1.7. Расчет полей с помощью теоремы Гаусса-Остроградского

Если электрическое поле создано не точечным зарядом, а телом конечных размеров, то, разбив его на достаточно малые элементы зарядами dq, можно для расчета поля применить формулу (1.11). Однако, это не удобно и не всегда удается получить достаточно точный результат. Значительно удобнее и проще применять в этом случае для расчета формулу (1.26). Особенно плодотворно работает теорема Остроградского-Гаусса для расчета полей, созданных симметричными заряженными телами, например, плоскостью, сферой, цилиндром и т.п.

1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть на бесконечной плоскости равномерно распределен положительный заряд. Это означает, что на каждом элементе поверхности (рис. 1.18 а)поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади поверхности) имеет одно и то же значение, определяемое выражением:

(1.38)

Из соображений симметрии в распределении заряда следует, что вектор напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярен к плоскости. В симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Построим замкнутую цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величиныS,расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 1.18 б).

Внутрь построенной поверхности попадает заряд, находящийся на участке плоскости вырезаемом боковой поверхностью цилиндра. Он равен q=S. Применим для расчета электрического поля плоскости теорему Гаусса-Остроградского. Учтем, что через боковую поверхность цилиндра поток вектораравен нулю (так какЕ_nна боковой поверхности равна нулю). Для основанийЕ_n = Е.Таким образом, суммарный поток вектора напряженности через поверхность цилиндра равенФ_Е=2ЕS. Согласно теореме Гаусса-Остроградского справедливо равенство

^,

отсюда

(1.39)

Полученный результат не зависит от размеров цилиндра и, следовательно, на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности поля, образованного положительно заряженной плоскостью, представлена на рис. 1.19 а. Для отрицательно заряженной плоскости направление линийизменится на обратное (рис. 1.19 б).

1.7.2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Две параллельные бесконечные плоскости, заряженные разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью , делят пространство на три области. В каждой области показано направление векторов напряженности(+)и(-), созданных каждой плоскостью (рис. 1.20).

Используя принцип суперпозиции полей и формулу (1.39), находим, что вне объема, ограниченного плоскостями, напряженность поля равна нулю, т.е.:

Е _(I) = Е_(III) = 0.

Между плоскостями напряженность поля равна:

Е_(II)= (1.40)

Таким образом, поле сосредоточено между плоскостями и является однородным.

Если заряды плоскостей одноименные и одинаковы, то между плоскостями поле равно нулю, снаружи поле определяется выражением:

Е _(I) = Е_(III)=