о

5.8. Уточнение модели управляемого объекта по данным текущих измерений

При использовании управляющих устройств в реальном време­ни требуется в процессе управления уточнять модель объекта, чтобы по уточненной модели и при изменившихся начальных данных рассчитать новый закон оптимального управления. Осо­бенность задачи уточнения модели по данным текущих измере­ний заключается в том, что в каждом такте вычислений уже

Рис. 5.18. Структура системы ада­птивной идентификации объекта

имеется начальное прибли­жение параметров модели. Для уточнения этих пара­метров желательно исполь­зовать результаты измере­ний, полученных только в текущий момент времени, не удерживая в памяти ма­шины результатов всех предшествующих измерений. Такие ал­горитмы часто называют адаптивными алгоритмами иденти­фикации.

Общая структура системы адаптивной идентификации при­ведена на рис. 5.18, где приняты следующие обозначения: х{1} ^и У(¹) —переменные на входе и выходе объекта в момент I;

у{1)—выход модели; Ь* и Ь—векторы параметров объекта

и модели соответственно; е(1')=г/('1)—у(1) — ошибка идентифи­кации, связанная как с наличием неизмеряемой случайной по­мехи КО, действующей на объект, так и с ошибкой аппрокси­мации истинных характеристик объекта расчетной моделью;

Р(е)—функция потерь, оценивающая величину ошибки. Это обычно четная функция, поскольку одинаково нежелательно иметь как положительную, так и отрицательную ошибку. Чаще всего ^⁷(е)=е². В силу того, что выход объекта у зависит не только от х и &*, но и от случайной помехи !;, ошибка е пред­ставляет собой случайную величину. Расчет параметров модели Ь сводится к решению задачи оптимизации вида

при тех или иных ограничениях, наложенных на множество до­пустимых значений вектора коэффициентов Ь.

В уравнении (5.168) М—знак математического ожидания, вычисляемого на множестве значений случайной функции у. Ес­тественным способом минимизации функционала / была бы заме­на математического ожидания М, его оценкой, подсчитанной по N наблюдениям, и вычисление коэффициентов Ь из условия мини­мума суммы

л' 1^=^Р[у(1)-'у(х(1}, Ь)}.

1=1

Однако при таком вычислении Ь пришлось бы запоминать N значений векторов у(1) и х(1) и ждать Л" тактов до получения оценки вектора Ь.

В адаптивных алгоритмах стремятся вычислить искомые па­раметры модели в виде

А'+1=ЬЧ-Дй'[у(«+1); -с(1-+1)].

где й'+'—приближение вектора коэффициентов в (1+1)-м такте; Ли'—по­правка, зависящая от текущих измерений и от номера такта »'.

Рассмотрим два способа формирования поправки А6'. Алгоритм стохастической аппроксимации. В этом алгоритме поправку Ай' выбирают в форме

дЬ'=-у(ОУо^(6',у(1).^(1)), (5.169)

т. е. поправка пропорциональна градиенту по Ь функции Р, стоящей в уравнении (5.168) под знаком математического ожи­дания. Такой способ выбора оправдан, если необходимо вы­бирать Ь из условия минимизации функции потерь только в I-том такте. Оказалось однако, что при определенном выборе функции у(1) выбор поправки по формуле (5.169) позволяет при {->оо получить значения &', сходящиеся к вектору Ь*. При этом сходимость следует понимать в вероятностном смысле, т. ё. при 1-»-оо вероятность ненулевого отличия Ь от Ь* стре­мится к нулю. Условия, наложенные на у(1) требованием схо­димости процесса, имеют вид:

00 00

^у(0=оо; Нту(0=0; ^гЧг^^О. (5.170)

;=1 <-. со 1=1

Требованиям (5.170) отвечает, например, закон изменения у(1) вида

•у(1)=а1/(02+0; а»>0; 02>0. - (5.171)

Проанализируем условия (5.170). Первое из них связано» с тем, что для любого начального приближения процедура уточ­нения должна привести в точку Ь*. Таким образом, сумма по-

00

правок 2 А&' должна быть сколь угодно велика.

«=1

Второе условие необходимо для того, чтобы •, при 1-»-оо по­правка Ай' стремилась к нулю. Между тем, Уь/"" через у(1) за­висит от случайного вектора ^(») и не равен нулю даже при

1—*-00.

Наконец, третье условие сходимости обеспечивает тот факт, что дисперсия суммарной коррекции, т. е. дисперсия 2 Лй^

У=1

при 1->-оо не должна быть бесконечно большой.

При произвольном выборе а\ и а.ч в выражении (5.171) ско­рость сходимости алгоритмов стохастической аппроксимации часто оказывается очень плохой, поэтому важную роль играют способы оптимизации скорости сходимости.

Одним из таких способов является использование «проме­жуточных прокруток». Суть его заключается в том, что в па­мяти машины после 1-го такта запоминают результаты измерения у и х на 1-том, (I—1)-м, (I—2)-м,..., (I—г)-м тактах. И в период до (1+1)-го такта эти измерения несколько раз «предъ­являют» алгоритму (5.169) как новые. При получении у (г+1) и х(1+1) самое старое из хранящихся в памяти машины изме­рений исключают, а последнее добавляют, так что в памяти машины все время хранятся результаты (г+1)-го последнего измерения.

Второй способ ускорения сходимости заключается в замене в (1г'+1)-м такте функционала Т выборочным средним, так что вектор Ь¹^ выбирается из условия минимума выражения

1 ^г+1 7= ——— ^ Р [у (v) - у (?(у), й'+1)] ——>- тшп (5.172)

у=<1

В общем случае вычисление поправок коэффициентов из ус­ловия (5.172) нецелесообразно, так как в правую часть этого выражения входят все измерения от первого до (11+1)-го и, кроме того, приходится вычислять матрицы вторых производ­ных 'V²ьР(у(V), х[у), Ь), что сопряжено со значительными трудностями. Однако в случае, когда функция Р представляет собой квадрат ошибки е(1')-, а выход модели у линеен по иско­мым коэффициентам Ь, процедура расчета может быть сделана рекуррентной. Рекуррентный метод наименьших квадратов. Пусть

п

~У) (х, Ь) = ^ Ьцхг, /• ='Т~т. (5.173)

1=0

а функция Р(е) =е². Тогда выражение / примет форму . <+1 "

7= ————— ^ [у (V) - ^ Ь^Х1 (V) ] ² ———> 1ШП . (5.174)

' • •4=1 г-о ^{ь +}

Здесь без ограничения общности принято, что у[у)—скаляр­ная функция, так как в векторном случае задача распадается на т независимых подзадач относительно векторов Ь/.

В данном случае искомым-является вектор Ь==(Ь\,..., &;,..., &п). Условие для выбора Ь'⁴¹ примет вид

д1 2 '+¹

ТГг - - 7^-Г 2 [^{у (у)} - 2 ^{Ь11+1Х1 м}) ^{ч (\) =} °'

У=1 1=0

что эквивалентно системе линейных уравнений

л 1+1 1+1

^ 6^+1 (^ Хь (V) XI (V)) = ^ у (V) Х„ (V); И = 0~Я" (5.175) 1—0 У=1 у-=1

Чтобы перейти к рекуррентной процедуре решения системы (5.175) относительно вектора Ь'"⁴¹, удобно использовать матрич-

ную форму записи. Введем матрицу

^о0). . . . .^(1), . . . .^п(1)

X^{^}-^1= '. : ;

^о'(<+1). . . х'1 (г+1). . . ^п(«+1)

Размерность этой матрицы в такте 1+1 равна (п+1)Х(1+1). Уравнения (5.175) в векторно-матричной форме примут вид:

рС(.+1)т^,+1]6>+1=^(.+1|Ту,+1 (5.176)

Здесь индекс т означает транспонирование соответствующей матрицы; У'^=(у(1), у (2),..., у (1+1))—вектор измерений вы­хода объекта.

Отметим, что произведение матриц р^+'^=х^^^+^\\^^ТV^^Л~^\ пред­ставляет собой матрицу размерности (к+1)Х(п+1); эта раз­мерность не зависит от числа тактов. Перепишем систему

(5.176) в форме

р>+16.+1=Д^(>+1)туг+1=д.+1, . (5.177)

Аналогично для г-го измерения

^"г>'=Д^'^ТУ•=^'. (5.178)

Чтобы выразить Ь'+¹ через Ь¹ и результаты последнего изме­рения, нужно выразить матрицу Р^{^}^^\ через Р':

^^{)^}+¹=^^Э^+ДЛ;<^{^}+¹)^ТДX'¹+¹=Р•+Л^". (5.179)

Здесь АХ'+'= (х\ (1+ 1),..., Хп(1+ 1))—вектор измерений входа объекта в (1+1)-м такте (последняя строка матрицы Х'+'). Так как АР'⁴¹ — произведение столбца на строку, то это также матрица размерности (п+1)Х(п+1), и операция сложения в уравнении (5.179) корректна. Матрица А7³'⁴¹ зависит только от результатов текущего измерения. Матрица Р' обратима только тогда, когда число тактов I больше, чем размерность п вектора входных переменных х. В этом случае из уравнения

(5.177) следует:

Ь>+|=(Р'+1)-10'+'. (5.180)

Получена обычная оценка вектора Ь^{^+\} по методу наименьших квадратов. Чтобы привести ее к рекуррентной форме, перепи­шем в виде

^^^=^^+^^^=^^+у(^+1)^X^{^}+^{^}. (5.181)

Подчеркнем, что АО' зависит только от последнего измерения. Из соотношения (5.178) видно, что 0'^Р'Ь¹. Поэтому

6'+1=(Р'+1)-1(Р'г>'+ЛО').

Прибавим к содержимому квадратной скобки и вычтем из не­го произведение АР'⁴'¹ Ь'. Получим

(5.182)

В этой формуле е(1'+.1) =г/(г+1)—^Х^+^Ь'—разница между выходом объекта, измеренным в (1"4-1)-м такте, и выходом мо­дели в том же такте, если коэффициенты модели останутся те­ми же, что и в г-том такте. Перемножая матрицы в (5.182), по­лучим:

й'+1=6'+(Р'+¹)-^IЛX•⁺^е(^+1). (5.183)

Таким образом, с учетом рекуррентного вычисления матрицы Р'+' в соответствии с (5.179) получили формулу для рекуррент­ного расчета коэффициентов Ь.

Наиболее трудоемкой операцией при этом оказывается об­ращение матрицы Р'⁴¹. Чтобы его не проводить, можно вос­пользоваться рекуррентной формулой для обратных матриц [17]. Она имеет вид

( (5.184)

и позволяет вычислить элементы обратной матрицы Р~¹ в (г'+1)-м такте, зная эти элементы в г-том такте и результаты текущих измерений вектора входных воздействий х. Для ис­пользования формулы (5.184) нужно задать начальное прибли­жение—матрицу (Р°)~¹. Обычно в качестве начального при­ближения принимают (Р^О)^{-^}=МЕ, где М—достаточно большое положительное число (Л1>10), а Е—единичная матрица. Но с ростом г влияние Р° мало сказывается на результатах расче­та Ь по формуле (5.183).

Если объект нестационарен, то результаты измерений, пред­шествующих текущему, с течением времени «обесцениваются». Этот факт можно учесть, введя коэффициент памяти ае(0,1] и вычисляя Р'⁴"¹ и 0'+¹ по формулам

.рт+1 == аР' + ДР'+¹; 0'+1 = а0¹ + Д0'+¹.

При а=1 получим соотношения, приведенные выше (полная память, все измерения одинаково достоверны). При а==0 па­мять отсутствует, оценки коэффициентов зависят только от од­ного последнего измерения.

Пример. Пусть требуется найти коэффициенты Ьц, Ь^ и Ьг, определяю­щие квадратичную зависимость производительности агрегата у от расхода х потребляемого им сырья. Нагрузочные характеристики у(х) реальных аппа­ратов меняются из-за изменения качества сырья, состояния поверхностей И т. п. Пусть

у = ид + Ь^х + Ь^.

Уточняя коэффициенты 6;, нетрудно непосредственно через них выразить оп­тимальные расходы сырья на каждый из параллельных агрегатов в задаче распределения ресурсов, а значит, уточнить по результатам текущих измере­ний оптимальное распределение.

Чтобы использовать приведенные выше зависимости, нужно принять "Д

в них вектор входных воздействий трехмерным ("=2), х»=\, х\=х, х^х\ Д

так что ДГ+^О, х{{+1), ХЦ1+1)), ^а

Подстановка этих выражений в соотношения (5.183) и (5.184) позволяет вы­числить коэффициенты Ьо, Ь\ и Ъг в каждом г-том такте.