§12. Умножение матриц.

Пусть

a= и b = –

строка и столбец, состоящие из одинакового количества элементов. Определим

a·b = a₁b¹+a₂b²+… +a_nbⁿ=(;\s\do10(i =1a_ibⁱ.

Пусть теперь A – матрица размера mk, а B – матрица размера kn, т.е. количество столбцов в матрице A равно количеству строк в сматрице B, или, что то же самое, длина сроки матрицы A равна высоте столбца в матрице B. Тогда мы можем умножать строки матрицы A на столбцы матрицы B. Пусть aⁱ=  i-ая строка матрицы A, а b_j = – j-ый столбец матрицы B. Обозначим

cj;i = aⁱ·b_j = a1;ibj;1 + a2;ibj;2 +… + bj;nan;i=(;\s\do10(k=1ak;ibj;k, i=1,…,m, j=1,…, n.

Числа образуют матрицу C размера mn, которая называется произведением матриц A и B:

C=AB = .

^{Пример.} A= , B = , X =

AX = = .

Таким образом, матричное равенство AX=B в развёрнутом виде представляет собой систему линейных уравнений

Свойства операции умножения матриц.

1. Умножение матриц не коммутативно. Если определено произведение AB, то произведение BA может быть не определено. Если определены оба произведения, то они могут иметь разный размер. Например, если A и B имеют размеры 23 и 32, то AB имеет размер 22, а BA имеет размер 33; получается, что эти матрицы вообще нельзя сравнивать.

Даже, если оба произведения AB и BA определены и имеют одинаковый размер, то может получиться ABBA. Например,

= , = .

2. Если A – квадратная матрица порядка n, а E – единичная матрица того же порядка, то AE=EA=A.

3. AO=O, OA=O (если определены соответствующие произведения).

4. Умножение матриц ассоциативно. Если определены произведения AB и (AB)С, то определены произведения BC и A(BС); при этом, (AB)С= A(BС).

5. Если имеет смысл A(B+С), то A(B+С)=AB+AС. Если имеет смысл (A+B)С, то A(B+С)=AС+BС.

6. (AB)= (A)B= A(B).

7. Если определено произведение AB, то определено B^TA^T и выполнено AB=B^TA^T.

Теорема 1.7. Ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей: rankABrankA, rankABrankB.

Теорема 1.8. Если A и B – квадратные матрицы одного порядка, то detAB=detA·detB.

§13. Обратная матрица.

Определение. Матрица X называется обратной к матрице A, если

AX=XA=E (1.14)

В этом случае пишем X=A^1.

Из определения сразу же следует, что обе матрицы и должны быть квадратными одного порядка n. По теореме 6

detA·detX=detE=1.

Значит, обязательно detA0. Это есть необходимое условие существования матрицы, обратной к матрице A. Оказывается, это условие является так же и достаточным.

Теорема 1.9. Если detA0, то для матрицы A существует, и притом единственная, обратная к ней матрица X.

Доказательство. Пусть порядок матрицы A равен n. Выберем произвольный номер j от 1 до n. Пусть e_j – j-ый столбец матрицы E. Равенство AX=E говорит нам о том, что e_j должен получаться в результате умножения матрицы A на x_j – j-ый столбец матрицы X:

= .

Здесь единица в столбце e_j находится в j-ой строке. Если перемножить матрицы, получим СЛУ

(1.15)

Матрица этой системы – это матрица A. Согласно правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Значит, все числа из столбца x_j однозначно определены. Поскольку мы выбирали произвольный номер столбца, то и все столбцы матрицы X однозначно определены. Значит, однозначно определена и матрица X, удовлетворяющая условию AX=E.

Докажем, что для этой же матрицы будет выполняться и XA=E. Поскольку detA0, то существует, и притом единственная, матрица Y такая, что

XY=E. (1.16)

Домножим обе части последнего равенства слева на матрицу A:

AXY=AE.

Мы уже знаем, чтоAX=E, поэтому получаем EY=A  Y=A. Подставим это равенство в (1.16) и получим XA=E.

Следующая теорема даёт нам готовую формулу для нахождения обратной матрицы.

Теорема 1.10. Для невырожденной квадратной матрицы А

А^1= .

Таким образом, для того, чтобы составить А^1, мы на место каждого элемента матрицы А ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем (т.е. превращаем строки в столбцы), и затем умножаем на (det А)^1.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательное утверждение.

Лемма. Сумма произведений элементов одной строки (одного столбца) матрицы на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

Доказательство. Пусть i, j – произвольные номера от 1 до n. Заменим в матрице A i-ую строку на j-ую (а сама j-ая строка останется на месте). Новую матрицу обозначим A. В ней есть две одинаковые строки  detA=0. Раскроем detA по i-ой строке и получим равенство:

a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i=0,

потому, что элементы i-ой строки в A на самом деле совпадают с элементами j-ой строки в матрице A. Утверждение для столбцов доказывается аналогично.

Доказательство теоремы 1.10. Обозначим Y – матрица, составленная из алгебраических дополнений и транспонированная. Обозначим [AY]j; i – элемент матрицы AY, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце. Он получается в результате умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы Y, который состоит из алгебраических дополнений j-ой строки матрицы A. Т.е.

[AY]j; i= a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i.

Согласно лемме это выражение равно нулю, если ij. Если i=j, то это выражение совпадает с правой частью формулы (3), т.е. оно равно detA. Таким образом, в матрице A на главной диагонали стоят числа равные detA, а вне диагонали стоят нули. Это значит, матрица

(AY) = A

является единичной.