§2. Действия над линейными операторами.

Определение. Пусть A:L^{n –} Lⁿ и B:L^{n –} Lⁿ – два линейных оператора, действующие в одном и том же векторном пространстве. Оператор C:L^{n –} Lⁿ , который действует по правилу: Cx=Ax+Bx называется суммой операторов A и B. Мы пишем C=A+B.

Произведением оператора A на число  называется оператор A, который действует по правилу (A)x=(Ax). Оператор 1A обозначаем A.

Композицией операторов A и B называется оператор F, который действует по правилу: Fx=B(Ax). Пишем F=BA.

Проверьте самостоятельно, что операторы A+B, A и BA тоже являются линейными.

Предложение 4. Пусть в пространстве Lⁿ выбран базис и пусть A, B – матрицы операторов A и B в данном базисе. Тогда оператор A+B имеет матрицу A+B, оператор A имеет матрицу A, а оператор BA имеет матрицу BA. Таким образом, действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами.

Доказательство. Пусть C=A+B и пусть xLⁿ – произвольный вектор. Пусть y₁=Ax, y₂=Bx, y₃=Cx, а X, Y₁, Y₂, Y₃ – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса и C – матрица оператора C. Тогда

Y₁=AX, Y₂=BX, Y₃=CX.

Согласно определению, y₃=Cx=Ax+Bx=y₁+y₂, а значит, и для их координатных столбцов выполнено Y₃=Y₁+Y₂ 

CX=AX+BX=(A+B)X.

для любого столбца X. Это и означает, что C=A+B.

Утверждение про матрицу оператора A докажите самостоятельно.

Пусть теперь y=Ax, z=By, а X, Y, Z – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса. Тогда

Y=AX, Z=BY  Z=B(AX)=(BA)X.

Сдругой стороны,z=(BA)x=Cx  Z=CX. Итак, для любого столбца X выполнено CX=(BA)X  C=BA.

Замечание. При доказательстве мы использовали утверждение: если для любого столбца X выполнено AX=BX, то A=B. Мы его докажем на практических занятиях.

Свойства операций над линейными операторами.

1. A+B =B+A; 5. (A+B)=A+B;

2. (A+B)+C =A+(B+C); 6. (+)A=A+A;

3. A+O =A; 7. ()A=(A);

4. A+(A)=O; 8. 1·A=A.

Эти свойства в точности совпадают с аксиомами векторного пространства. Таким образом, множество всех линейных операторов, действующих из Lⁿ в Lⁿ образует векторное пространство.

§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ выбраны два базиса: B = {e₁, e₂,…, e_n}, B = {e₁, e₂,…, e_n} и пусть C – матрица перехода.. Пусть A и A  матрицы оператора A:L^{n –} Lⁿ в первом и втором базисах. Нам нужно найти связь между этими матрицами.

Пусть xLⁿ  произвольный вектор, X и X – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Пусть y=Ax, Y и Y – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Действие оператора относительно первого базисов задаётся формулами

Y=AX, Y=AX. (5.4)

Мы знаем, как преобразуются координаты векторов при замене базиса:

Y=CY, X=CX.

Подставляем эти равенства в первое из равенств (5.4):

CY=A(CX)  Y=(C^1AC)X.

Сравниваем это равенство со вторым из равенств (5.4). Мы видим, что

A=C^1AC (5.5)

Это и есть закон преобразования матрицы линейного оператора, при переходе к новому базису.