1.7.5. Поле объемно-заряженного шара

Рассмотрим шар радиуса R(рис. 1.22), в объеме которого равномерно распределен зарядq. Это означает, что в каждом элементе объема величина, называемая объемной плотностью заряда, имеет одно и то же значение

= q / V,(1.43)

гдеV-объем шара.

Применяя теорему Остроградского–Гаусса, для поля вне шара получаем такое же выражение, как и для поля снаружи заряженной сферы (формула 1.42). Однако, внутри шара поле будет иным. Выделим внутри шара сферу радиуса r < R. Внутри сферы находится заряд

^.

Записав поток через сферу и применив теорему Гаусса-Остроградского, получим:

Учитывая, что , получаем

^.(1.43)

Формула (1.43) справедлива для r  R.Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстояниемrот центра. СнаружиЕубывает как у точечного заряда (рис. 1.22).

1.8. Работа сил электрического поля. Потенциальная энергия. Потенциал. Разность потенциалов

Рассмотрим поле неподвижного точечного заряда q. Вычислим работу, которая совершается силами поля по перемещению пробного зарядаq_приз точки 1 в точку 2 (рис. 1.23).

Влюбой точке поля на пробный заряд действует кулоновская сила

(1.44)

Работа этой силы на элементарном перемещении равна

^.(1.45)

Работа на конечном участке 1-2 равна сумме элементарных работ:

(1.46)

Из выражения (1.46) следует, что работа равна убыли некоторой функции:

^.(1.47)

Функция (1.47) имеет размерность энергии и зависит от взаимного расположения зарядов. Эту функцию называют потенциальной энергией взаимодействия зарядов.Значениеconstв выражении (1.47) выбирают так, чтобы при удаленииq_прна бесконечность потенциальная энергия обращалась бы в нуль. При этом условии для потенциальной энергии зарядовq_приq, находящихся на расстоянииrдруг от другаq,получаем

(1.48)

Из (1.48) следует, что разные пробные заряды в одной и той же точке поля обладают различной потенциальной энергией. Однако, отношениебудет одинаковым для любых пробных зарядов и будет зависеть только от величины зарядаq, создающего поле в данной точке. Следовательно, оно может быть использовано для количественного описания поля. Это отношение обозначают и называютпотенциалом электрического поля в данной точке.

Таким образом, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд.По определению

(1.49)

Из выражения (1.49) следует, что потенциальная энергия любого заряда q*, помещенного в данную точку поля, может быть вычислена, если известно значение потенциала в этой точке:

. (1.50)

Подставив (1.48) в (1.49), получим значение потенциала поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от него:

(1.51)

Если поле создано системой зарядов q₁, ... , q_N, то потенциал в данной точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(1.52)

Например, для расчета потенциала в т.А(рис. 1.24) формула (1.52) приобретает вид

.

С помощью выражения (1.48) для потенциальной энергии работу (1.46) можно представить как разность значений потенциальной энергии в точках 1 и 2:

А_12 = П(r₁) – П(r₂) =-П(r).(1.53)

Из выражения (1.46) следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, по которому перемещался заряд q_пр, а зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от r₁ и r₂). Следовательно, кулоновские силы являются консервативными, а электростатическое поле - потенциальным.

С учетом формулы (1.50) работа сил электрического поля по перемещению пробного заряда (рис. 1.25) может быть выражена через разность потенциалов в начальной и конечной точке траектории:

. (1.54)

Если q_приз точки, где поле имеет потенциал₁, удаляется на бесконечность (т.е. в точку, где потенциал поля равен нулю), то работа поля равна

. (1.55)

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же работу необходимо совершить внешней силе против сил поля, чтобы переместить пробный заряд из бесконечности в данную точку поля.

В СИ за единицу потенциала, называемую вольтом В, принят потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности заряда 1 Кл необходимо затратить работу 1 Дж, т.е.1В= 1Дж /Кл.

Работа, которая совершается при перемещении элементарного заряда ( 1,6 10^-19Кл) в поле, имеющем разность потенциалов 1 Вольт, называется1 электронвольт (1 Эв). Эта внесистемная единица энергии численно равна

1 Эв = 1,6  10^-19 Кл 1 В = 1,6 10^-19 Дж .