§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Напомним, что евклидово пространство отличается от просто векторного пространства тем, что в евклидовом пространстве определена ещё одна операция: скалярное произведение векторов. Эта операция должна удовлетворять требованиям аксиом A11–A14 (§5 главы 3). Эта операция позволяет определить длину вектора, понятие ортогональных векторов, а следовательно, и понятие ортонормированного базиса.

Определение. Пусть Eⁿ  евклидово пространство, A:E^{n –} Eⁿ – линейный оператор, действующий в нем. Оператор B:E^{n –} Eⁿ называется сопряжённым к оператору A, если для любых векторов x, yEⁿ выполнено

(Ax)·y=x·(By). (5.9)

Тогда пишем B =A^*.

Выберем в Eⁿ ортонормированный базис {e₁, e₂,…, e_n}, и пусть A и A^* – матрицы операторов A и A^* в этом базисе. Тогда для любых i, j=1,…, n должно выполняться

(Ae_i)·e_j=e_i·(A^*e_j)  (5.10)

 (ai;1e₁+ ai;2e₂+…+ ai;ne_n)·e_j=e_i·( a^*j;1e₁+ a^*j;2e₂+…+ a^*j;ne_n) 

 ai;j = a^*j;i . (5.10)

Таким образом, A^*=A^T (при условии, что базис является ортонормированным). Отметим, что мы установили равенство

ai;j =(Ae_i)·e_j. (5.11)

Предложение 9. Каждый линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеет сопряжённый оператор, и притом только один.

Доказательство. Пусть A:E^{n –} Eⁿ – линейный оператор. Выберем в пространстве Eⁿ ортонормированный базис и определим оператор A^*:E^{n –} Eⁿ с помощью матрицы A^T. Тогда выполняется (5.10) для любых i, j=1,…, n. Нам же надо доказать, что аналогичное равенство выполняется не только для базисных векторов, но и для произвольных x, yEⁿ. Имеем

(Ax)·y=((;\s\do10(i=1xⁱAe_i)·((;\s\do10(j=1y^je_j)=(;\s\do10(ixⁱy^j(Ae_i)·e_j,

x·(A^*y)=((;\s\do10(i=1xⁱe_i)·((;\s\do10(j=1y^jA^*e_j)=(;\s\do10(ixⁱy^j(A^*e_i)·e_j.

Правые части этих равенств равны, а значит, равны и левые части.

Свойства операции сопряжения (без доказательства).

1. J^*=J; 4. (A)^*=A^*;

2. (A^*)^*=A; 5. (AB)^*=B^*A^*;

3. (A+B)^*=A^*+B^*; 6. если A – обратимый, то (A^1)^*=(A^*)^1.

Определение. Оператор A:E^{n –} Eⁿ называется самосопряжённым или симметрическим, если A^*=A.

Пусть в Eⁿ выбран ОНБ, и A  матрица оператора A. Мы знаем, что матрица оператора A^* есть A^T. Значит для самосопряжённого оператора выполняется A=A^T. Таким образом, относительно ортонормированного базиса матрица самосопряжённого оператора является симметрической.

Свойства самосопряжённых операторов.

1. Тождественный оператор является самосопряжённым.

2. Если операторы A и B являются самосопряженными, то операторы AB, A и BA являются самосопряжёнными. При этом, BA=AB.

3. Если самосопряжённый оператор A обратим, то оператор A^1 тоже является самосопряжённым.

Теорема 5.2. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора являются действительными (без доказательства).

Это утверждение равносильно тому, что все корни характеристического многочлена симметрической матрицы являются действительными.

Теорема 5.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным числам ортогональны.

Доказательство. Пусть ₁₂ – собственные числа, x, y – соответствующие собственные векторы. Тогда с одной стороны

(Ax)·y=(₁x)·y=₁(x·y).

С другой стороны

(Ax)·y=x·(Ay)=x·(₂y)=₂(x·y).

Значит,₁(x·y)=₂(x·y) при ₁₂  x·y=0.

Теорема 5.4. Если подпространство E^Eⁿ инвариантно относительно действия самосопряжённого оператора A:E^{n –} Eⁿ, то подпространство (E^)^ тоже является инвариантным.

Доказательство.Пусть xE^ – произвольный вектор. Тогда по условию теоремы AxE^. Значит, для любого y^(E^)^ выполнено (Ax)·y=0. Но (Ax)·y=x·(Ay). Поэтому для произвольных xE^, y^(E^)^ выполнено x·(Ay)=0. Значит Ay(E^)^ для любого y^(E^)^.

Определение. Если подпространство E^Eⁿ инвариантно относительно действия оператора A:E^{n –} Eⁿ, то мы можем рассмотреть оператор B:E^{ –} E^, который действует по правилу Bx=Ax, для xE^. Такой оператор называется ограничением оператора A на подпространство E^ и обозначается A_E. Другими словами: мы забываем, что существуют ещё какие-то векторы за пределами E^ и рассматриваем действие оператора только на E^.

Пусть теперь оператор A:E^{n –} Eⁿ является самосопряжённым и E^ – инвариантное подпространство. Поскольку в E^ такое же скалярное произведение, что и во всём Eⁿ, то ограничение A_E тоже будет самосопряжённым оператором, только действующим на пространстве меньшей размерности. Все векторы, собственные для оператора A_E, являются собственными и для оператора A.

Теорема 5.5. Пусть A:E^{n –} Eⁿ – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве Eⁿ существует ОНБ, состоящий из собственных векторов оператора A. Тем самым, с помощью выбора ОНБ в Eⁿ, мы можем матрицу самосопряжённого оператора привести к диагональному виду.

Доказательство. По индукции. Пусть n=1. Тогда базис в E¹ состоит из одного вектора {e₁}, который можем взять единичным. Он будет собственным для оператора A.

Предположим, что теорема доказана для пространства размерности n1. Пусть A:E^{n –} Eⁿ – самосопряжённый оператор. Пусть ₁ – его собственное число, x₁ – соответствующий собственный вектор. Обозначим e₁=x₁/|x₁| – единичный вектор. Согласно предложению 5, Ae₁=₁e₁.

Подпространство Rx={x|R} инвариантно относительно действия оператора A. Значит, подпространство E^n1=(Rx)^ тоже инвариантно. Поэтому можем рассмотреть оператор

B=A_E:E^{n1 –} E^n1.

Он тоже является самосопряжённым и действует в пространстве размерностиn1. По предположению индукции существует ОНБ {e₂,…, e_n}, состоящий из собственных векторов этого оператора. Но эти же векторы будут собственными и для оператора A. Кроме того e₁ ортогонален каждому из e₂,…, e_n. Значит, {e₁, e₂,…, e_n} – это ОНБ, состоящий из собственных векторов оператора A.

Следствие. Если A – симметрическая матрица, то существует такая ортогональная матрица C, что C^1AC  диагональная матрица.