5.7. Оптимальное управление периодическими процессами

Постановка задачи об оптимальном управлении периодическим процессом была приведена в разд. 5.2. Напомним ее: требуется найти такие управляющее воздействие и* (1) и продолжитель­ность цикла Т*, чтобы достигал максимального значения кри­терий

т

^(5-134)

о имеющий смысл средней продуктивности аппарата за цикл.

В этом критерии /о — функция, определяющая текущую продуктивность процесса и учитывающая скорость образования полезного продукта, текущие потери и т. п.; А — потери, свя­занные с окончанием одного и началом следующего цикла (рас­ходы на загрузки и выгрузку, регенерацию катализатора и т. п.); 9—потери времени, связанные с загрузкой и выгруз­кой продукта. Переменные состояния х и управляющие воздей­ствия и связаны друг с другом т условиями в форме диффе­ренциальных уравнений

'х,^,(х,и}; /=Гт. (5.135)

Поставленная задача представляет собой вариационную за­дачу оптимального управления, для ее решения могут быть ис

Рис. 5.12. Выбор оптимальной продолжительности периодического процесса

Рис. 5.13. Расчет оптимальной продолжительности очередного цикла периоди­ческого процесса

пользованы соответствующие методы, а также некоторые прие­мы, рассмотренные в разд. 5.6.

Выбор оптимальной продолжительности цикла периодического-процесса. Будем полагать, что тем 'или иным способом найдены законы изменения управляющих воздействий и° (1) и соответст­вующие им изменения переменных состояния х° (1) и требуется найти лишь оптимальную продолжительность процесса Т*. Обозначим через ср (Т) интеграл, стоящий в уравнении (5.134) и вычисленный при х=х°(() и ы=и°(/). Тогда

Будем считать функцию <р (Т) известной (рис. 5.12). Тогда ве­личина / соответствует тангенсу угла наклона к оси абсцисс прямой, проведенной из точки с координатами (—9, А) в точку с координатами Т, <р (Т). Этот угол (а значит, и его тангенс) максимален, когда прямая касается кривой (р(Т). Соответству­ющее точке касания значение Т=Т* является оптимальным мо­ментом окончания процесса.

Если функция ^о°(0 =!о(х°, и°) задана аналитически, то оп­тимальную продолжительность процесса Т* можно определить исходя из того, что в точке касания производная функции <р(Г) по Т, т. е. ^о°(Т), равна тангенсу угла наклона касатель­ной, т. е. 1(Т). Таким образом, для определения Т* имеем:

т-в

(^)г. =^^⁼~Г^{^}Г^ (| ^' ^ио'⁾'^а(-^А ) ^-'^ о

Уравнение (5.136) может иметь не одно решение; в этом слу­чае нужно выбирать решение, при котором значение / больше. Выбор оптимальной продолжительности связанных друг с дру­гом периодических процессов. В ряде случаев 'нельзя выбирать продолжительность периодического процесса Т, ориентируясь на .максимальную эффективность единичного цикла, так как требуется учесть еще эффективность циклов, связанных с рас­сматриваемым и проводимых в том же самом или в других аппаратах. Ниже рассмотрим варианты таких задач, обозначая через р{Т) зависимость интегральной эффективности процесса от общего времени цикла Г=Г+9:

Т—в

р(Т}= С /о (*, ") М - А. о]

1. Последовательность циклов в единичном аппарате. В ка­честве критерия оптимальности для последовательности циклов естественно использовать продуктивность всей последователь­ности, получаемую как отношение общей стоимости продукта, произведенного за п циклов, к общей продолжительности этих

циклов:

/^^(Г-О/^Г, (5.137)

/" = ^ Р1

1=1 1=1

Если функции р[ одинаковы для всех циклов, задача сводится к ранее рассмотренной; однако часто нестабильность характе­ристик сырья приводит к разным зависимостям р1'(Г,) в каж­дом 1-том цикле.

Пусть реализован {п—1) цикл и требуется найти оптималь­ную продолжительность текущего л-го цикла Тп*. В этом слу­чае критерий (5.137) удобно переписать в форме

1п^ Р^+Р^_^гпах, (5.138)

^ + Тп 7-„ п—1 п-1

где рд = ^ р1 (Те); Т;а = ^ Тг.

1=1 Г=1

Этот критерий имеет ту же форму, что и критерий выбора продолжительности единичного цикла. Графическое решение задачи (5.138) показано на рис. 5.13. Оптимальному времени Тп* соответствует точка касания прямой, проведенной из точки Га на оси абсцисс к кривой р^.-\-рп(Тп}- Отношение р^Т-г. представляет собой среднюю эффективность аппарата за все циклы, предшествующие рассматриваемому. Если бы Тп* на­ходили из условия максимальной эффективности только одного п-го цикла, для его определения нужно было бы провести ка­сательную к кривой р^+рп{Тп) из точки рд на оси ординат (пунктир на рис. 5.13). Очевидно, что если наклон этой каса­тельной (т. е. индивидуальная оптимальная эффективность п-го цикла) окажется меньше средней эффективности предыду

Рис. 5.14. Система периодических аппаратов с общим сливом

щих циклов, то длительность Тп* цик­ла, найденная по критерию (5.138), окажется меньше, чем Т*. Это естест­венно, так как «удачный» цикл надо проводить дольше, а «неудачный» пре­кратить раньше, чем при индивиду­альном проведении.

Условия оптимальности критерия /" по величине Тп. имеют вид

и могут быть использованы для оперативного управления про­должительностью периодических процессов.

2. Работа группы, аппаратов на общий слив. На рис. 5.14 показана группа аппаратов периодического действия, объеди­ненных общим сливом. При этом продолжительность операции выгрузки продукта т задана и нельзя одновременно проводить выгрузку двух и более аппаратов. Поэтому моменты окончания циклов аппаратов должны отличаться не менее чем на т. Пусть известна зависимость эффективности каждого аппарата от продолжительности текущего цикла, а также моменты на­чала циклов в каждом из пг аппаратов. Обозначая момент на­чала цикла в у-ом аппарате через /у> а продолжительность цикла через Ту, приходим к задаче о максимуме суммарной эффективности

(5.139)

системы при условии, что для любых двух аппаратов время окончания циклов различается не менее чем на т:

]/у--^+7\-^|>т у^Г, v, 1=Тт. (5.140)

Задача (5.139), (5.140) представляет собой задачу нелинейно­го программирования. Аналогичная ситуация возникает и при работе аппаратов, требующих периодической регенерации, ког­да процесс регенерации можно проводить лишь в одном из них.

3. Работа группы аппаратов с общим временем цикла. Пусть имеется система аппаратов, для которых по условиям произ­водства продолжительность цикла должна быть одинакова. Будем считать, что известна зависимость продуктивности

р^{Т^) каждого аппарата от длительности его работы и зависи­мость продуктивности всей системы от функций р„ т. е.

Рс(Т}=рс(р1(Т),р2(Т),...,Рпг(Т)).

Значение общего времени цикла выбирают из условия 1=рс(Т)/Т —> тах,

что, как легко видеть, приводит к уравнению

у др^_1_с1р^\ _рс(Т*) ^ др^ [ <1Т ]т' • г*

Согласование работы периодических и непрерывно действующих аппаратов. При наличии в одной технологической схеме пери­одических аппаратов и аппаратов непрерывного действия воз­никает задача согласования их работы таким образом, чтобы минимизировать объемы буферных емкостей и в минимальной степени нарушить режим аппаратов непрерывного действия при изменении производительности периодических аппаратов.

1. Работа нескольких периодических аппаратов на общую-сеть. Пусть имеется несколько аппаратов периодического дей­ствия, работающих на общую сеть. Производительность каждо­го из них меняется по определенному закону ^(1—т,), в кото­ром Т(—время сдвига начала цикла 1-го аппарата по отноше­нию к началу цикла нулевого аппарата, так что То=0. Будем полагать, что найден общий "период Т для всех аппаратов, а функции ^ дифференцируемы. Требуется так выбрать сдвиги т;, чтобы расход в общей магистрали оказался возможно бли­же к среднему значению. В качестве оценки для пульсации

N

суммарного расхода р(1, т)=2^(<—т,) примем величину

1—0

т

I = Г (р (1, т) — М)^! ——> тш. (5.142^ 5

Очевидно, что средний расход М не зависит от вектора сдвигов т и может быть найден как

N Т

^=2— [ /,(0^. —о а

Условия оптимальности функционала (5.142) по т имеют вид:-д1 - . ..

=0; <=1, N. д%[

или иначе

Здесь учтено, что /)=2^, а значит-^- =—.^(^—т,). Но инте-

<Ы 1 ^* <Л 1_/А1С1 Т. ГА 1 »

»=0 ^йт;

грал от производной периодической функции, вычисленный за период Т, равен нулю, и уравнения (5.143) примут вид:

=0; I = ГГ/У (5.144)

т -^-

| Л(<-т,)^М<-т^=0; ^ГТ/У:

5 / у-о

Из суммы (5.144) можно исключить 1-тое слагаемое, так как

Т Т 1

^ "" 2 ^ й1 о о

[^=— Г4- (/Д^О-^ ^ ^ дг

Условия оптимальности примут форму N нелинейных уравне­

нии

т n __

1 М< - ^) ^ <у (^ - ту) Ш =0; (• = 1ТЛГ

Ц¹ у=.0, У^1

относительно Л^ неизвестных Ть Т2, ...,т^.

2. Согласование работы периодического и непрерывно дей­ствующего аппарата с промежуточной емкостью. Рассмотрим участок технологической схемы, состоящий из аппарата непре­рывного действия, расход из которого равен м(0, аппарата пе­риодического действия, расход в который задан и равен р(1), и промежуточной емкости V⁰. Требуется так выбрать закон из­менения и(1), чтобы изменения среднего времени пребывания продукта в аппарате непрерывного действия были минимальны.

Обозначим через Р(1) рабочий объем аппарата непрерывно-то действия, а через Р° — номинальное значение этого объема, соответствующее заданному времени пребывания 9. Расход на входе в аппарат непрерывного действия будем считать постоян­ным и равным <7:

т

9=у|р(0^. о

Поскольку Р(^)=<7.9(0, минимальным отклонениям 9 соответ­ствуют минимальные отклонения Р от Р°, и в качестве крите­рия оптимальности можно принять величину

т I = { (р (() — ро)^( ——> гош. ^ (5.145)

Связи и ограничения, наложенные на переменные задачи, име­ют вид:

Р=д—и(1); (5.146У

у=и({)—р(1); я>0; (5.147) ^(0>0; 0<У(<)<У°. (5.148)

Задачу можно упростить, воспользовавшись тем, что закон из­менения рабочего объема аппарата непрерывного действия и емкости известен с точностью до константы. Обозначая через. у сумму Р+У, получим:

у=Р+У=д-р(()=^р(^.

Правая часть этого уравнения — заданная периодическая функ­ция. Поэтому

I

у (0 = У» + Г Ар (т) йт = у„ + у(0.

где у(1) известна.

Функционал (5.145) перепишется в виде

т I = Г [Уо + У (0 - V (0 - Л² Л ——> пип. (5.149>

о]

Расширим множество допустимых решений задачи, отбросив связь в форме дифференциального уравнения (5.147) и считая У(1) управлением, а уо—искомым параметром. Условия мини­мума / по уо

I

д1

=2 ((у^+'у^)-у({)-ро)а{=о

ду» ^

можно переписать в форме т

-^-с(у(о-^))^=р'. (5.150> о

Таким образом, начальное значение суммарного объема уо. надо выбрать так, чтобы среднее за цикл значение рабочего объема аппарата непрерывного действия равнялось его номи­нальному значению. Из условия (5.150) имеем:

т т ^/^>=Р^^>--^-\^(^)Л+—{V(^}Л. (5.151>

/тч 1 У V / 1 гр

О

Условия минимума (5.149) по У(1) приводят к неравенству (Уо+у—^—У^У^О (5.152)

где 6У—допустимая по ограничениям (5.148) вариация У(1). Из неравенства (5.152) следует: '

^ (/. Уо) ^о-ЖО—^ при 0<У<У°;

УЧ1,Уо)=У° при уо+у—Р'>>У°; (5.153):

У'({,Уа)-0 при уо+у—Р°<0.

Совместное решение уравнений (5.153) и (5.151) позволяет найти "г/о, У(1), а затем определить и(1) из уравнения (5.147). Определение законов оптимального управления периодическими . процессами. Покажем «а примере оптимального управления ;;

процессом биосинтеза использование приемов, о которых гово­рилось в разд. 5.6. В процессе биосинтеза основным управляю­щим воздействием часто является величина и состав подпитки, подаваемой в аппарат. Продолжительность процесса Т будем полагать заданной, а искомыми величинами будут режимные переменные и(() (температура, рН и др.) и расход питатель­ного субстрата и для подпитки аппарата.

Задача оптимального управления запишется в форме т

I == \ гхр(х, 8, и)сИ ——> шах, (5.154) о х=ху.(х, я, и)—ух/г, (5.155)

5=—хг\ (х, 5, и) +о (во—^)/г, (5.156)' 2=г». (5.157)

Здесь г—рабочий объем аппарата; х, 8—концентрация био­массы и субстрата в аппарате; 5о—концентрация субстрата в подпитке. Подынтегральное выражение в уравнении (5.154) определяет скорость накопления полезного продукта; [а—удель­ная скорость роста биомассы; г\ — удельная скорость потребле­ния субстрата,

Продемонстрируем последовательность использования ме­тода трансформации пространства состояний.

1-й шаг. Перейдем к новым переменным у\(х, г, з) и г/г(х, г., а), скорость изменения которых не зависит от v. Усло­вие независимости для каждой из этих переменных имеет вид:

^^+^^+-^-=0; .=1.2. (5.158) дх г да ;г дг

Уравнению (5.158) соответствует система обыкновенных диф­ференциальных уравнений

—^йл^--²—^^?. (5.159) х $о — ^я

Решение которой имеет два независимых первых интеграла Сг(х, г, з) и Сг(х, г, з). Решением (5.159) является любая диф­ференцируемая функция от С1 и Сч. Проще всего принять у^ =С1 и г/2=С2, где с\ и Сг—первые интегралы уравнений

_ их ^ рг ф с1г х г ' 8ц — а ~ г Отсюда

У1=С1(х,г)=1/хг; уг=с^!;, 2)=1/(яо—5)г.

2-й шаг. Заменяем в задаче (5.154) — (5.157) х у. з через х=—\1у\г и з=8о—\1учг. Расширяя задачу путем отбрасывания

уравнения для г, получим преобразованную задачу:

(5.160) У\У

(6.161)

Уэ.

в которой управлениями являются г и и. Эта задача намного проще исходной. Если изменением расхода подпитки удастся реализовать оптимальный закон г* (1), то решение этой задачи является оптимальным и в исходной постановке; в противном случае оно дает оценку сверху функционала /.

Дальнейшее упрощение задачи управления периодическим процессом может быть достигнуто, если можно априори дока­зать, что в правой части одного из дифференциальных уравне­ний (5.160) или (5.161) знак не меняется. В этом случае число дифференциальных уравнений можно уменьшить на единицу. Покажем это на примере управления процессом биосинтеза пенициллина.

Кинетику процесса характеризуют моделью следующего вида:

Здесь х — концентрация биомассы; 5 — концентрация питатель­ного субстрата; р — концентрация продуктов жизнедеятельно­сти микроорганизмов (продуктов метаболизма).

Критерием оптимальности является продолжительность про­цесса ^, которую нужно минимизировать при условии, что

Х(1)=Х; 5(?)=5.

В процессе биосинтеза концентрация питательного субстра­та заведомо уменьшается, поэтому ее можно принять в качест­ве нового аргумента. Получим

йа.

Уравнения связей в модифицированной задаче имеют вид:

Критерий оптимальности

тт.

Управлениями в этой задаче являются условия проведения про­цесса: (температура, кислотность среды и т. п.), от которых зависят коэффициенты Ъ.\—Ае.

Оценка вместимости промежуточной емкости-накопителя меж­ду аппаратами непрерывного и периодического действия; уп­равление расходом. Рассмотрим технологическую схему, состоящую из периодически действующего аппарата, расход из которого /?(/) представляет собой заданную периодическую функцию с периодом Т; непрерывного аппарата, расход в ко­торый и(1) можно изменять в заданных пределах от ы+ до и~;

промежуточной емкости-накопителя объемом Ук- Величину Ук будем называть конструктивным объемом емкости (рис. 5.15,6).

Задачу анализа и оптимизации такой схемы можно поста­вить различным образом.

А. Найти такой минимальный объем Ук, при котором рас­ход в аппарат непрерывного действия мог бы не изменяться во времени.

Б. Определить, какой минимальный объем Т/к необходима чтобы схема была работоспособна при изменениях и(1) в за­данных границах; такая постановка предполагает и расчет

Рис. 5.15. Схемы последовательного соединения аппаратов периодического (/) и непрерывного (2) действия с промежуточной емкостью:

а—при оптимизации среднего времени пребывания; б—при оптимизации У„

Рис. 5.16. Изменение расчетного объема и при о(0)=0 и определение по гра­фику этой функции оптимального значения у(0) и минимального значения V,;

Рис. 5.17. График расхода из периодического аппарата р(<) и оценка необхо­димого объема Ук"""

оптимального закона изменения и*{1), для которого потреб­ный объем накопителя минимален.

Для формулировки задачи обозначим через о(<) текущий объем продукта в емкости; через р и и — средние за цикл зна­чения расходов на входе в емкость и выходе из нее.

Очевидно, текущий объем продукта изменяется в соответст­вии с уравнением

у=р—и. (5.162)

Начальное значение этого объема и(0) подлежит оптимальному выбору, однако ввиду периодичности процесса у(Т)=у[0), что приводит к равенству средних значений расходов р -я и:

т т т

\ у(и = С рМ — [ и.(11 = Т {р—~и) = 0. (5.163)

о о 'о

Рассмотрим задачу А, в которой расход и предполагается постоянным, а в силу (5.163) этот расход должен быть равен р. Выбору в этой задаче подлежит только значение и(0), так как правая часть уравнения (5.162) оказалась заданной. Чтобы найти минимальное требуемое значение конструктивного объе­ма, можно поступить следующим образом. Сначала задать произвольное значение и(0), например принять о(0)=0ипо уравнению (5.162) построить закон изменения рабочего объема

во времени и(1) (рис. 5.16). Затем необходимо выбрать величину о(0) так, чтобы для любого 1 реальный закон изменения объема продукта в емкости

ч(0=о(0)+^°(0

был неотрицателен, а его максимальное значение оказалось возможно меньше. Ясно, что и(0) должно быть таким, чтобы

о с

в точках минимума и(<) сумма у{1)+у(0) оказалась равной

нулю (откуда о(0)=—Птш), а требуемая для постоянства и величина промежуточной емкости должна быть не меньше суммы максимальной ординаты функции v и величины и(0), т. е. не меньше, чем «размах» функции и (^):

⁰ о

Ук= тах и(Л— гшп уЯ). ^Ю.т] /еСО.Л

Когда расход и(1) изменяется в заданных пределах, можно первоначально, до решения задачи Б, оценить минимальную величину емкости Ук"¹¹", которая заведомо необходима для согласованной работы аппаратов. Для такой оценки достаточно иметь функцию р(1), ее среднее значение и и пределы измене­ния и+ и и~. Если окажется, что .конструктивный объем Ук меньше, чем максимальная из площадей Рк, заштрихованных на рис. 5.17, никакой выбор расхода и(1) и начального объема и(0) не обеспечит согласованной работы аппаратов. Действи­тельно, если максимальная из площадей Рк оказалась выше ли­нии и*, то при самых благоприятных условиях, когда в момент ^⁺ (см. рис. 5.17) емкость пуста, в момент ^⁺ она должна содержать объем продукта, равный площади Рк. Если же мак­симальная из площадей оказалась ниже линии и", то в мо­мент выхода ^~ из зоны допустимых значений и емкость долж­на быть заполнена не менее чем до Рк, иначе в некоторый момент рабочий объем окажется отрицательным (расход в ап­парат непрерывного действия будет меньше, чем и~). При та­кой оценке отбрасывали условия неотрицательности объема во все остальные моменты времени, снимая таким образом огра­ничения в задаче. В результате найденная оценка заведомо не превосходит минимального объема, который нужно определить в задаче Б, а может оказаться и существенно меньше.

Чтобы решить задачу Б, можно воспользоваться тем обстоя­тельством, что минимизации конструктивного объема Ук соот­ветствует минимальный размах функции и(1), т. е. при пра­вильном выборе закона изменения и(1) функция у(1) должна быть возможно ближе к константе, а ее производная — возмож­но ближе к нулю. Потребуем, чтобы функционал

т т I = Г (У)"^ = С (р — и^сЧ, (5.164)

и »/

О О

в котором п — некоторое четное положительное число, был как можно меньше при условиях

т ——Ги(<)<Й=р; ц-<и^и+. (5.165)

о

Решив задачу (5.164), (5.165), можно путем выбора о(0) обес­печить неотрицательность »(/), как это было сделано при ре­шении задачи А.

Отметим, что поставленная задача представляет собой ана­лог задачи распределения нагрузок между параллельными аг­регатами, но аналог бесконечномерный. Изложенный ниже ал­горитм полностью аналогичен алгоритму последовательного на­значения предельных нагрузок (см. разд. 5.2).

1-й ш а г. Записываем функционал Лагранжа т

8 = С [(р — и)" + Щ М (5.166)

о

и решаем задачу (5.164), (5.165) без учета ограничений на предельные значения и. Условия стационарности подынтеграль­ного выражения в функционале (5.166) по и приводят к урав­нению для стационарного закона изменения расхода

Так как п и К—некоторые константы, то, обозначая Ь=(У /п)¹^"-¹), получим:

"о(<)=р(<)—Ь. (5.167)

Чтобы найти Ь, подставим ис(1) в условие (5.165). После инте­грирования получим:

т

-^-^(1-)са=р-Ь1Т.

о

так что на первом шаге Ьо=0 и Ыс(0=р(0. Так как этот закон в общем случае не реализуем, переходим к его уточнению.

2-й шаг. Подсчитаем суммарную площадь Ыс(0, выходя­щую за пределы и+ (обозначим эту площадь 2+), и суммарную площадь между функцией и^(1) и линией и~ (обозначим ее 2-). Сравним их по модулю. Если 2+>2-^, то для тех момен­тов времени, для которых ис>и⁺, выбираем оптимальный закон изменения расхода и*(^}=и^л•. Если 2+<2-, то для тех момен­тов времени, для которых ис(1)<.и~, выбираем и*(1)=и~. Обозначим через и общую длину тех отрезков времени, на ко­торых значение и*(1) найдено, а через О—множество тех мо­ментов времени, которые не входят в И. Общая продолжитель­ность интервалов, на которых надо доопределить и(1), равна Т—О.

3-й шаг. Пересчитаем величину Ь в формуле (5.167) из условия (5.165), которое с учетом назначенных на и значений и(1) примет вид:

м+0 + Г р (О М - Ь (Т - О) =~рТ, если ^ > ^_ ;

"в

и-й+\р(1)(И-Ь(Т-0)=~рТ, если ^+<2--я

Найдя Ь=Ь[, подставим это значение в (5.167). Получим уточ­ненный закон изменения стационарного управления для всех ^е=0.

4-й шаг. Вновь подсчитаем суммарные площади 2+ и 2-, но теперь стационарное управление определяем по -формулам

«с (0 = р (0 - у—ц [ "⁺⁰ + Г Р (0 ^ -Р⁷' \ ^если 2+ ^> 2-' и"

"с(0=р(0-у——д["-Й-[р(0^-)^, если^<^_.

п" Интегрирование проводим только на множестве О, так что

^ = Г (яс со - м+)^; ^_ = С (к- - «с (0)+ск.

а" и

5-й шаг. Сравним 2+ и 2- и в зависимости от того, мо­дуль какой из площадей больше, назначим на соответствующих отрезках времени оптимальное управление, равное и^ или и~. Из интервала (О, Т) исключим множество Й1, пересчитаем кон­станту Ь, Нс, 2+, 2- для оставшегося интервала и т. д.

После каждого цикла интервал неопределенности уменьша­ется на величину и,. Решение получено, если на очередном ша­ге Ыс(0 окажется допустимым по ограничениям на предельный расход, а также если на очередном шаге с заданной степенью точ­ности окажется выполненным равенство между 2+ и 2_. В этом последнем случае оптимальное управление и* (0 равно Ыс(^)для тех значений /, при которых Ыс(0 удовлетворяет ограничениям. Для тех 1, при которых Нс>и+, ы*==ы+, и для тех моментов времени, при которых и.с<и~, оптимальное управление и*=и~.

Найденный закон изменения и* (1} соответствует наиболее «плавной» функции и(1), причем он один и тот же при любом значении п в функционале (5.164). Чтобы найти соответствую­щий и* конструктивный объем, подставим и* (1) в уравнение (5.162), проинтегрируем полученную функцию при и==и* и, подобно тому, как это было сделано для постоянного расхода, определим и(0) и Ук (см. рис. 5.15).