Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.

Теорема 4.1 (Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений

(4.1)

совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы A равен рангу расширенной матрицы A^*.

Напомним, как выглядят матрица СЛУ и её расширенная матрица:

A= , A^*=

Доказательство. Перепишем систему (1) в следующем виде:

x¹ + x² + … + xⁿ= . (4.1)

Если существует решение (¹, ²,…, ⁿ), то, подставив его в (1) получим, что столбец свободных членов B является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Значит, добавление этого столбца к матрице A не увеличивает её ранга  rankA=rank A^*.

Обратно, пустьrankA=rank A^*. Тогда базисный минор матрицы A будет базисным и в A^*. Поэтому столбец B является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A, а значит, он является линейной комбинацией всех столбцов матрицы A. Коэффициенты этой комбинации и представляют собой решение системы (4.1).

Пусть теперь мы имеем совместную систему (4.1). Выпишем её матрицу A^*. Применяя элементарные преобразования строк, приведём матрицу A^* виду (1.10) из §11 главы 1:

.

При этом, возможно, понадобится совершить перестановку столбцов, а значит, и изменить нумерацию неизвестных. При этом столбец B не понадобится переставлять, т.к. базисный минор можем выбрать полностью из матрицы A. Напомним, что количество строк, которые остаются не вычеркнутыми равно рангу матрицы r.

Выпишем теперь по нашей матрице систему уравнений:

(4.2)

Неизвестные x¹, x²,…, x^r называются базисными (коэффициенты при них входят в базисный минор), а неизвестные x^r+1,…, xⁿ называются параметрическими. Параметрическим неизвестным мы можем придать произвольные значения, а потом найти значения базисных неизвестных о формулам (4.2). Получим частное решение системы.

Если придать параметрическим неизвестным значения произвольных параметров:

x^r+1=¹,…, xⁿ=^nr,

то получим выражение базисных неизвестных через эти параметры. В результате у нас получится общее решение системы:

(d¹ сr+1;1¹– … сn;1^nr, d² сr+1;2¹– … сn;2^nr, ... ,

d^r сr+1; r¹– … сn; r^nr, ¹,…, ^nr), ¹,…, ^nrR.

§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если правая часть состоит только из нулей:

(4.3)

Такая СЛУ всегда совместна: она имеет решение (0, 0,…, 0), которое называется тривиальным. Поэтому для однородной системы ставится вопрос: при каком условии она имеет нетривиальное решение?

Перепишем систему (4.3) в виде:

x¹ + x² + … + xⁿ= . (4.3)

Допустим, что система (4.3) имеет нетривиальное решение (¹, ²,…, ⁿ). Подставим это решение в (4.3) и получим верное равенство, которое означает, что столбцы матрицы A линейно зависимы:

¹ + ² + … + ⁿ= . (4.4)

Обратно. Пусть столбцы матрицы A линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация столбцов матрицы A вида (4.4). Коэффициенты этой линейной комбинации и представляют решение системы (4.3).

Тем самым, мы доказали следующую теорему.

Теорема 4.2. Однородная СЛУ имеет решение тогда и только тогда, когда её ранг r меньше числа неизвестных n. В частности, если матрица A однородной СЛУ является квадратной, то система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда detA=0.

При элементарных преобразованиях строк нулевой столбец может превратиться только в нулевой столбец. Поэтому формулы (4.2) для системы (4.3) имеют вид

(4.2)

Теорема 4.3. Все решения однородной СЛУ образуют векторное пространство размерности nr.

Доказательство. Пусть (c¹, c ²,…, cⁿ), (d¹, d²,…, dⁿ) – два решения. Запишем их в виде столбцов:

C = , D = .

Тогда выполнено

AC=O, AD=O.

Отсюда следует, что

A(C+D)=AC+AD=O+O=O,

A(C)=(AC)= O=O.

Значит, столбцы C+D и C тоже задают решения. Тем самым,

(c¹+d¹, c²+d²,…, cⁿ+dⁿ), (c¹, c ²,…, cⁿ) –

тоже решения. Это значит, что все решения нашей системы образуют векторное пространство. Остаётся доказать утверждение про его размерность.

Придадим параметрическим неизвестным x^r+1,…, xⁿ поочерёдно следующие наборы значений:

1) x^r+1=1, x^r+2=0, x^r+3=0,…, xⁿ=0;

2) x^r+1=0, x^r+2=1, x^r+3=0,…, xⁿ=0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr) x^r+1=0, x^r+2=0,…, x^n1=0, xⁿ=1.

Для каждого из наборов по формулам (4.2) найдём значения базисных неизвестных и полученные решения запишем в виде столбцов:

X₁ = , X₂ = , … , X_nr = . (4.5)

Эти столбцы линейно независимы. Действительно, если из этих столбцов составить матрицу, то в последних nr её строках будет находиться минор в виде единичной матрицы. Значит, ранг всей матрицы равен nr и ранг системы столбцов этой матрицы тоже равен nr. Для завершения доказательства остаётся доказать, что произвольное решение является линейной комбинацией решений (4.5).

Пусть (c¹, c ²,…, cⁿ) – произвольное решение, C – соответствующий столбец. Рассмотрим столбец

X=c^r+1X₁+c^r+2X₂+…+cⁿX_nr. (4.6)

Он также задаёт решение и в последних егоnr строках стоят числа c^r+1, c^r+2,… , cⁿ – такие же как и в столбце C. Формулы (4.2) однозначно выражают значения базисных неизвестных через параметрические неизвестные. Поэтому столбцы X и C полностью совпадают. Таким образом, C=c^r+1X₁+c^r+2X₂+…+cⁿX_nr.

Определение. Фундаментальной системой решений для однородной СЛУ (4.3) называется любая её совокупность из nr линейно независимых решений. Другими словами, фундаментальной называется любая система решений, по которой, как по базису можно разложить любое решение.

Например, решения (4.5) образуют фундаментальную систему. Формула (4.6) представляет собой разложение общего решения по базису. Фундаментальная система решений для любой однородной СЛУ определяется неоднозначно.