрицы её левые верхние угловые миноры, т.е. миноры вида

, , , … , .

Теорема 6.5. (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные угловые миноры положительны. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда её главные угловые миноры чередую знаки и a₁₁<0 (без доказательства).