§5. Свойства определителя.

1. Если одна строка или столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

3. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то он равен нулю.

4. Общий множитель элементов одной строки (столбца) выносится за знак определителя.

5. Если одна строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то определитель матрицы равен сумме двух соответствующих определителей. Например,

= + .

6. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), домноженные на некоторое число.

В матрице из примера 1 все элементы третьего столбца кратны трём. Поэтому мы можем вынести множитель 3 за знак определителя:

= 3·

Вычтем в нашем примере из второй и третьей строки первую строку (сама первая строка при этом остается на месте без изменений):

= .

Мы получили две пропорциональные строки, следовательно, определитель равен нулю.

7. Если строки или столбцы матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

8. Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов. Например:

= 1· (–3) · 9 = – 27

9. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

§6. Приведение к диагональному виду.

Свойства 6 и 8 определителя позволяют использовать для вычисления определителя метод приведения к диагональному виду, который будем коротко называть методом Гаусса.

1 шаг. Если в матрице первый столбец состоит только из нулей, то её определитель равен нулю. Предположим, что в первом столбце есть ненулевой элемент. Переставим на первое место строку, в которой он находится; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. Если с самого начала было a1;10, то ничего переставлять не понадобится.

2 шаг. В получившейся матрице мы теперь имеем a1;10. Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1;2/a1;1. Тогда на месте элемента a1;2 мы получим 0, а определитель матрицы не изменится. Сделаем эту же операцию и с другими строками матрицы: т.е. к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1; i/a1;1. В результате в первом столбце матрицы останутся одни только нули, кроме элемента a1;1. Другими словами, определитель примет вид:

(1.6)

Здесь и далее звёздочками обозначены элементы, которые для нас не имеют значения, т.е. нам не нужно знать, чему они равны.

3 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с определителем

.

Более подробно это означает следующее. Мы переходим ко второму столбцу в матрице (1.6). Если в нём все элементы b2;2… b2;n равны нулю, то определитель равен нулю. Если среди b2;2… b2;n есть ненулевой элемент, мы на второе место переставляем строку, в которой содержится этот элемент; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. В получившейся матрице мы теперь имеем b2;20. Прибавим к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  b2; i/b2;2. В результате во втором столбце матрицы останутся одни только нули в строках с номерами 3… n. Определитель примет вид:

(1.7)

4 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей

.

В результате мы занулим все элементы, которые стоят в третьем столбце ниже элемента c3;3. И так далее. В конечном итоге мы получим треугольную матрицу, определитель которой вычисляется, как произведение диагональных элементов.

Пример 2. В следующем определителе нам удобнее поставить на первое место четвёртую строку. Для этого нам понадобится поменять её местами поочерёдно с 3, 2 и 1 строками. Это значит, мы совершаем три перестановки строк. Каждая из таких перестановок меняет знак определителя  при полной перестановке знак тоже поменяется.

=  =

Здесь же стрелочками мы обозначили дальнейшие действия: мы ко второй строке определителя прибавляем первую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем первую, домноженную на 3 (сама первая строка, при этом, остаётся без изменений). Мы получили нули в первом столбце ниже главной диагонали. Следующим действием мы должны получить нули во втором столбце ниже главной диагонали.

= =  =

Для этого мы к третьей строке матрицы прибавляем вторую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем вторую домноженную на 3. Следующим действием мы должны получить нули во третьем столбце ниже главной диагонали. В итоге мы получили верхнетреугольную матрицу, определитель которой мы вычисляем, как произведение диагональных элементов.

= = –2·1·(3)·(7) =42.