2.4. Электрическое смещение (электрическая индукция)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей напряженность поля в диэлектрике является векторной суммой напряженности поля, созданного внешними (сторонними) зарядами, и напряженности поля связанных зарядов молекул самого диэлектрика, т.е.

. (2.17)

Для расчета поля по формуле (2.17) необходимо знать молекулярное поле связанных зарядов. Напряженность этого поля определяется поверхностной плотностью связанных зарядов , которая, в свою очередь, может быть вычислена по соотношению

. (2.18)

Но соотношение (2.18) содержит неизвестную искомую величину . Это создает трудности при расчете полей внутри диэлектрика по изложенной выше схеме.

Для устранения возникших трудностей и упрощения расчета полей внутри вещества, вводят вспомогательную величину , определяемую выражением:

. (2.19)

Эту величину называют электрическим смещением (или электрической индукцией). Подставив из (2.5) в (2.19), получим

. (2.20)

Это соотношение связывает основную характеристику электрического поля (напряженность внутри диэлектрика) и вспомогательную характеристику (вектор электрического смещения).

Из (2.20) следует, что вектор, совпадающий с вектором напряженности по направлению, но в ₀ раз больше его по модулю.

Поле вектораможно изобразить с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяется точно так же, как и для линий. Линиимогут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах.Источниками поля могут быть только сторонние заряды, на которых линииначинаются или заканчиваются(рис. 2.9).

Это свойство линий электрического смещения позволяет следующим образом записать теорему Гаусса-Остроградского для вектора :

. (2.21)

Таким образом, поток вектора через произвольную замкнутую поверхностьS, выделенную внутри вещества с диэлектрической проницаемостью  (рис. 2.10), равен стороннему заряду q₀, заключенному внутри этой поверхности.

Через связанные заряды линии смещения проходят не прерываясь (рис. 2.9). Это означает, что густота линий электрического смещения внутри диэлектрика такая же, как и снаружи, т.е.

_{(снаружи) = (внутри)}.

Докажем это. Для этого воспользуемся соотношениями (2.20) и (2.15) и выразим электрическое смещение в вакууме (снаружи) в веществе (внутри):

.

Здесь учтено, что для вакуума .

.

Правые части равенств одинаковые, следовательно, равны и левые части, что и требовалось доказать.

Это свойство вектора удобно использовать для расчета напряженности электрического поля внутри вещества. Порядок действий таков:

1. Определив напряженность поля снаружи, находим снаружи по соотношению (2.20).

2. Приравниваем снаружи ивнутри вещества.

3. Зная внутри, по (2.20) определяем напряженность поля внутри вещества:

(2.22)

Изложенное выше касалось того случая, когда поле направлено перпендикулярно поверхности диэлектрика, т.е. векторнаправлен по нормали к границе раздела вакуум - вещество. Рассмотрим более общий случай, когда векторилисоставляет уголс нормалью к границе раздела двух диэлектриков (рис. 2.11 а, б). В этом случае силовые линии терпят излом (преломляются), вследствие чего угол между нормалью к поверхности раздела и линиейилиизменяется.

Применив теорему Гаусса-Остроградского для вектора (2.21) и теорему о циркуляции вектора(1.51) можно показать, что если на границе раздела нет сторонних зарядов, то нормальные и тангенциальные составляющие векторовиудовлетворяют следующим граничным условиям:

D_1n = D_2n ;(2.23)

;(2.24)

Приведенные соотношения означают, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора и тангенциальная составляющая вектораизменяются непрерывно. Тангенциальная же составляющая вектораи нормальная составляющая векторапретерпевают разрыв.

Из граничных условий (2.23), (2.24) и рисунка (2.11) можно найти соотношение, позволяющее определить изменение угла  в зависимости от значений диэлектрической проницаемости:

(2.25)

Соотношение (2.25) означает, что при переходе в диэлектрик с меньшей диэлектрической проницаемостью  угол, образуемый линиямис нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в диэлектрик с большейлинии смещения, напротив, сгущаются. Для рисунка (2.11) справедливо соотношение₂  ₁.

Условия (2.23) и (2.24) справедливы и для границы диэлектрика с вакуумом. В этом случае одну из диэлектрических проницаемостей, соответствующую вакууму, нужно положить равной единице. Из проведенного рассмотрения следует, что векторы ина границе раздела двух диэлектриков преломляются, но направлены они в каждом диэлектрике коллинеарно.