Часть 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ■

Глава 3

АЛГОРИТМЫ ПЕРВИЧНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В АСУТП

3.1. ЗАДАЧИ ПЕРВИЧНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Основным видом информации о состоянии объекта управления в АСУТП являются текущие значения технологических парамет­ров, которые преобразуются автоматическими измерительными устройствами в сигналы измерительной информации. После приведения к стандартной форме эти сигналы вводятся в УВМ и представляют в ней значения соответствующих параметров в определенный момент времени.

Однако формируемый таким образом массив исходной ин­формации' не пригоден для непосредственного использования при решении задач управления, так как требуется его предвари­тельная обработка, которую принято называть первичной*. Для того чтобы сформулировать задачи первичной обработки инфор­мации (ПОИ) в АСУТП, необходимо рассмотреть последова­тельность преобразований, которым подвергается измеряемая величина в типовом информационно-измерительном канале (ИИК), схема которого представлена на рис. 3.1**.

Измеряемая величина x(t), которую обычно считают стацио­нарной случайной функцией времени, воздействует на вход из­мерительного преобразователя (ИП), на выходе которого форми­руется сигнал измерительной информации у(t). Принцип дейст­вия большинства ИП таков, что их выходной сигнал зависит не только от значения измеряемой величины, но и от ряда других величин Zj, которые называют влияющими.

Например, термоэлектрический преобразователь температу­ры (ТПТ) преобразует измеряемую величину — температуру — в сигнал измерительной информации — э.д.с. Однако этот сигнал зависит не только от измеряемой температуры, которая воспри-

* В отличие от вторичной переработки, которой исходная информация подвергается в алгоритмах контроля и управления.

** В состав ИИК входит также модуль нормализации, который на рис. 3.1 не показан, так как не требует решения дополнительных задач ПОИ.

•нимается рабочим спаем, но и от температуры свободных спаев, которая в данном случае является влияющей величиной.

В общем случае без учета динамической характеристики ИП связь между сигналами на его входе и выходе описывается ста­тической характеристикой вида:

Например, статическая характеристика ТПТ в первом при­ближении может быть описана линейной функцией

где у — э. д. с. ТПТ, мВ; х — температура рабочего спая, °С; z — температу­ра свободных спаев, °С; k — коэффициент, численное значение которого за­висит от материала электродов ТПТ (например, для хромель-копелевого ТПТ £=0,0695 мВ/°С).

Однозначное соответствие между сигналом измерительной информации и измеряемой величиной соблюдается только при постоянных значениях влияющих величин. Для каждого ИП эти номинальные значения z°/ указывают в его паспорте. Подставив их в уравнение (3.1), получим номинальную (паспортную) ста­тическую характеристику ИП:

В большинстве случаев для ТПТ номинальное значение тем­пературы свободных спаев принято равным 0°С, поэтому пас­портная статическая характеристика, полученная из (3.1а) при z = 0, имеет вид: y = kx.

Будем считать, что в процессе работы ИП значения влияю­щих величин соответствуют номинальным; следовательно, пре­образование значений измеряемой величины в сигнал измери­тельной информации выполняется в соответствии с паспортной статической характеристикой (3.2). Казалось бы, это должно гарантировать точное преобразование х в у, однако и при вы­полнении этого условия всякий реальный ИП вносит в резуль­таты некоторую погрешность. На структурной схеме (см. рис. 3.1) она представлена в виде случайной функции времени e(t), которая накладывается на полезный сигнал y(t) измери­тельной информации. Помеха e(t) моделирует не только случайную погрешность Ни, но и электрические наводки в соедини­тельных проводах, вызванные магнитными полями электросило­вого оборудования; влияние пульсаций давления и расхода в технологических трубопроводах вследствие работы насосов и компрессоров и другие факторы. На вход УВМ поступает сум-мяпньтй сигнал:

Поскольку АСУТП имеет много ИИК, их обслуживание раз­делено во времени, каждый канал периодически с периодом to подключается на короткое время ко входу УВМ. В результате непрерывная функция g(t) преобразуется в последовательность импульсов, модулированных по амплитуде функцией g(t). На структурной схеме ИИК (см. рис. 3.1) функцию квантования сигнала g(t) по времени выполняет коммутатор, условно изобра­женный в виде ключа, замыкаемого с периодом t₀. На выходе коммутатора образуется решетчатая функция:

Следующим видом преобразования, которому подвергается сигнал измерительной информации в ИИК, является квантова­ние по уровню, выполняемое аналого-цифровым преобразовате­лем (АЦП). При этом амплитуды импульсов g{jt₀) преобразу­ются в числа g*(jt₀), выраженные в коде, с которыми в даль­нейшем оперирует ЦВМ. Современные управляющие вычисли­тельные машины, как правило, используют двоичный код и опе­рируют с числами, имеющими 8 или 16 разрядов. Операция квантования дискретной величины g(jt₀) по уровню описывается следующим выражением:

Величина Ag определяется из условия:

Число g*(jto), полученное в результате выполнения всех пре­образований измеряемой величины в ИИК, вводится в одну из ячеек запоминающего устройства УВМ и в дальнейшем пред­ставляет в машине значение измеряемой величины x(t) в мо­мент времени t = jt₀.

Из изложенного вытекают следующие основные задачи пер­вичной обработки информации в АСУТП:

1) фильтрация сигнала измерительной информации от слу­чайной помехи (погрешности) e(t);

2. восстановление значения измеряемой величины x(t) по сигналу измерительной информации y(t);

3. коррекция восстановленных значений измеряемой величины с учетом отклонения условий измерения от номинальных;

4. восстановление значений измеряемой величины x(t) приjto<t<. (/+l)^o, т. е. интерполяция и экстраполяция.

Кроме того, необходимо оценить влияние квантования сиг­нала измерительной информации по времени и по уровню на точность его представления, а также рассмотреть методы конт­роля и повышения достоверности исходной информации в АСУТП.

3.2. ВЫБОР РАЗРЯДНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

В УВМ И ЧАСТОТЫ ОПРОСА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ СИГНАЛА

В современных УВМ наибольшее распространение получил ре­жим обработки данных с фиксированной запятой [48]. При этом погрешность представления исходной информации, вызванная квантованием по уровню, не превышает по абсолютной величине единицы младшего разряда, определяемой соотношением (3.5). Если задана допустимая относительная погрешность квантова­ния по уровню б_к, то необходимое число разрядов определяется из условия

Обычно я>8, так что относительная погрешность квантования по уровню не превышает 0,4%, т. е. является пренебрежимо ма­лой по сравнению с погрешностью измерительного преобразова­теля.

При разработке АСУТП важен выбор периода ^о квантова­ния по времени сигналов измерительной информации. Эта зада­ча решается с учетом двух противоречивых соображений. С од­ной стороны, увеличение периода t₀ снижает загрузку УВМ опе­рациями сбора и первичной обработки исходной информации. В результате большая доля вычислительных ресурсов системы может быть использована на решение задач контроля и управ­ления более высокого уровня. Это соображение особенно важно для микропроцессорных АСУТП. С другой стороны, при увели­чении периода to возрастает погрешность определения действи­тельного значения измеряемой величины y(t) по решетчатой функции g*(jto). Эта погрешность проявляется при восстановле-

Рис. 3.3. Спектры функций:

а — непрерывной; б, в — решетчатой при Шо<2о)_с и при (йо>2ю_с

нии значений функции у (t) в моменты времени, не совпадающие с момен­тами отсчета tj = jt₀.

Задачи восстановления непрерывной функции по ее дискретным значениям делятся на задачи экстра­поляции и интерполяции. Экстраполяцией называ­ют определение будущих

значений функции с момента очередного отсчета до момента по­ступления следующего отсчета. Интерполяцией называют опре­деление промежуточных значений функции между двумя полу­ченными отсчетами.

В общем случае восстановление непрерывного сигнала по решетчатой функции производится формирующим фильтром, представляющим собой линейное динамическое звено с ампли­тудно-фазовой характеристикой (АФХ) №_ф(ко) (рис. 3.2). Сле­довательно, для восстановленного сигнала справедливо следую­щее соотношение:

где G*(ico)—преобразование Фурье функции g*(/'o).

Из теории импульсных систем известно [55], что спектр ре­шетчатой функции является периодической функцией с перио­дом, равным частоте квантования (uo = 2njt₀.

Смещенные компоненты спектра могут частично перекрывать друг друга, причем степень перекрытия увеличивается по мере уменьшения частоты ©₀, т. е. при увеличении периода квантова­ния t₀ (рис. 3.3). В результате наложения спектр решетчатой функции" искажается, и из него невозможно выделить спектр ис­ходной непрерывной функции. Исключение составляет физически нереализуемый случай, когда спектр непрерывной функции огра­ничен, т. е.

а частота квантования удовлетворяет условию

При этом смещенные компоненты в спектре решетчатой функ­ции g(jto) не перекрываются, и из него можно выделить главную несмещенную составляющую, совпадающую со спектром непре­рывной функции g(t) (см. рис. 3.3). Для точного восстановления исходной непрерывной функции по решетчатой функции необхо-

димо использовать идеальный нереализуемый фильтр с АФХ

Действительно, погрешность восстановления, очевидно, равна

или в преобразованном по Фурье виде¹—

Для идеального фильтра (3.7) при выполнении условия (3.6) справедливо равенство

и, следовательно

Соотношение (3.6) составляет содержание теоремы Котель-никова — Шеннона, которая определяет необходимые условия передачи без искажения информации, содержащейся в непрерыв­ном сигнале при его квантовании по времени и последующем восстановлении.

Если для восстановления используют фильтр с АФХ W$(iai), отличающейся от (3.7), то даже при выполнении условия (3.6) точное восстановление исходной непрерывной функции невоз­можно. Погрешность восстановления получим, применив обрат­ное преобразование Фурье к выражению (3.8) с учетом (3.9):

Таким образом, погрешность восстановления зависит от свойств исходной функции g(t), периода квантования t₀ [эти два фактора определяют G*(tco)] и АФХ формирующего фильтра

Рассмотрим наиболее распространенные методы экстраполя­ции и интерполяции.

Метод ступенчатой экстраполяции (экстраполятор нулевого порядка) состоит в том, что значение восстанавливаемой функ­ции г/ф(/) для любого момента времени jt_o<t<i (j-\-l)t_Q прини­мают равным g*(jt₀) рис. 3.4):

Сигнал, восстановленный по алгоритму (3.11), можно, оче­видно рассматривать как сумму двух направленных в разные стороны скачков с амплитудой g*(jt₀), один из которых сдвинут по времени на to:

Следовательно, А.ФХ экстраполятора нулевого порядка равна:

Это выражение можно преобразовать, используя тригонометрическую форму комплексного числа

а тригонометрические функции кратных углов:

Подставляя полученное выражение в (3.12) и учитывая, что

получим

Погрешность экстраполяции обусловлена различием ампли­тудно-фазовых характеристик идеального фильтра (3.7) и экс­траполятора нулевого порядка (рис. 3.5). Для расчета погреш­ности ступенчатой экстраполяции из частотной области удобно перейти к рассмотрению сигналов y$(t) и g(t) (см. рис. 3.4). Погрешность экстраполяции, очевидно, равна

Перейдем в этом выражении к новой переменной x=t—jt₀, которая может изменяться в пределах от 0 до t₀; тогда (3.13) можно записать в виде: e₃(t) =g"(0)—g(x).

Если g(t) является стационарной случайной функцией, то математическое ожидание погрешности e₃(t) при усреднении по множеству интервалов x,- = t—jt₀, / = 0,1,2... равно нулю, так как

в силу линейности операции определения математического ожи­дания

Дисперсия погрешности экстраполяции равна: наибольшего значения при _т—_yt₀. Усредняя D_e{%) по т. в пределах от 0 до t₀, окончательно получим:

формулы (3.14) следует, что' дисперсия погрешности экс­траполяции зависит от т и

Из достигает где М — знак математического ожидания.

Это выражение позволяет рассчитать дисперсию погрешно­сти экстраполяции по заданному периоду квантования t₀ и авто­корреляционной функции R_g. Его же можно использовать для определения периода квантования t₀, если задано наибольшее допустимое значение среднеквадратичной погрешности экстра­поляции о_е* и известна автокорреляционная функция R_g(x). Для этого удобно использовать графо-аналитический метод (рис. 3.6).

По графику функции R_e(t) определяют такое значение i = t₀, при котором удвоенная средняя высота заштрихованной фигуры ABC (т. е. удвоенный отрезок ДЕ) будет равна задан­ному значению (a_e*)²=D_e. Если ИИК содержит звено чистого запаздывания т₀ (например, ввиду необходимости транспортиро-

вания пробы от технологического потока до чувствительного эле­мента ИП),,то для расчета среднеквадратичной погрешности экстраполяции можно использовать формулу (3.15) с заменой в ней пределов интегрирования: нижнего на то, а верхнего — на

('о+то).

Наряду с ИП непрерывного действия в АСУТП применяют и датчики дискретного действия, например хроматографы. Они осуществляют квантование по времени измеряемой величины с собственным периодом t_g, который обычно значительно выше •периода опроса t₀. В этом случае результирующий период кван­тования по времени в данном ИИК определяется из условия'

Для оценки погрешности экстраполяции можно использовать выражение (3.15) с заменой в нем ^о на i_g.

Линейная интерполяция (рис. 3.7) является простейшим ме­тодом интерполяции, в основе которого лежит кусочно-линейная аппроксимация функции g(t) на интервале значений jto<-t<£

<(/+1)*о.

Уравнение прямой, проходящей через точки g(jto) и ё{(/+1)^о]. можно записать в виде:

Погрешность линейной интерполяции

Подставляя в это выражение значение г/ф(О из формулы (3.16), возводя его в квадрат и усредняя по множеству интервалов, а затем по т в пределах от 0 до to, получаем выражение для дис­персии погрешности линейной интерполяции:

В литературе описаны и другие, более сложные методы ин­терполяции и экстраполяции [24], однако на практике их при­меняют редко. Современные УВМ обеспечивают достаточно вы­сокую частоту опроса ИИК, поэтому обычно удается обеспе­чить требуемую точность восстановления измеряемых величин, используя простейший метод ступенчатой экстраполяции. Обыч­но среди десятков и даже сотен ИИК можно выделить несколь­ко групп параметров, близких по частотным спектрам. Тогда можно выбрать общий период опроса для каждой группы дат­чиков. Например, в производстве разбавленной азотной кислоты опрос группы датчиков, контролирующих малоинерционный про­цесс контактного окисления аммиака, проводится с периодом 15 с, а опрос датчиков на инерционном процессе абсорбции — с периодом 2 мин.

Выбор частоты опроса измерительных преобразователей через число нулей случайного процесса. Выбор частоты опроса t₀ по формуле (3.15) требует знания корреляционной функции R_s(r) случайного процесса g(t). Для получения оценки корреляцион­ной функции необходим значительный объем вычислений. Кро­ме того, часто проще и естественнее задать не дисперсию ошиб­ки Д» от замены непрерывного случайного процесса ступенча­тым, а отношение этой величины к дисперсии случайного про­цесса D. Учтем также важность гарантии того, что выбранная частота опроса не приведет к появлению большей относитель­ной погрешности, чем заданное значение, т. е. важно получить оценку сверху для периода опроса t₀.

Для решения поставленной задачи воспользуемся неравен­ством [22]:

Если бы продолжительность корреляционной функции можно было оценить без построения этой функции, то неравенство (3.17) позволило бы оценить интервал опроса /₀- Ниже получим оцен­ку величины А через среднее число нулей случайного процесса No, т. е. через среднее число пересечений им линии своего ма­тематического ожидания в единицу времени. Предварительно отметим, что рассмотрение процессов с корреляционной функ­цией конечной продолжительности более естественны, чем про­цессов со спектральной плотностью, ограниченной частотой среза, так как первые, в отличие от вторых, физически реали­зуемы.

Известна связь среднего числа нулей N_o со спектральной плотностью случайного процесса 5(ш):

Пользуясь этой формулой, попытаемся найти минимальную продолжительность корреляционной функции R_g, имеющей за­данное число нулей N_o. В силу свойств преобразования Фурье, произведение любых двух функционалов, однозначнскопределяе-мых корреляционной функцией R_g, один из которых имеет раз­мерность времени, а другой — частоты [последний выражается через преобразование Фурье от R_g(r)], не изменяется при сжа­тии или растяжении корреляционной функции, т. е. при измене­нии масштаба времени.

Анализ размерности правой части формулы для iV₀² показы­вает, что среднее число нулей имеет размерность частоты. В ка­честве функционала, имеющего размерность времени, примем

Рис. 3.8. Определение корреляци­онной функции минимальной про­должительности

продолжительность А кор­реляционной функции R_g (t). Таким образом, произведе­ние C=NqA зависит от фор-

мы R_g(x) и не зависит от выбора масштаба времени. Поэтому первоначально зафиксируем /А=1 и при этом условии будем-искать минимум N_o, а точнее JV₀². Чтобы учесть требование ко­нечной продолжительности корреляционной функции, перейдем во временную область. Представим 5(ю) в виде |s(«o) |², что соответствует представлению Rg(x) как свертки двух функций — г⁺(х) и /"(т), первая из которых определена на интервале (О, 1), а вторая — на интервале (0, —1). Формула для среднега числа нулей может быть теперь переписана в виде

Чтобы найти минимум N\ потребуем, как обычно, минимума числителя при фиксированном значении знаменателя. Задача

(индекс «+» для краткости записи опущен) решается с испольг-зованием уравнения Эйлера. Составим функционал Лагранжа

и запишем для него уравнение Эйлера

Его решение (а точнее — множество решений):

Подставив решение в условие для заданной дисперсии, получим-A²_Q=D₀/n.

Величина / на найденных решениях /=£>₀&²я²; тогда I/D₀=kn². Это отношение минимально для k = l. Соответствующее решение

т+(т) показано на рис. 3.8. Там же нанесена корреляционная функция R_g*(x), имеющая при заданном среднем числе нулей минимальную продолжительность.

При Д=1 величина С_тщ оказывается равной единице. Следо­вательно, если фиксировано среднее число нулей No, то мини­мальная продолжительность корреляционной функции Amm=l/Af₀.

Пример. Пусть относительная дисперсия, связанная с дискретностью опроса датчиков, не должна превышать пяти процентов. По формуле (3.19) имеем для t₀ оценку

Возвращаясь к неравенству (3.17) и подставляя вместо Д значение Amm, получим оценку сверху для интервала опроса:

Для получения N_o определяют среднее значение случайного процесса, выбирают реализацию такой длины, чтобы случайный процесс пересекал линию среднего значения приблизительно 100 раз, и подсчитывают отношение числа пересечений к длине реализации: No=N(T)/T.

Если число пересечений в точности равно 100, то, обозначив соответст­вующую продолжительность реализации через Г_1Оо, получим:

Таким образом, на реализации длиной Тюо нужно 500 раз отобрать по­казания измерительного преобразователя.

3.3. ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН ОТ ПОМЕХ

Фильтрацией называют операцию выделения полезного сигнала измерительной информации y(t) из его суммы с помехой e(t) (см. рис. 3.1). Обычно методы фильтрации основаны на разли­чии частотных спектров функций y(t) и e(t): как правило, поме­ха бывает более высокочастотной. Для выполнения дальнейших выкладок примем следующие допущения:

1) функция y(t) является стационарным случайным процес­сом с известными статистическими характеристиками — матема­тическим ожиданием М_у, дисперсией D_y и автокорреляционной функцией, описываемой следующим выражением:

2) помеха e(t) также является стационарным случайным процессом, некоррелированным с полезным сигналом y(t); для нее известны статистические характеристики М_е = 0, D_e = kD_y:

В результате фильтрации получают оценку г/_ф (г) сигнала из­мерительной информации, к которой предъявляют следующие требования:

она должна быть несмещенной, т. е. должна удовлетворять условию

среднеквадратичная погрешность оценки должна быть мини­мальна, т. е.

Оценку уф(t) будем рассматривать как выходной сигнал ли­нейного динамического звена — фильтра с АФХ №ф(т), на вход которого поступает выходной сигнал ИИК g(t) =y(t)-{-e(t).

В разд. 1.5 сформулирована общая задача синтеза линейно­го оптимального фильтра и получены выражения для АФХ иде­ального (нереализуемого) и физически реализуемого фильтров. Однако синтез оптимального реализуемого фильтра является сложной задачей и, кроме того, требует достаточно точного за­дания характеристик полезного сигнала и помехи. Поэтому на практике обычно ограничиваются так называемым параметри­ческим синтезом фильтров, т. е. задают структуру функции Т^Ф^'со), а ее параметры определяют из условий (3.22) и (3.23).

Спектральную плотность функции e$(t) рассчитывают по формуле

Расчет дисперсии погрешности фильтрации обычно выпол­няют в частотной области, используя выражение

Функции S_e(co) и S_y (ю) являются спектральными плотностями сигналов e(t) и у (t), которые получают в результате преобразо­вания по Фурье автокорреляционных функций (3.20) и (3.21):

На практике применяют несколько простых алгоритмов филь­трации, рассмотренных ниже. Следует отметить, что в АСУТП некоторые методы фильтрации могут осуществляться как аппа-ратурно (с использованием специальных аналоговых устройств), так и программно. Поэтому для каждого такого метода фильт­рации изложен аналоговый и дискретный варианты реализации. Экспоненциальный фильтр*. В аналоговом варианте экспонен-

Название фильтра обусловлено тем, что импульсная характеристика апериодического звена описывается экспоненциальной функцией.

циальный фильтр представляет собой апериодическое звено и описывается дифференциальным уравнением

где у и &ф — параметры настройки фильтра. Уравнению (3.28) соответствует АФХ

где Гф=1./7 — постоянная времени фильтра.

Из условия (3.22) для статического режима определяют оп­тимальное значение параметра k& (коэффициента усиления):

Определение оптимального значения параметра у произво­дится из условия (3.23), для чего предварительно рассчитывают спектральную плотность погрешности экспоненциального филь­тра по формуле (3.25) с учетом (3.29) и (3.30):

Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, согласно (3.24) —(3.25) с учетом (3.29), равна

При вычислении этого интеграла оба слагаемых подынтеграль­ного выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида

После выполнения соответствующих преобразований полу­чают следующее выражение для дисперсии погрешности филь­трации:

■Оптимальное значение параметра настройки у получают из не­обходимого условия экстремума функции Aj>(y)^:

откуда

Таким образом, функция О_ф(у) имеет единственную точку стационарности, тип которой зависит от знака второй произ­водной при v=Y°- Можно показать, что при выполнении условия

особая точка является минимумом функции Aj>(y)> а при выпол­нении условия km<C\ в точке y=Y° функция D&(y) достигает максимума. Таким образом, если сочетание характеристик по­лезного сигнала и помехи соответствует случаю (3.32а),то опти­мальное значение параметра настройки определяется по форму­ле (3.32). Если это условие не выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра у.

При программной реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (3.28) заменяют разностным урав­нением вида

где / — номер цикла расчета.

Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения г/ф(/) в очередном /-том цикле

ПЯГЦЙТЯ¹

К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации отно­сятся малая трудоемкость расчетов и малый объем памяти УВМ, в которой должна храниться величина у и обновляемая в каждом цикле расчета величина г/ф(/—1).

Фильтр скользящего среднего в аналоговом варианте реализует вычисление среднего значения функции g(t)

на интервале времени от t—Гф до t (рис. 3.9,6):

где Гф — параметр настройки фильтра (время усреднения).

Преобразуем правую часть выражения (3.34), представив

РГП R RH7ie^%

Отсюда видно, что фильтр скользящего среднего представляет собой параллельное соединение двух интегрирующих звеньев, одно из которых последовательно соединено со звеном запазды­вания (рис. 3.9а). Поэтому амплитудно-фазовая характеристи­ка фильтра описывается выражением

которое аналогично по структуре выражению (3.12) и может быть преобразовано к виду

Решая совместно (3.24) — (3.27) и (3.35), можно получить выражение для дисперсии погрешности А}> фильтра скользяще­го среднего и определить оптимальное значение Г°ф параметра настройки из необходимого условия минимума функции />ф(Г_ф). Получаемое при этом выражение очень громоздко, неудобно для практического использования. На его основе рассчитаны номо­граммы [24], по которым для заданных значений а, т, k можно определить 7"^о_ф.

При программной реализации фильтра скользящего средне­го расчет сглаженного значения #ф(/) в очередном /-том цикле проводится по формуле

А7

где N=T<blh — параметр настройки фильтра.

Для расчета по формуле (3.36) требуется хранить в памяти УВМ (N-\-l) значение функции g(jt₀).

Статистические фильтры. Статистическими называют фильтры, которые в аналоговом варианте представляют собой параллель­ное соединение (я+1) цепочек, состоящих из усилительного зве-

на и звена чистого запаздывания. Передаточная функция такого фильтра

Статистический фильтр нулевого порядка. Это простейший среди фильтров данной группы. Его передаточная функция по­лучается из формулы (3.37) при N=0, т. е. это просто усили­тельное звено, выходной сигнал которого

При непосредственном использовании формулы (3.38) сглажен­ная функция г/о (t) будет являться смещенной оценкой полезного сигнала у (t), т. е. ее математическое ожидание не будет равно m_g. Действительно, усредняя левую и правую части (3.38) с уче­том (3.3) и т_е = 0, получим:

Для получения несмещенной оценки к правой части (3.38) необ­ходимо прибавить постоянный член а, удовлетворяющий условию

откуда

Таким образом, формула (4.38) приобретает вид

где 6о — параметр настройки фильтра.

Погрешность! фильтрации, согласно (3.22) и (3.39) с учетом (3.3), равна

о

где y(t)=y(t) —tn(y) —центрированная функция y(t).

Возводя левую и правую части формулы (3.40) в квадрат и усредняя, получим следующее выражение для среднего квадра­та погрешности фильтрации:

Оптимальное значение параметра настройки Ь_о, полученное из необходимого условия минимума функции Б_ф (Ь_о), равно

Ему соответствует минимальная среднеквадратичная погреш­ность гЬи.ттьтпягтии-

Как видно из (3.42), статистический фильтр нулевого порядка

при оптимальной настройке снижает случайную погрешность сигнала измерительной информации в (1+&) раз.

При программной реализации статистического фильтра ну­левого порядка расчёт сглаженных значений производится по формуле:

Статистический фильтр первого порядка. Его передаточную функцию получают из (3.37) при JV = 1:

Во временной области уравнение этого фильтра имеет сле­дующий вид:

Усредняя левую и правую части этого выражения и учиты­вая (3.3), получим: М[у_ф(1)]= (b_o-\-bi)m_y.

Для выполнения условия несмещенности оценки y$(t), т. е. условия M[y<t,(t)] — m_y, коэффициенты Ь_о и Ь_и очевидно, должны удовлетворять соотношению Ь\ = \—Ь_о, с учетом которого форму­ла (3.43) приводится к виду:

где Ьо и х — параметры настройки статистического фильтра первого порядка.

Погрешность фильтрации e$(t), согласно (3.3), (3.21) и (3.44), равна

а дисперсия погрешности

Оптимальное значение параметра настройки Ьо получаем из ус-

^ловия _-*г^=0;

В большинстве случаев статистические фильтры реализуют­ся программно, поэтому второй параметр настройки т совпадает с периодом /о квантования по времени функции g(t).

Сравнительный анализ фильтров по совокупности показате­лей (точности, трудоемкости, потребному объему памяти УВМ и др.) показал [24], что для аналогового варианта целесообраз­но использовать экспоненциальный фильтр, а для программной реализации — экспоненциальный или статистический фильтр первого порядка.

3.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРАДУИРОВКА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ И КОРРЕКЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В метрологии градуировкой называют операцию, с помощью которой делениям шкалы измерительного прибора придают оп­ределенные численные значения, выраженные в единицах изме­рения определяемой величины [27]. Аналогичный смысл вкла­дывают в понятие аналитической градуировки ИП: это опера­ция определения (восстановления) значения х измеряемой вели­чины по сигналу у измерительной информации на выходе ИГГ (см. рис. 3.1). Операцию аналитической градуировки выполняют с использованием градуировочной характеристики ИП, пред­ставляющей собой функцию, обратную его номинальной статиче­ской характеристике (3.2):

где к^т — значение измеряемой величины, соответствующее по градуировоч­ной характеристике ИП значению у сигнала измерительной информации.

Градуировочная характеристика или номинальная статиче­ская характеристика приводится в паспорте ИП в виде аналити­ческой функции или таблицы соответствия значений х^т; и у,-.

Рассмотрим несколько примеров ИП, для которых известно аналитиче­ское выражение характеристики /₀ или /о"¹. Гидростатический уровнемер жидкости преобразует значение измеряемого уровня L в перепад давлений ДР между точками отбора импульсов (в самой нижней _ точке аппарата и над уровнем жидкости):

где р — плотность жидкости, кг/м³; L — уровень жидкости, м; &i—масштаб­ный коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения величины ДР (например, если АР выражено в МПа, то £i = 10-⁵).

Перепад ДР линейно преобразуется дифманометром в стандартный электрический сигнал у (например, 0—10 В на весь диапазон измерения). Таким образом, статическая характеристика данного ИП описывается урав­нением

где kz=y*l&P* — коэффициент усиления дифманометра; у*—значение вы­ходного сигнала дифманометра, соответствующее верхнему пределу измере­ния ДР* (для упрощения выкладок предполагается, что нижним пределом измерений является нуль).

Ей соответствует градуировочная характеристика:

Номинальную статическую характеристику получают из (3.49) при номи­нальном значении плотности p=po=const:

Для комплекта рН-метра, состоящего из чувствительного элемента и преобразователя э. д. с. чувствительного элемента в стандартный электри­ческий сигнал, статическая характеристика описывается уравнением [2]

тде £_и, рН_и, So и а — константы, значения которых зависят от типа элект­родов чувствительного элемента; 9 — температура анализируемого раствора, "С; й₃=</*/рН*—коэффициент усиления комплекта рН-метра; у*—значение выходного сигнала преобразователя, соответствующее верхнему пределу из­мерения рН*.

Ей соответствует градуировочная характеристика

Номинальная статическая характеристика расходомера переменного пе­репада давления описывается следующей нелинейной функцией:

Номинальную статическую характеристику рН-метра получают из (3.51) при номинальном значении температуры 9₀=20°С:

где у — стандартный выходной сигнал дифманометра (который рассматри­вается как линейный преобразователь перепада давления на сужающем устройстве в выходной сигнал у); k — коэффициент, зависящий от условий измерения; Q — измеряемая величина, т. е. объемный расход потока через сечение трубопровода.

Ей соответствует градуировочная характеристика

где ko —■ градуировочное значение коэффициента k.

Если градуировочная характеристика ИП задана аналити­чески, то операция аналитической градуировки сводится к вы­полнению расчета по формуле (3.47).

коэффициенты a_v которого определяют по методу наименьших квадратов, т. е. из условия

Для многих ИП с нелинейной градуировочной характеристи­кой последнюю определяют экспериментально и вносят в пас­портные данные в виде графика или таблицы соответствия зна­чений х^т и г//. В частности, в виде таблицы задают градуировоч-ные характеристики наиболее массовых ИП, применяемых в АСУТП химических производств — термопреобразователей со­противления (ТС) и термоэлектрических преобразователей тем­пературы (ТПТ). При табличном представлении градуировоч­ной характеристики применяют способ аналитической градуи­ровки, заключающийся в аппроксимации табулированной градуи­ровочной характеристики аналитическим выражением, которое в дальнейшем используют для вычисления значений х^г. Чаще всего в качестве аппроксимирующей функции используют мно­гочлен m-й степени:

Например, слабо нелинейные градуировочные характеристики ТС и ТПГ с достаточно высокой точностью аппроксимируются полиномами не выше третьей степени. В частности, градуировочная характеристика хромель-копе-левого ТПТ в диапазоне температур 0—600 ^СС аппроксимируется следую­щим полиномом второй степени [45]:

где х^с — значение температуры, °С; у — э. д. с. ТПТ, мВ. Максимальная от­носительная погрешность аппроксимации табличных данных не превыша­ет 0,5%.

Вычисления по формуле (3.53) целесообразно выполнять по так называемой схеме Горнера:

Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление по схеме Горнера, представлена на рис. 3.10.

Операция аналитической градуировки ИП позволяет опреде­лить действительное значение х измеряемой величины по сигна­лу у измерительной информации только в том случае, если х преобразовано в у в соответствии с номинальной статической характеристикой ИП (3.2), т. е. при выполнении условия

Действительно, в этом случае

Однако в производственных условиях невозможно стабилизиро­вать значения всех влияющих величин на номинальном уровне, что приводит к нарушению условия (3.54). При этом

где Д£—■ вектор отклонений влияющих величин от номинальных значений.

Возникает так называемая дополнительная погрешность измере­ния, которая, очевидно, равна:

Если известна полная статическая характеристика ИП (3.1) и вектор Az, можно рассчитать погрешность Ах^г и внести соответ­ствующую поправку к расчетному значению х^г, полученному по градуировочной характеристике.

Истинное значение х при нарушении условия (3.54) находят при расчете по функции, обратной полной статической характе­ристике ИП:

Его можно найти, умножая значение х^т, полученное по форму­ле (3.47), на некоторый поправочный коэффициент k_n:

Откуда с учетом (3.56) и (3.47) получим:

В качестве примера найдем выражение для расчета поправочного коэф­фициента для гидростатического уровнемера. Статическую характеристику (3.49) гидростатического уровнемера преобразуем так, чтобы сделать явной ее зависимость от температуры жидкости, которая является главной влияю­щей величиной. Для этого заменим плотность р соотношением, описываю­щим ее зависимость от температуры 6 при небольших отклонениях от номи­нального значения 6о:

где р — температурный коэффициент объемного расширения жидкости. По­сле подстановки (3.59) в (3.49) получим полную статическую характери­стику в виде

Обратная ей функция:

Поправочный коэффициент найдем, согласно (3.58), делением этого выра­жения на градуировочную характеристику (3.50):

Особенно часто в АСУТП корректируют результаты измере­ния расходов, поскольку обычно их используют для расчета

Рис. 3.10. Блок-схема алгоритма вычис лення полинома по схеме Горнера

fexHHKO-экономических показателен производства. В подавляющем боль­шинстве случаев расход газов, пара и жидкости, транспортируемых пс трубопроводам, измеряют с по­мощью расходомеров переменногс перепада давления [27]. При ис пользовании стандартных сужаю­щих устройств расходомеры этогс типа градуируют расчетным путем т. е. для определенных номинальны? условий измерения (температура давление и т. д.) рассчитывают гра дуировочную характеристику расхо домера. Коррекцию измеренных зна чений расхода производят при от клонении условий измерения от но минальных, а также с целью приве дения результатов к единым услови

ям (обычно температура 20 °С, давление 10⁵ Па), чтобы сделать их сопоставимыми.

. Для коррекции применяют общие соотношения (3.57) и (3.58). Формулы для расчета поправочных коэффициентов для разных возможных на практике случаев измерения расхода по­лучают подстановкой в (3.58) выражения (3.52), конкретизиро­ванного для каждого случая.

Для примера рассмотрим коррекцию результатов измерения массового расхода насыщенного пара на изменение давления в трубопроводе. В этом случае функция, обратная полной статической характеристике расходомера, описывается выражением [27].

где k — коэффициент, практически не зависящий от давления; р — плот­ность измеряемой среды.

Таким образом, £п=Ур/ро- В частности, для диапазона давлений 0,25— 0,85 МПа зависимость р от давления насыщенного пара аппроксимируется полиномом второй степени [45]:

Для насыщенного пара плотность зависит от давления, поэтому попра­вочный коэффициент получаем делением выражения (3.60) на градуировоч-ную характеристику (3.52), которую запишем в виде:

Задав номинальное значение Яо, можно по этой формуле рассчитать ро, а затем в процессе измерения рассчитывать фактическую плотность, соответ­ствующую текущему значению Р, и вносить поправку на изменение условий.

3.5. КОНТРОЛЬ И ПОВЫШЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Исходная информация о текущем состоянии объекта управле­ния поступает в УВМ по многим десяткам, а иногда и сотням ИИК. С увеличением их числа возрастает риск попадания в сис­тему недостоверной информации, поэтому одной из важнейших функций первичной обработки информации в АСУТП является контроль ее достоверности.

Недостоверная исходная информация появляется при отказах ИИК, которые делятся на полные и частичные (метрологичес­кие). Полный отказ наступает при выходе из строя ИП или по­вреждении линии связи ИП с УВМ. При частичном отказе тех­нические средства сохраняют работоспособность, однако по­грешность измерения соответствующего параметра превышает допустимое значение.

Обнаружение полных отказов ИИК является гораздо более простой задачей, чем выявление частичных отказов. Поэтому сначала рассмотрим алгоритмы контроля достоверности исход­ной информации, позволяющие обнаружить только полный от­каз ИИК. При этом недостоверное значение параметра должно быть заменено достоверной оценкой, в качестве которой может

Рис. 3.11. Блок-схема алгоритма допус-кового контроля достоверности исходной информации

быть использовано предыдущее достоверное значение этого пара­метра или его значение, усред­ненное за некоторый интервал времени, предшествующий мо­менту обнаружения отказа ИИК. Последний способ применяют для наиболее ответственных парамет­ров, например, расходов, значе­ния которых используют при рас­чете ТЭП.

Алгоритм допускового контроля параметра. Он основан на том, что при работе объекта значения

каждого из контролируемых технологических параметров дс,- не могут выходить за определенные границы:

Соответственно при исправном ИИК должен быть ограничен и сигнал измерительной информации г/,, поступающий в УВМ по этому каналу:

Контроль достоверности по этому алгоритму заключается в про­верке выполнения условия (3.61) для каждого значения сигна­ла измерительной информации, поступившего при очередном опросе ИИК. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.11. Он работает следующим образом.

После инициации работы алгоритма (блок /) и ввода исход­ных данных (блок 2) организуется цикл проверки ИИК, каждо­му из которых присвоен свой номер г (блок 3); в блоке 4 прове­ряется условие (3.61), при выполнении которого проверяется ус­ловие окончания работы алгоритма (блок 5). Выполнение усло­вия г = п (где п — число контролируемых ИИК) останавливает работу алгоритма. Если это условие не выполняется, счетчик но­мера ИИК увеличивается на 1 (блок 8), и цикл повторяется. Если при проверке в блоке 4 условие (3.61) не выполняется, то в блоке 6 недостоверное значение y_r (jt₀) заменяется достовер­ным значением yj[(j—1)^₀] того же сигнала, полученным в пре­дыдущем цикле опроса ИИК. Затем на печать выводится сооб­щение о том, что обнаружен отказ t-того ИИК (блок 7), и рабо­ту алгоритма продолжает блок 5.

Этот алгоритм применим не только для стационарных про­цессов, но и для нестационарных, например периодических. В этом случае граничные значения у,* и у,* в условии (3.61) являются не константами, а функциями времени, отсчитываемо­го от начала процесса. Алгоритм допускового контроля скорости изменения сигнала

измерительной информации основан на том, что скорость изме­нения любого технологического параметра х_г ограничена усло­вием

где о)с—частота среза функции x_r(t)\ x, — среднее значение этой функции.

Соответственно должна быть ограничена и скорость измене­ния сигнала измерительной информации y_r(t)

Контроль достоверности по данному алгоритму заключается в проверке выполнения условия (3.63), причем оценку производ­ной dyijdt рассчитывают по формуле

Контроль достоверности исходной информации по условиям (3.61) и (3.63) часто совмещается. Тогда в блок-схему алгорит­ма на рис. 3.11 между блоками 4 и 5 вводится еще один блок, осуществляющий проверку выполнения условия (3.63). При на­рушении этого условия инициируется блок 6.

Алгоритмы контроля достоверности исходной информации, е помощью которых выявляются частичные отказы ИИК, основаны на использовании информационной избыточности, которая всег­да имеется в АСУТП. Избыточность прежде всего может быть создана искусственно при проектировании АСУТП за счет ап-' паратурной избыточности, например резервирования ИИК для контроля наиболее важных технологических параметров.

Другой вид информационной избыточности в АСУТП обусг ловлен тем, что информация о действительном значении некото­рого технологического параметра содержится не только в изме­ренном значении этого параметра, но и в измеренных значениях других параметров, связанных с ним устойчивыми зависимостя­ми, например, уравнениями материального баланса.

При разработке алгоритмов контроля достоверности исход­ной информации на основе информационной избыточности при­нимают следующие допущения:

1) маловероятно одновременное появление в пределах рас­сматриваемой структуры более чем одного источника недосто­верной информации;

2. маловероятно одновременное изменение характеристик двух независимых источников информации, при котором соот­ ношение между ними остается неизменным;

3. маловероятен выход за допустимые пределы показателя, зависящего от нескольких независимых величин, при нормаль­ной вариации последних.

Алгоритмы, применяемые при аппаратурном резервировании И И К. Эти алгоритмы используют сигналы измерительной ин­формации j/_v, полученные в результате преобразования одной измеряемой величины с помощью п ИП, так что v=l,2,...п.

Если я>3 и погрешности ИП близки друг к другу, то опре­деление частичного отказа ИИК производится по нарушению условия

где у — среднее значение i/v; с=const — наибольшее допустимое значение модуля разности у\ и у; величина с может быть принята равной (2—3) а, где а — среднеквадратичная погрешность ИП.

Важное практическое значение имеет случаи, когда один из параллельных ИИК можно принять за эталонный, поскольку его погрешность существенно меньше, чем у других. В этом слу­чае признаком частичного отказа v-ro ИИК является нарушение условия

где c_v = (2—3)ct_v—допустимая погрешность v-ro ИИК; 0"v — среднеквадра­ тичная погрешность v-ro ИИК. J

Разновидностью данного алгоритма является метод тестовых (калиброванных) сигналов, позволяющий контролировать ис­правность ИИК без ИП. Метод заключается в том, что ИП на время отключают и вместо него к входу ИИК подключают источ­ник тестового сигнала, для которого с высокой точностью извест­но значение у_э- Если сигнал y_v на выходе проверяемого ИИК удовлетворяет условию (3.65), то канал признают исправным; его нарушение является признаком частичного отказа.

Если п = 2 и погрешности обоих ИИК близки, то признаком частичного отказа одного из них может служить нарушение ус­ловия:

При этом невозможно определить отказавший ИИК без привле­чения дополнительной информации.

Алгоритмы, использующие связи между измеряемыми величина­ми. Эти алгоритмы широко применяют для контроля достовер­ности исходной информации и диагностики частичных отказов ИИК. При этом связи могут быть функциональными (например, уравнения материального и энергетического баланса) или веро­ятностными. В последнем случае они описываются регрессион­ными уравнениями.

Рассмотрим общую методику контроля достоверности резуль­татов измерения п величин, связанных т уравнениями вида

Будем считать, что заданы функции f,(x) и дисперсии а<² погрешностей измерения, которые являются случайными вели­чинами с нормальным законом распределения и нулевым мате­матическим ожиданием.

Уравнения (3.66) выполняются только при подстановке в них истинных значений Xi измеряемых величин. Если же значе­ния измеряемых величин известны с погрешностями Д#,-, т. е.

то при их подстановке функции f/(x) не равны нулю:

где // — погрешность выполнения /-го уравнения связи (3.66), вызванная по­грешностями измерения.

Функции fi(x) обычно являются непрерывными и дифферен­цируемыми по всем аргументам, поэтому их можно разложить в ряд Тейлора по степеням величин А*,-:

Поскольку при частичных отказах ИИК погрешности Axi малы, можно не принимать во внимание нелинейные члены ряда (3.68), содержащие в качестве сомножителей величины высших поряд­ков (Ах)^к, где k = 2,3,.... Тогда с учетом (3.66) из (3.68) полу­чим:

Подстановка уравнения (3.69) в (3.67) дает:

где

На практике расчет параметров ац проводят, используя не ис­тинные, а измеренные значения xi, так что

Система уравнений

является линеаризованной математической моделью объекта уп­равления или некоторой его части. Она служит для расчета оценок погрешностей А*,-, которые используют при контроле достоверности исходной информации и диагностике частичных отказов ИИК.

Метод расчета погрешностей Ах,- зависит от соотношения между числом измеряемых величин п и числом уравнений свя­зи т.

При п = т значения Axi определяют одним из численных ме­тодов решения системы т линейных уравнений (3.72). При л>т можно попытаться уменьшить число рассчитываемых оце­нок погрешностей с п до т. Для этого результаты измерений q = n—т параметров следует заранее рассматривать как досто­верные. Если такое допущение правомерно, задача сводится к рассмотренному выше варианту.

В общем случае при п>т оценки погрешностей Ax_h опреде­ляют, решая оптимизационную задачу

при выполнении соотношений (3.70). Весовые коэффициенты р₍-, позволяющие учесть различие в классе точности ИП, рассчиты­вают по формулам [24]

п

где £=const, oi — среднеквадратичная погрешность i-того ИП.

Для решения задачи нелинейного программирования (3.73) используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Сос­тавляют функцию Лагранжа:

где X, = const — множители Лагранжа.

Для нее записывают необходимые условия оптимальности

—з— = 0 и-^г- =0 в виде следующей системы (п-\-т) уравне-

OXi OAj

ний:

Искомые оценки погрешностей Axi являются решениями систе­мы линейных уравнений (3.75) — (3.76).

Рассчитанные значения оценок погрешностей используют для коррекции результатов измерений:

Xi = xi—Axi. (3.77)

Среднеквадратичная погрешность откорректированных зна­чений измеренных величин меньше среднеквадратичной погреш­ности измерений ИИК, причем увеличение точности оценок тем значительнее, чем меньше разность п—т.

На рис. 3.12 представлена блок-схема алгоритма контроля достоверности исходной информации, диагностики частичных отказов ИИК и коррекции результатов измерений, основанного на использовании функциональных связей между измеряемыми величинами. Он работает следующим образом.

После инициации (блок /) в оперативную память УВМ вво­дятся исходные данные (блок 2) и начинается циклический рас-

чет погрешностей // уравнений связи по формуле (3.67), для че­го служат блоки 4, 7 и 8. В блоке 5 рассчитанные значения срав­ниваются с наибольшими допустимыми значениями /_;*:

Если условие (3.78) выполняется для всех уравнений связи, то все результаты измерения признают достоверными, т.е. х, = л;,-, и работа алгоритма заканчивается, тах как логическая перемен­ная k сохраняет свое первоначальное значение k = 0.

Нарушение условия (3.78) хотя бы для одного уравнения связи служит признаком наличия частичных отказов. При этом в блоке 6 логическая переменная k приобретает значение 1, и после окончания цикла расчета погрешностей I] уравнений связи алгоритм переходит к расчету оценок Axt погрешностей измере­ний (блоки 10—25). Он начинается с циклического вычисления оценок коэффициентов а/,- линеаризованных уравнений связи в блоках 10—16. Коэффициенты рассчитываются по формуле (3.71) в блоке 12. В блоке 17 формируется матрица коэффици­ентов a,i системы линейных уравнений (3.72) и матрица-столбец погрешностей //. Если расчет выполняется для случая п = т, то на этом работа блока 17 заканчивается. Для случая п>т мат­рица, формируемая блоком 17, дополняется строками, соответ­ствующими уравнениям (3.75).

Блок 18 предназначен для решения одним из численных ме­тодов системы линейных уравнений (3.72) или (3.75) — (3.76). Эта часть алгоритма требует основных затрат машинного вре­мени и оперативной памяти ЭВМ. В результате работы блока 18 получают оценки погрешностей измерений Ах,-.

В блоках 19—23 производится диагностика частичных отка­зов ИИК, для чего оценки Axt сравнивают с наибольшими до­пустимыми значениями погрешностей измерений Ах₍*:

Нарушение условия (3.79), которое проверяется в блоке 20, является признаком частичного отказа t-того ИИК; сообщение об этом формируется блоком 21. В блоке 22 рассчитывается откорректированное значение Xi измеряемой величины по фор­муле (3.77). Блок 25 служит для вывода результатов расчета, после чего работа алгоритма завершается. Исходными данными для работы алгоритма являются массивы следующих величин: измеренных значений параметров хг, допустимых погрешностей /,•* уравнений связи; допустимых погрешностей А*,-* измерений; весовых коэффициентов р,- (если п>от).

Пример. Рассмотрим контроль достоверности результатов измерения расходов азотной кислоты, поступающей с производства на склад. Производство состоит из трех параллельно работающих агрегатов. На выхо­де каждого из них измеряется расход q_t (г'еТГЗ) продукционной кислоты. Затем кислота поступает в коллектор, в котором измеряется общий расход <74. Поскольку расход q_t является одним из основных отчетных параметров производства, для его измерения используют расходомер более высокого класса точности, чем для измерения расходов q\ — q% Исходные данные для алгоритма контроля достоверности исходной информации следующие:

измеренные значения параметров *i= 12,1 т/ч; х₂= 11,6 т/ч; £₃=12,4 т/ч; 2₄=34,5 т/ч;

допустимая погрешность выполнения уравнения связи 2*= 1,5 т/ч;

допустимые погрешности измерения отдельных параметров Ax_t* = &.x₂* = = Д*з*=0,45 т/ч; Д*₄*=0,65 т/ч;

среднеквадратичные погрешности измерения 01 = 0,3 т/ч; 02=0,2 т/ч; сг₃= = 0,35 т/ч; о₄=0,33 т/ч.

Действуем в соответствии с блок-схемой на рис. 3.12.

1. Определим погрешность / выполнения уравнения связи между изме­ряемыми параметрами, которое в данном случае имеет вид:

2. Проверка условия (3.78) приводит к выводу, что среди результатов, измерения Xi имеются недостоверные.

3. Исходное уравнение (3.80) является линейным, следовательно, коэф­ фициенты линеаризованного уравнения (3.70) совпадают с коэффициентами уравнения (3.80):

Для дальнейшего формирования системы уравнений (3.75) — (3.76) не­обходимо рассчитать весовые коэффициенты pi. Запишем условие (3.74) для заданных значений ы:

откуда £=0,0187; pi = 0,208; р₂=0,468; р₃=0,153; р₄=0,172. Теперь запишем систему уравнений (3.75) —(3.76):

Ее решениями являются следующие значения оценок погрешностей изме­рений:

4. Проверим выполнение условия (3.79). Как легко убедиться, оно не выполняется только для параметра <7з, из чего следует вывод о частичном отказе этого ИИК.

В заключение рассчитаем откорректированные оценки значений измеряе­мых величин:

<7i=ll,701 т/ч; ?2=11,423 т/ч; <7з=П,858 т/ч; «74=34,982 т/ч. При этих значениях удовлетворяется уравнение связи (3.80).

Изложенный выше алгоритм можно использовать не толь­ко для определения частичных отказов ИИК, но и для более глубокой диагностики погрешностей измерения. Для этого под­вергают статистической обработке расчетные значения погреш­ностей Axi, получаемые в последовательных циклах работы алгоритма. Оценка математического ожидания случайной вели-

чины Axi за N циклов расчета характеризует систематическую погрешность измерения t-того ИИК:

где t_a — период, с которым выполняются расчеты по алгоритму контроля до­стоверности исходной информации.

По формуле

рассчитывают оценку среднеквадратичной погрешности изме­рения.