Советы по поводу особых ситуаций.

Если после зануления первого столбца получается a₂₂ = 0, то на второе место переставляем другую строку, в которой второй элемент не равен нулю:



Если во втором столбце все числа «нехорошие» можно сделать дополнительное действие, с тем, чтобы получить среди них единицу. Например:



Тем самым вы избежите использования дробных чисел.

Задания для самостоятельного решения.

III. Решить систему линейных уравнений (c.29-30) с помощью метода Гаусса.

IV. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и выписать фундаментальную систему решений. Сделать проверку.

Обратите внимание, что все коэффициенты в некоторых уравнениях делятся на какое-либо целое число. Тогда следует разделить уравнение на это число. Возможно, после этого данное уравнение окажется самым простым из всех уравнений системы. Тогда будет удобно поставить именно его на первое место.

^{1. 10.}

^{2. 11.}

^{3. 12.}

^{4. 13.}

^{5. 14.}

^{6. 15.}

^{7. 16.}

^{8. 17.}

^{9. 18.}

^{19. 25.}

^{20. 26.}

^{21. 27.}

^{22. 28.}

^{23. 29.}

^{24. 30.}

Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.

Определение. Пусть L и L – два векторных пространства. Отображение A:L^– L называется линейным отображением, или линейным оператором, действующим из L в L, если x, yL и R выполнено

1. A(x+y)=Ax+Ay;

2. A(x)=(Ax).

Запись Ax читается так: «оператор A действует на вектор x».

Если линейный оператор A действует из векторного пространства L в это же пространство, то говорим, что A – это линейный оператор, действующий в векторном пространстве L.

Из определения сразу следует, что

A(₁x₁+₂x₂+…+_kx_k)=₁Ax₁+₂Ax₂+…+_kAx_k.

Это значит, линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.

Примеры. 1. Тождественный оператор J:L^– L действует по правилу: Jx=x xL.

2. Нулевой оператор O:L^– L сопоставляет каждому вектору xL нулевой вектор из этого же пространства.

3. Напомним, что мы обозначали C^o([0,1]) – векторное пространство, состоящее из всех непрерывных на отрезке [0,1] функций. Аналогично C^o(R) обозначает пространство, состоящее из всех функций, непрерывных на всей числовой прямой, а C¹(R) обозначает пространство, состоящее из всех функций, непрерывно дифференцируемых на всей числовой прямой. Оператор дифференцирования D:C¹(R) ^– C^o(R) действует по правилу: Df(t)=f(t), т.е. он сопоставляет каждой функции её производную. Из курса математического анализа вы должны знать, что

D(f(t)+g(t))=Df(t)+Dg(t), D(f(t))=Df(t),

Т

a;\s\up8((

аким образом, оператор дифференцирования является линейным.

4

O

b;\s\up9((

b;\s\up9((

b;\s\up9((

a;\s\up8((

. Сопоставим каждому геометрическому вектору на плоскости результат его поворота на фиксированный угол . Получившееся отображение H_:V^2– V² является линейным оператором. Действительно,

если мы оба вектора a;\s\up8(( и b;\s\up9(( повернём на угол , то их сумма тоже повернётся на тот же угол; если мы умножим вектор a;\s\up8(( на число , то результат его поворота тоже умножится на это число.

Определение. Образом линейного оператора A:L^– L называется совокупность всех векторов, которые могут получиться в результате его действия:

ImA={yL | y=Ax для некоторого xL}.

Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов, которые под действием этого оператора переходят в нулевой вектор:

kerA={xL | Ax=o;¯}.

Ядро линейного оператора всегда содержит нулевой вектор и поэтому оно не является пустым множеством. Действительно, для любого вектора x выполняется

Ao;¯ =A(0·x)=0·Ax=o;¯.

Примем без доказательства, что ImA является векторным подпространством в L, а kerA является векторным подпространством в L.

Определение. Размерность векторного подпространства ImA называется рангом линейного оператора A и обозначается rankA, rkA или r(A). Размерность векторного подпространства kerA называется дефектом линейного оператора A. Устоявшегося обозначения для дефекта не существует. Мы будем обозначать его d(A).

Определение. Оператор A:L^– L называется инъективным, если каждый вектор yImA имеет не более одного прообраза. Это равносильно тому, что x₁x₂  Ax₁Ax₂. Оператор называется сюръективным, если ImA= L, т.е. если каждый вектор yL имеет прообраз. Такой оператор отображает векторное пространство L на всё L, а не на его часть. Оператор называется биективным, если он является одновременно инъективным и сюръективным. Биективный оператор устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из L и векторами из L.

Определение. Оператор X:L^– L, который действует по правилу x=Xy  y=Ax называется обратным к оператору A:L^– L и обозначается A^1. Оператор называется обратимым, если у него существует обратный оператор.

Примем без доказательства, что A^1 тоже будет линейным оператором. Биективность оператора является необходимым и достаточным условием его обратимости.

Предложение 1. Линейный оператор является инъективным тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора.

Доказательство. Пусть kerA содержит кроме нулевого вектора ещё и другой вектор x. Тогда Ao;¯ =Ax=o;¯. Значит, оператор не является инъективным.

Обратно, пусть вL существуют два вектора x₁x₂, такие, что Ax₁=Ax₂. Тогда x₁x₂o;¯ и A(x₁x₂)=Ax₁Ax₂=o;¯. Получается, что ядро содержит кроме нулевого вектора ещё и вектор x₁x₂.

В дальнейшем, мы будем рассматривать только линейные операторы, которые действуют в одном векторном пространстве. Следующее предложение принимаем без доказательства.

Предложение 2. Сумма ранга и дефекта линейного оператора A:L^{n –} Lⁿ равна размерности векторного пространства: r(A)+d(A)=n.

Таким образом, если d(A)=0 (т.е. ядро состоит только из нулевого элемента), то r(A)=n и образ ImA совпадает со всем Lⁿ. Значит, если d(A)=0, то оператор является биективным, а значит и обратимым. Биективный линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ называется линейным преобразованием векторного пространства Lⁿ.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ выбран базис B ={e₁, e₂,…, e_n}. Тогда каждый векторов Ae₁, Ae₂,…, Ae_n можно разложить по базису:

(5.1)

Коротко эти равенства можно записать так:

Ae_i=(;\s\do10(j =1ai;je_j , i=1,…, n. (5.1)

Числа aj;i, i, j=1,…, n образуют матрицу

A= , (5.2)

которая называется матрицей оператора A в данном базисе. Эта матрица полностью определяет действие оператора на любой вектор xL.

Действительно, пусть мы знаем координаты вектора x в данном базисе: x(x¹, x²,… xⁿ)_B и пусть y=Ax. Надо узнать координаты вектора y: y(y¹, y²,… yⁿ)_B. Имеем

Ax=A(x¹e₁+x²e₂+…+xⁿe_n)=x¹Ae₁+x²Ae₂+…+xⁿAe_n=

=x¹(a1;1e₁+a1;2e₂+…+a1;ne_n)+x²(a2;1e₁+a2;2e₂+…+a2;ne_n)+…+

+xⁿ(an;1e₁+an;2e₂+…+ an;ne_n)=

= (a1;1x¹+a2;1x²+…+an;1xⁿ)e₁+(a1;2x¹+a2;2x²+…+a2;nxⁿ)e₂+…+

+(a1;nx¹+a2;nx²+…+ an;nxⁿ)e_n.

Коротко эти же выкладки выглядят так:

Ax=A((;\s\do10(i =1xⁱe_i)=(;\s\do10(i =1xⁱAe_i =(;\s\do10(i =1= (;\s\do10(j =1e_j .

Мы видим, что координаты искомого вектора y можно найти так:

(5.3)

Коротко эти формулы имеют вид:

yⁱ =(;\s\do10(j =1aj;ix^j , i=1,…, n. (5.3)

Если обозначить

X= , Y= –

координатные столбцы, то (3) можно записать в виде одного матричного равенства:

Y=AX. (5.3)

Предложение 3. Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы (без доказательства).

Из предложений 1, 2 и 3 вытекает следующее предложение.

Предложение 4. Линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ является биективным тогда и только тогда, когда определитель его матрицы не равен нулю. Это значит, A обратим тогда и только тогда, когда у его матрицы существует обратная матрица.

Из матричной записи (3) получаем X=A^1Y. Таким образом действие обратного оператора задаётся с помощью обратной матрицы. Отметим, что тождественный оператор задаётся с помощью единичной матрицы, а нулевой оператор – с помощью нулевой матрицы.