4.4.2. Соединение конденсаторов в электрических цепях

Каждый конденсатор характеризуется (помимо емкости) максимальным рабочим напряжением, которое можно прикладывать к обкладкам. Если на конденсатор подать слишком большое напряжение, то он «пробивается» - между обкладками возникает искра, разрушающая изоляцию.

Для получения необходимой емкости при заданном рабочем напряжении или для повышения напряжения “пробоя”, конденсаторы часто соединяют в батареи (рис. 4.7)

Соединение конденсаторов

а) параллельное;

б) последовательное;

в) смешанное.

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 4.7 а) общим для всех конденсаторов является напряжение U. Заряд каждого конденсатора можно найти из соотношения (4.10)

q₁=C₁U; q₂=C₂U ; q₃=C₃U. (4.22)

Общий заряд батареи равен сумме всех зарядов:

. (4.23)

Подставляя (3.23) в (3.10), получаем

^.(4.24)

Следовательно, емкость батареи при параллельном соединении конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Допустимое рабочее напряжение определяется наименьшим напряжением пробоя одного конденсатора.

При последовательном соединении (рис. 4.7 б) одинаковым для всех конденсаторов благодаря явлению электростатической индукции будет заряд q.

Суммарный заряд всех обкладок (за исключением двух внешних обкладок батареи) равен нулю (рис. 4.7 б). Следовательно, заряд всей батареи q_батбудет равен заряду отдельного конденсатора:

q₁ =q₂ = . . . =q_бат. (4.25)

Напряжение на каждом из этих конденсаторов определяется его электроемкостью

и т. д.

Напряжение батареи определяется выражением

(4.26)

С другой стороны, оно же равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

(4.27)

Сравнивая (4.26) и (4.27), получаем выражение, из которого можно определить электроемкость батареи последовательно соединенных конденсаторов:

(4.28)

Если последовательно соединено N одинаковых конденсаторов, то из (4.28) получаем

^, (4.29)

т.е. емкость батареи становится в N раз меньше, чем емкость одного конденсатора. Во столько же раз увеличивается допустимое напряжение батареи по сравнению с допустимым напряжением одного конденсатора.

4.5. Энергия заряженного проводника и конденсатора

Поместим на проводник зарядq. Пусть он распределится равномерно так, что на каждом элементе проводника будет сосредоточен точечный зарядq_i(рис. 4.8). Вычислим энергию взаимодействия зарядов между собой.

Воспользуемся формулой (1.50) и учтем, что поверхность проводника является эквипотенциальной (т.е. =constв тех точках, где находятся точечные зарядыq_i). Тогда для энергии попарного взаимодействия этих зарядов между собой можно записать:

^.(4.30)

Заряд проводника можно выразить через его электроемкость (q=c), поэтому для энергии уединенного заряженного проводника справедливы следующие формулы:

(4.31)

Рассмотрим плоский конденсатор, обкладки которого имеют заряды +qи-q(рис. 4.9).

Каждая обкладка находится в поле, созданном другой обкладкой. Энергия такой системы взаимодействующих зарядов равна

^. (4.32)

Приняв во внимание выражение для емкости конденсатора (формула 4.10), энергию заряженного конденсатора можно представить следующими выражениями:

(4.33)

Зная выражение для энергии взаимодействия заряженных пластин конденсатора, можно найти силу, действующую на одну из обкладок со стороны другой, т.е. силу притяжения пластин. Полагаем, что конденсатор отключен от сети, это означает, что величина заряда на обкладках постоянная, следовательно, энергия взаимодействия зависит только от расстояния хмежду зарядами, т.е. от величины зазора между пластинами конденсатора (рис. 4.9).

С учетом формулы (4.14) для емкости плоского конденсатора, энергию заряженного конденсатора можно записать в виде

(4.34)

Поле конденсатора потенциальное, следовательно, справедливо соотношение, связывающее силу и потенциальную энергию взаимодействия:

= - grad W. (4.35)

Дифференцируя (4.34) по координате Х и учитывая, что q=const, получаем

(4.36)