4.4. Конденсаторы

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. На практике нужны устройства, которые при небольшом (относительно окружающих тел) потенциале и относительно небольших размерах накапливали бы на себе заметные заряды, т.е. имели бы большую электроемкость.Такие устройства называютконденсаторами.Конденсаторы состоят из двух проводников (обкладок) такой формы, чтобы поле, создаваемое накопленными зарядами, было сосредоточено внутри устройства. Этому условию удовлетворяют две расположенные близко друг к другу пластины, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Соответственно различаютплоские, цилиндрические и сферические конденсаторы(рис. 4.5 а, б, в).

Под емкостью конденсатора понимают величину, пропорциональную зарядуqи обратно пропорциональную разности потенциалов на обкладках (или напряжениюU) электрического поля, порожденного этим зарядом:

(4.10)

Воснову таких устройств положен тот факт, чтоэлектроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что на окружающих телах возникают индуцированные заряды, причем заряд противоположного знака ближе к рассматриваемому проводнику и, следовательно, оказывает большее влияние на его потенциал. Поэтому при поднесении к заряженному проводникуАкакого-либо нейтрального телаВпотенциал проводникаАуменьшается по абсолютной величине рис.(4.6 а, б). Согласно формуле (4.5) это означает, что емкость его увеличивается.

4.4.1. Расчет емкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Покажем, что емкость конденсатора зависит от его формы, геометрических размеров и диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего пространство между обкладками.Найдем выражение для емкости плоского конденсатора (рис. 4.5 а).Расчет емкости выполняют с помощью соотношения (4.10) и формулы, связывающей разность потенциалов с напряженностью электрического поля:

. (4.11)

Напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора равна

(4.12)

Подставляем (4.12) в (4.11). Выполняем интегрирование вдоль силовой линии, учитывая, что поле внутри плоского конденсатора однородное. В итоге получаем

^,(4.13)

где S- площадь пластины,d- зазор между обкладками.

Подставляя полученный результат в (4.10), находим емкость плоского конденсатора:

(4.14)

Вычислим емкость цилиндрического конденсатора (рис. 4.6 б). Напряженность поля между обкладками зависит от расстоянияrи определяется выражением

(4.15)

Для разности потенциалов в соответствии с формулой (4.15) получаем

(4.16)

Соответственно, емкость равна

(4.17)

Формула (4.17) может быть применена для расчета погонной емкости коаксиального кабеля(тонкая проводящая жила, отделенная от коаксиального с ней сетчатого цилиндрического экрана).Погонной емкостью кабеля называется емкость, приходящаяся на единицу его длины. Из формулы (4.17) находим

(4.18)

Найдем емкость сферического конденсатора(рис. 4.6 в). Напряженность поля между обкладками равна

(4.19)

Выберем точки 1 и 2 на обкладках конденсатора, а путь интегрирования по радиусу, тогда после подстановки (4.19) в (4.11) получим

(4.20)

Подставляя (4.20) в (4.10), находим емкость сферического конденсатора:

(4.21)

Из анализа выражений (4.14), (4.17) и (4.21) следует, что емкость конденсатора определяется формой и размерами обкладок, величиной зазора между ними, а также свойствами диэлектрика.