5.4. Управление технологическими процессами с параллельной структурой

В разд. 5.2 была рассмотрена задача выбора состава и на­грузок параллельно включенных агрегатов. Здесь приведем ре­шение этой задачи при тех или иных допущениях и возмож­ности реализации такого решения в автоматизированных си­стемах.

Декомпозиция задачи и получение нагрузочных характеристик. В системе с параллельной структурой (рис. 5.6, а) имеется два вида управляющих переменных: переменные ы,, изменение ко­торых влияет только на режим 1-го агрегата; переменные Х{, изменение которых, воздействуя на 1-тый агрегат, вызывает, в силу условий задачи, изменение переменных в других агре­гатах.

Обозначая эти две группы переменных в векторной форме че­рез х и и, а вектор-функцию ограничений, характерных для всей системы аппаратов, через /, получим матрицу смежности этой задачи (рис. 5.6,6).

Пример. При управлении цехом разделения воздуха переменными пер­вого типа являются флегмовые числа для каждой из параллельно действующих колонн ректификации. Переменной второго типа является про-

Рис. 5.6. Система с параллельной структурой:

а—схема; б—матрица смежности зводительность каждой колонны, так как суммарная производительность всей установки задана. На первом шаге фиксируют производительность хг для каждой колонны и решают семейство оптимальных задач, меняя флег-мовое число Д; и минимизируя затраты на разделение. Получают зависи­мости

/?,' (XI) И Р, (Х,)=Р, (/?.*, XI).

Эти условно-оптимальные зависимости (нагрузочные характеристики) и яв­ляются исходными данными для расчета на втором этапе минимума суммар­ных затрат при заданной суммарной производительности.

Выпуклые нагрузочные характеристики. Задача без ограниче­ний. Обозначим через Р^х^, как и в разд. 5.2, зависимость производительности агрегата от расхода сырья хг. Первона­чально будем предполагать, что для всех п агрегатов эти зави­симости выпуклы вверх, а ограничения вида

Х1^Х1'^Х1, 1=1,п. (5.54)

на каждую из нагрузок отсутствуют. При этом считаем, что каждый агрегат включен, а выбору подлежат только значения их нагрузок. Задача такого выбора имеет форму:

п п

/=У?,(^)——> тах при V л:,—С=0. (5.55)

(=1 1=1

Решение задачи (5.55) можно получить с использованием функции Лагранжа:

Эта функция выпукла в силу выпуклости нагрузочных харак­теристик, поэтому решение задачи можно получить из системы (п+1) уравнений:

п

дК лр, \л • — дх1=° ^ &7=^ 2^1-С=0; 1=\,п (5.56)

1=1

В точках, соответствующих оптимальным нагрузкам л:»*, на­клоны всех характеристик Р^х^) должны быть одинаковы.

Пример. Пусть Л-(^»)==а>У^1. Уравнения (5.56) запишутся в форме

п а,/ /^ = 2Х; I = Т^п: ' ^ х, = С.

1-1

Решая эти уравнения, получим:

п х," = Са,"1 ^ а\, , = Т^г (5.57>

1-1

Параметры нагрузочных характеристик а: периодически уточняют по результатам текущих измерений, а формулы (5.57) позволяют пересчитывать оптимальные нагрузки.

Задача с ограничениями. Практически задачу распределения нужно решать с учетом ограничений (5.54), так как некоторые оптимальные нагрузки могут оказаться предельно допустимы­ми. В этом случае из условий локальной неулучшаемости функции Лагранжа следуют неравенства:

(5.58)

ЛР1

—г— < А, если х,* == х,;

й^^

Неравенства (5.58) вместе с уравнениями (5.56) могут служить скорее для проверки оптимальности некоторого рас­пределения нагрузок, чем для расчета оптимального распреде­ления. Ниже приведен алгоритм последовательного назначе­ния предельных нагрузок, позволяющий решить эту задачу.

Будем называть нагрузки, подсчитанные из условий стацио­нарности функции Лагранжа без учета ограничений (5.54), стационарными. Обозначим их д:,°.

1-й шаг. Рассчитаем стационарные нагрузки Х1°, после чего все агрегаты разобьем на три группы: недогруженные (х,°<Х1), перегруженные (х^^о>х^) и средние (Хг^х^-^х^. Множество индексов недогруженных агрегатов обозначим /, а множество индексов перегруженных—/.

2-й шаг. Подсчитаем суммарную перегрузку А как раз­ницу между суммой стационарных и предельных нагрузок для всех перегруженных агрегатов и аналогично рассчитаем сум­марную недогрузку по всем недогруженным агрегатам:

^(..о-^д; ^(^-„о)=д.

к=Г <е7

3-й шаг. Возможны три случая:

а) перегрузка больше недогрузки (А>Д); тогда оптималь­ные нагрузки перегруженных агрегатов следует назначить равными максимально возможным

ХГ=Х1, 1<=7,

найти сумму этих нагрузок и вычесть ее из заданной суммар­ной нагрузки:

С,=С-^х„

<е7

оставшуюся нагрузку С\ распределить между средними и недо­груженными агрегатами;

б) недогрузка больше перегрузки (Л>Л); оптимальные на­грузки недогруженных агрегатов следует назначить равными минимально возможным

х,*=х„ ге7,

найти их сумму ^х,. вычесть ее из С и остаток С\ распределить

«•&/' между средними и перегруженными агрегатами;

в) недогрузка равна перегрузке (А=А); всем недогружен­ным агрегатам назначают минимальные, а всем перегружен­ным — максимальные допустимые нагрузки; оптимальные на­грузки средних агрегатов равны рассчитанным для них ста­ционарным х,°; в этом последнем случае задача решена.

В случаях а) и б) переходит к1-му шаг у, но с меньшим числом агрегатов и с меньшей суммарной нагрузкой. Так как после каждого цикла находят оптимальную нагрузку хотя бы для одного агрегата, то решение будет получено после конеч­ного числа циклов, меньшего, чем п.

Доказательство оптимальности полученного решения сво­дится к доказательству того, что оно удовлетворяет условиям (5.56), (5.58).

В некоторых случаях -нужно распределить не один, а два или более видов сырья, так что нагрузка каждого из агрегатов представляет собой вектор Х1 с составляющими Х1^(у=\,т). Теперь производительность Рг является функцией нескольких переменных, а ограничения наложены на суммарный расход каждого вида ресурса. Приходим к задаче вида

п п

I = V. Р,(^;) ——> тах при V х^ — Су = 0: v = Т^п. <°1 <-1

Если не учитывать ограничения на х^ вида (5.54), то, записав функцию Лагранжа

я ст т

К = ^ [?1 (XI) - ^ ^;у] + ^ ^Су, 1-1 V-! у=-1

приходим к условиям оптимальности:

дК дРг — — vi

а^7=° ^ дх^ "^ ^^г '=1." > ^^-Су=о (5.59)

г=1 При учете ограничений вида

xiv ^ xiv < xiv; 1=\,п; у=1,т

в задаче с векторным ресурсом также может быть использован алгоритм последовательного назначения предельных нагрузок. При этом первоначально распределяют первый ресурс, зафиксировав остальные переменные х,у (У=2,...,т) для всех I на некоторых начальных значениях. После того, как найдено оптимальное распределение первого ресурса х\* фиксируют и распределяют второй ресурс. Так до т-го ресурса. Затем уточ­няют распределение первого ресурса и т. д. до тех пор, пока в очередном цикле значение критерия оптимальности /^&+1 не <)удет с заданной точностью равно значению /^й, полученному в предыдущем цикле.

Использование результатов измерения параметров выходных потоков для оптимального распределения нагрузок. Во многих случаях систему оптимального распределения нагрузок можно построить как систему автоматической стабилизации парамет­ров состояния в каждом из агрегатов на таких значениях, при которых выполнены условия оптимальности (5.56).

Обозначим через У1==(уа, ..., У1г) вектор параметров, харак­теризующих состояние 1-го агрегата, и предположим, что раз­мерность этого вектора г не меньше, чем размерность т векто­ра ресурсов л'1. Между г/, и х: имеется связь

у.=Ф.(^) (5.60)

Если Фг (вектор-функции размерности г) таковы, что позво­ляют выразить XI через г/» (это возможно, если для всех допу­стимых значений хг матрица с элементами дфц/дх^ имеет пол­ный ранг т), то оптимальное распределение нагрузок можно реализовать по результатам измерения вектора состояния, воз­действуя на задания регуляторам, стабилизирующим значение этого вектора.

Обозначим через (р1у(Хг) частные производные нагрузочных характеристик

-|^-=(р,у(*.);У=Г^:

В силу выпуклости этих характеристик функции <р,у монотонно уменьшаются с ростом каждой из составляющих х». Заменим в ср; XI через у{ и перепишем условия (5.56) в форме

"Фгу (г/г) = Фгу [*1 (у;)] = ^у,

п

^ -^ ((/г) = Су; у=Т~т; {=\~п. (5.61)

1-1

Условия (5.61) позволяют построить систему оптимизации распределения нагрузок, основанную на измерении параметров потока на выходе каждого агрегата. При этом вычислительная машина находит по измеренным г/» функции (р»у и среднее зна­чение по всем п аппаратам для каждой из этих функций "~ - "-(2(рг^/га. Если для некоторого аппарата ф»у> (2(р,у^/п, то на-

<=1 1='1

грузку его xiv по у-му ресурсу нужно повысить, уменьшив нагрузку аппаратов, для которых <р,у<(2ф^)/"< ^так. чтобы сум­ма нагрузок оставалась равной Су.

Подобное перераспределение естественно, так как производ­ная производительности по нагрузке (ргу характеризует «отда­чу» соответствующего агрегата на единицу вложенного ресур­са. Ясно, что надо нагружать агрегаты, имеющие большую «от­дачу», и разгружать менее экономичные.

Особенно интересен случай, когда агрегаты одинаковы и

функции (р,у (уг) =^ч(У1) зависят не-от номера агрегата г, а только от вектора г/г. В этом случае из условий (5.61) сле­дует, что при оптимальном распределении значения парамет­ров выходного потока должны быть одинаковы.

Пример. Рассмотрим схему, состоящую из параллельных химических реакторов. Параметром выходного потока у\ является концентрация целево­го продукта, а нагрузкой—расход реакционной смеси х\. Между х\ и у\ имеется связь

У1=а!/(Х1+Ь1); {-Т".

Производительность аппарата

Р((Ж()=х;(/г(^); 1=1, п. Ее производная по XI

(р,(*,)= ——— (^————\, {=Тп. ^X^+Ь^ \ ^+6»/

Заменяя XI через концентрацию в выходном потоке {/I, получим Ф^УО^У^/а;, 1=Т^п.

Уравнения (5.61) примут вид:

у^г^Ь^ =а.1\, 1'== \,п.

Если учесть условия

п п ^ п

^ XI = С => ^ ~а^|у^ - ^ 6; = С, (5.63)

1-1 {-I <=1

можно получить решение задачи оптимального распределения в форме тре­бований, наложенных на выходные концентрации. Действительно, из уравне­ния (5.62) имеем:

у^ = ~У~\ Уа^, I = 1~я~ Подставляя у; в условия (5.6,3). получим:

<=1 1-1

откуда

Рис. 5.7. Агрегат с невыпуклой характеристикой: за счет невыпуклости зави­симости Рг(х1) (а); за счет невыпуклости множества допустимых нагру­зок XI (б)

Уточняя параметры аг и 'б, по результатам текущих измерений, система регулирования находит оптимальную концентрацию на выходе каждого ап­парата, учитывая состояние катализатора, рабочий объем реактора и пр. Если концентрация выше заданной, то расход реакционной смеси в соот­ветствующий аппарат нужно увеличить. Для одинаковых аппаратов у;* ока­зываются равными.

Невыпуклые характеристики; выбор состава действующего обо­рудования. Невыпуклость нагрузочных характеристик сильно затрудняет решение задачи оптимального распределения, так как уравнения (5.56) выделяют не единственное решение. При­чиной невыпуклости может быть как форма зависимости Р^(^х^), т. е. невыпуклость графика функции, так и невыпук­лость множества значений Х1, на котором определена функция (рис. 5.7). В первом случае имеется диапазон нагрузок (от Х1а до хл на рис. 5.7, а), где работа агрегата неэкономич­на, во втором случае в некотором диапазоне нагрузок (от нуля до XI на рис. 5.7, б) работа агрегата просто недопустима. Рис. 5.7, б соответствует задаче выбора состава действующего оборудования. Точка Х1=0 является допустимой и соответствует выключенному агрегату, а отрезок [х,, х,]—включенному.

Для анализа и решения задачи полезно построить выпук­лую функцию, которая для любого Хг от 0 до XI была бы не меньше, чем соответствующая нагрузочная характеристика, и возможно более близка к ней (пунктир на рис. 5.7). Такие функции называют выпуклыми оболочками Р^х^ и обозна­чают Со Р{(Хг).

Выпуклая оболочка нагрузочной характеристики—не прос­то минимальная выпуклая функция, ординаты которой для любого XI не меньше, чем Р(Хг); она имеет и физический смысл» определяя максимальные возможности аппарата. Действитель­но, пусть агрегат обладает некоторой емкостью, расход про­дукции на выходе которой равен среднему значению Р;. Для невыпуклых характеристик (см. рис. 5.7, а), работая неко­торое время с нагрузкой хю, а оставшееся время — с нагруз­кой хл, можно добиться того, чтобы средняя нагрузка оказалась равной л-⁰,; при этом средняя производительность окажет­ся равной ординате выпуклой оболочки Со Р(х°1), которая больше, чем Р(У,).

Таким образом, нагрузочная характеристика определяет производительность аппарата при заданной нагрузке, а выпук­лая оболочка этой характеристики—максимальную среднюю производительность аппарата при заданной средней нагрузке. Именно поэтому выше было сказано о том, что на участке от х^а до хл работа агрегата неэкономична (она может быть улуч­шена переходом к циклическому режиму).

Выпуклыми оболочками можно воспользоваться для при­ближенного решения задачи распределения по следующему ал­горитму:

1. Для каждого агрегата построить выпуклую оболочку на­грузочной характеристики Со Р^х^^Р^х^.

2. Распределить нагрузки между агрегатами, считая, что их характеристиками являются выпуклые оболочки Рг

3. Если для всех найденных х-* выполнены равенства

Р1(^)=Р1'.(хП< " (5.64)

то решение является искомым оптимальным.

4. Если для одного или нескольких агрегатов (множество таких агрегатов обозначим через /} справедливы неравенства

Р1(х1')>Р1(хг); ¹^,

п _ ^

то сумма 2Рг(Х(*)=/ представляет собой оценку сверху для

максимальной производительности схемы.

5. Из всех агрегатов, оказавшихся внутри множества /, выберем тот, для которого разница между нагрузкой х-* •и нагрузкой, соответствующей равенству ординат Р» 'и р{, ока­залась минимальной. На рис. 5.7, а такими точками являются Хш и х;й, а на рис. 5.7,6—точки Х1=0 и х^=х^с. Нетрудно по­казать '[54], что любая ордината выпуклой оболочки может быть получена как линейная комбинация ординат нагрузочной характеристики в таких базовых точках.

Нагрузку выбранного агрегата (обозначим его индексом /) полагаем равной нагрузке, соответствующей ближайшей базо­вой точке.

6. Оставшуюся нагрузку вновь распределяем между осталь­ными агрегатами; если вновь для части агрегатов найденные нагрузки оказались на участках, где Р,Сх,)>.Р('л;,), то повто­ряем п. 5, и так до тех пор, пока для всех найденных нагрузок

" не будут выполнены равенства (5.64). Сумма ^Р1(х1*)=Р дает

1=1

оценку снизу для предельной производительности системы. Сравнивая ее с полученной в п.4 оценкой сверху, можно су­дить о том, необходимо ли уточнение найденного решения. Как

правило, разность Р—Р невелика. Если же уточнение необхо­димо, оно может быть проведено поисковыми методами, в ко­торых найденное в п.6 решение принято за начальное прибли­жение.

Если среди найденных нагрузок оказались нулевые (точка д;»=0 всегда является базовой), значит, соответствующий агре­гат целесообразно держать в резерве.

Отметим, что решение задачи выбора состава оборудования с учетом затрат на обслуживание выключенного агрегата, воз­можности перевода в горячий или холодный „резерв, затрат времени и средств на пуск и останов и т. п. существенно слож­нее. Изложенный приближенный алгоритм может быть исполь­зован для получения начального состава действующих агрега­тов с последующим его уточнением. Вероятностные ограничения в задачах распределения нагрузок. Во многих случаях внедрению систем оптимального управле­ния препятствует недостоверность исходных данных. Это не значит, что следует отказаться от использования таких систем, а говорит лишь о необходимости учета неопределенности при постановке задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу распределения на­грузок, в которой известен объемный расход сырья, но не из­вестен его состав, влияющий на производительность аппарата. Например, известен расход топлива в печь, но не известна точно его теплота сжигания. Производительность же зависит от произведения расхода на теплоту сгорания, для которого известны лишь вероятностные характеристики или же точность измерения очень низка.

Пусть известна плотность распределения р(С) количества С распределяемого ресурса. Так как величину С, а значит и Х{, нельзя замерить, то задача состоит в том, какую долю [а, от общего расхода сырья подать в каждый агрегат. Критерии оптимальности представляет собой математическое ожидание суммарной производительности

(5.65) -1^

в (5.66)

*,/ »*,

^ Р (С) ОС > ф (5.67)

^/^г

Последнее условие означает, что вероятность попадания нагруз­ки каждого аппарата в интервале (х„ Х{} не менее заданной.

Введем в рассмотрение усредненные нагрузочные характе­ристики агрегатов:

Р1 (14) = | Р1 (И.С) р (С) ас. (5.68)

С использованием введенных обозначений перепишем задачу (5.65) — (5.67):

/=^Р;(^) ——> тах; (5.69)

1-1

л

^^г=1; щ^о; <=Т7гГ (5.70)

г=1

Р1(1Ч,Ф,Х1,Х1)>0. (5.71)

Таким образом, задача с вероятностными условиями на сум­марную нагрузку аналогична детерминированной задаче с тем отличием, что нагрузочные характеристики заменяют усреднен­ными, а множество допустимых значений переменных опреде­лено не только условиями (5.70), но и неравенствами (5.71), вытекающими из (5.67). Последние условия при заданной плот­ности распределения р(С), величинах Ф, л"» и х: полностью эквивалентны ограничениям типа хг^Х1^Х1, так как из них могут быть найдены предельные значения [а.

Применение полученных соотношений проиллюстрируем на задаче распределения нагрузок для квадратичных характери­стик вида

Л(11.С)=а^(^^^С)²-^6,^цС+^, 1=Тп (5.72)

Плотность распределения суммарного ресурса имеет форму усеченного нормального закона распределения:

О при С<=[С, С], р(с) => г [с с ^

Лехр — —— при С<=[С,С]. . I \ о / ^

Здесь С и а²—среднее значение и дисперсия распределения суммарного ресурса; С и С—его предельные значения; вели­чину Л выбирают так, чтобы площадь р(С) оказалась равной единице.

Так как для учета ограничений на уа может быть использо­ван алгоритм последовательного значения предельных нагру­зок, на первом этапе будет полагать эти ограничения отсут-

261

ствующими. Задача примет вид:

С п п п

^/=! [^с2 2 ^а^^²+^с 2^й№ +2 ^дгг]^х

с г-1 г=1 >=1

га

(,"_7~\2 \-ч X А ехр —-^ йС ——> тах/ ^, |л, = 1. ст 7- •—•

Введем переменную у=(С—С)/о и перепишем выражение для критерия оптимальности:

Р / = Ло [ [5,о^а ^ (о^ + 2етС5,) у +

и (X

+ (5„ + С8^ + И,)] е^у = Аа [5^, + ^(8^0 + 2а&5,) + + (5„ +С51 +С²5,)^о],

где

5о = ^ и;; 8^ = ^ б,}!;; 5, = ^ а,^;²;

1=1 1=1 »==1

^=Г ^-^</;/с=0.1,2;а=^^; Р=^-^;

в

Iо=^л/^-^ет^ф)-ет^{а)}•, ^^-^-^-^-е-^\•, ^ ^ У^-[ ег{(Р) - ег^)] + ^ .- "² _ -I- .- Р²;

2 ^^> ег1(х) == _.— I е""²²^. У л ^ о

Функция Лагранжа поставленной задачи запишется следую­щим образом:

п

Ь=А [8,аи, + о²^ + 2С5,)^ + а(5„ +^ +^²5,)^о — ^ ^1-г=1

Система уравнений, вытекающих из условий стационарности этой функции по ц,, примет вид:

^,(2стУг01 + 4Саг(т/1² + 2С²а^а^о) + п

+ ^^а²Ь^ + (тСбг/о = ^; ^ ^ = ^!; ' = Гп.

г=1

Решение этой системы

1\-¹ ,._1/у^_ ^а]) ^а» \^ ^а]

/=1 /=1

^--(-^У+^(^^-^^)•

!__ I I__ 1

где

2о(аУг + 2С(Т/1 + СУо)

Полученные формулы дают решение поставленной задачи распределения суммарного ресурса С в случае, когда С—слу­чайная величина.