§2. Линейные операции над матрицами.

Складывать можно только матрицы одинакового размера. При этом складываются их элементы, стоящие на одинаковых местах. В результате сложения получается матрица такого же размера.

+ = .

Например,

A=, B=, A+B== .

При умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.

·= .

Например, для матрицы A из предыдущего примера

3·A=.

Матрицу –1·A обозначаем –A.

Свойства линейных операций над матрицами.

1. A+B=B+A;

2. (A+B)+C=A+(B+C);

3. A+O=A;

4. A+(–A)=O;

5. (A+B)=A+B;

6. (+)A=A+A;

7. ()A=(A);

8. 1·A=A.

Почему мы выделяем именно эти свойства, выяснится позже.

§3. Линейная зависимость строк и столбцов.

Строки и столбцы одной матрицы можно рассматривать сами по себе, как матрицы. Поэтому, что такое сумма двух строк (или столбцов) и произведение строки (столбца) на число уже определено. В дальнейшем мы будем говорить в этом параграфе про столбцы, но всё сказанное верно и для строк.

Определение. Пусть p₁, p₂,…, p_k – произвольные столбцы одинаковой высоты (не обязательно взятые из одной матрицы), а ₁, ₂,…, _k – некоторые числа. Выражение

₁ p₁+₂ p₂+…+_k p_k

называется линейной комбинацией столбцов p₁, p₂,…, p_k, а числа ₁, ₂,…, _k называются коэффициентами линейной комбинации. Эта комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю. Соответственно, если среди ₁, ₂,…, _k есть хотя бы одно ненулевое число, то линейная комбинация называется нетривиальной.

Определение. Столбцы p₁, p₂,…, p_k называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу:

₁p₁+₂p₂+…+_kp_k=0. (1.3)

Предположим, что столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы, т.е. выполнено равенство (4.3), где, например, ₁0. Тогда мы можем выразить

p₁= – p₂…– p_k,

т.е. столбец p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k. Обратно, пусть p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k:

p₁=₂p₂+…+_kp_k.

Тогда выполнено

1·p₁+₂p₂+…+_kp_k=0,

т.е. мы имеем нетривиальную (т.к. 10) линейную комбинацию столбцов p₁, p₂,…, p_k равную нулевому столбцу, а значит по определению эти столбцы линейно зависимы. Тем самым мы доказали следующее утверждение.

Предложение 1. Столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них равен линейной комбинацией остальных столбцов.

Предложение 2. Если среди столбцов p₁, p₂,…, p_k есть хотя бы один нулевой столбец, то эти столбцы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть, например, p₁=0. Тогда выполнено

1·p₁+0·p₂+…+0·p_k=0.

Получилась нетривиальная (т.к. 10) линейная комбинация, равная нулевому столбцу.

§4. Определитель матрицы.

Понятие определитель (детерминант) вводится только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается detA или |A|. Если вместо круглых скобок вокруг матрицы мы поставим прямые палочки, то это тоже означает определитель матрицы. Определитель матрицы – это число, которое необходимо вычислить. Будем вводить понятие определитель по индукции. Определитель матрицы порядка 2 вычисляется по формуле:

= a1;1a2;2  a2;1a1;2 .

Схематично эту формулу можно запомнить так:

Предположим, что мы уже знаем, что такое определитель матрицы порядка n1, а A есть матрица порядка n. Вычеркнем из матрицы A i-ую строку и j-ый столбец. Получится матрица порядка n1. Её определитель обозначим Mj; i. Это число называется минором, дополнительным к элементу aj; i. Добавим к этому минору знак минус в том случае, когда i+j нечётно. Получившееся число называется алгебраическим дополнением к элементу aj; i; мы будем обозначать его M; ¯j; i. Можно записать, что

M; ¯j; i=(1)^i+j Mj; i.

Теперь определитель матрицы A можно вычислить по формуле, которая называется разложением определителя по первой строке:

detA = a1; 1M; ¯1; 1+ a2; 1M; ¯2; 1+…+an; 1M; ¯n; 1. (1.4)

Словами эта формула означает следующее: мы каждый из элементов первой строки матрицы умножаем на его алгебраическое дополнение и получившиеся произведения складываем. Коротко, с помощью знака суммирования эта формула записывается так:

detA = (;\s\do10(j=1 aj; 1M; ¯j; 1. (1.4)

Применительно к матрице порядка 3 формула (1.4) выглядит так:

= a1; 1M1; 1a2; 1M2; 1+a3; 1M3; 1=

= a1; 1  a2; 1 +a3; 1 .

Пример 1.

= 1· – 2· + 3· =

= 1·(5·96·8)  2·(4·96·7) + 3·(4·85·7)=0.

Примем без доказательства, что определитель можно разложить с помощью того же правила по любой другой строке или столбцу, и при этом результат вычисления не изменится. Разложения по i-ой строке и j-ому столбцу выглядят так:

detA = a1; iM; ¯1; i+ a2; iM; ¯2; i+…+an; iM; ¯n; i. (1.5)

detA = aj; 1M; ¯j; 1+ aj; 2M; ¯j; 2+…+aj; nM; ¯j; n. (1.5)