Глава 5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

5.1. Формирование критериев оптимальности

При решении оптимизационных задач с помощью ЭВМ очень важно точно их сформулировать. Для формулировки задачи необходимо ввести обозначения искомых переменных и исход­ных данных, записать в этих обозначениях критерий оптималь­ности, который в результате решения должен принять мини­мальное или максимальное значение, и выписать набор усло­вий, определяющих множество допустимых решений. Такими условиями являются связи между искомыми переменными;

пределы, в которых может выбираться каждая из них; требо­вания к характеру искомых функций (гладкость, непрерывность и т. д.).

Любой технологический процесс характеризуется рядом по­казателей — таких как производительность G, вектор К, опре­деляющий качество выходного продукта, показатель, надеж­ности процесса Р, капиталовложения М, затраты на обслужи­вание S₀. Каждый такой показатель определенным образом характеризует процесс. При формулировке задачи оптимиза­ции часть этих показателей может быть введена в критерий оптимальности, а остальные должны учитываться при форми­ровании ограничений, определяющих множество допустимых решений. При этом в ряде случаев нужно учесть и неопреде­ленность условий функционирования, связанную с неконтроли­руемыми изменениями состава сырья, состояния внешней сре­ды и т. п.

Способы формирования сводного критерия оптимальности. Обо­значим через I_ -тый показатель функционирования процесса и будем для простоты считать, что в результате оптимизации желательно любой из т таких показателей (частных крите­риев) увеличить. Если некоторые из показателей, например капиталовложения М, нужно уменьшить, то соответствующий им частный критерий I_ примем равным — М. Через и обозна­чим параметры процесса и системы управления, подлежащие оптимальному выбору, и будем первоначально считать задачу полностью детерминированной, полагая, что значение каждого из частных критериев становится известным при задании и.. Таким образом, каждой точке и° в пространстве и параметров-соответствует точка I° в пространстве I критериев (рис. 5.1), Ясно, что оптимальное решение по одному критерию I₁ приво­дит в точку I₁^* (рис. 5.1, б) и не совпадает с оптимальным ре­шением по критерию I₂ (точкой I₂^*). Чтобы найти оптимальное решение и*, можно пойти по пути формирования из частных критериев I_ свободного критерия . Приведем несколько спосо­бов получения.

Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами. Весовые коэффициенты _ учитывают относительную важность того или иного критерия и устанавливаются путем экспертизы

(5.1)

где

; . (5.2)

Значения частных критериев I_ при использовании свертки (5.1) должны быть либо безразмерными, либо иметь одинако­вую размерность.

Отметим, что геометрически применение критерия (5.1) при­водит к выбору на множестве I такого вектора I^*_ , у которого максимальна проекция на прямую , такую, что квадраты ее направляющих косинусов равны _ (рис. 5.1,6); в частности, cos²₁=₁.

Использование нормативных показателей. Пусть для каж­дого из частных критериев известно некоторое нормативное значение I_н, например среднее значение I_ для действующих аппаратов, аналогичных оптимизируемому. Тогда отношение i_=I_/I_н характеризует степень совершенства процесса с точ-

Рис. 5.1. Схема формирования критерия оптимальности:

а—пространство управляющих параметров; б—пространство критериев

ки зрения -го показателя. Обозначим минимальное по  зна­чение i_ через i_*. В этом случае критерием оптимизации мо­жет быть величина i_*, так что

i_*= (5.3)

При использовании такого критерия можно быть уверенным, что степень совершенства по любому показателю будет не ни­же, чем величина i^max_*, полученная в результате решения за­дачи (5.3). Практически часто оказывается, что увеличение одного из показателей i_ приводит к уменьшению другого. В этом случае использование критерия (5.3) даст такое опти­мальное решение и*, для которого два или несколько значений i_ окажутся одинаковыми и равными i^max_*.

Приближение к «идеалу». Пусть известны решения те задач оптимизации вида

; (5.4)

В результате найдены предельные значения I^*_ у каждого из частных критериев оптимальности без учета остальных. В про­странстве критериев точку I^* с координатами I^*_ называют идеалом (рис. 5.1,6). Когда решения u^*_ задач (5.4) не оди­наковы, идеал не принадлежит множеству I достижимых зна­чений критериев. Однако можно на втором этапе решения по­ставить задачу определения такого достижимого критерия и соответствующего ему допустимого решения, для которых расстояние от идеала было бы минимальным, например:

или

Справедливый компромисс. Выбор решения в задаче с несколькими частными критериями представляет собой ком­промисс, так как увеличение одного показателя приводит к уменьшению другого. При справедливом компромиссе стремят­ся к тому, чтобы в точке и* сумма относительных изменений всех показателей была равна нулю. Таким образом, в точке и* должно быть выполнено равенство

, (5.5)

которое можно переписать в следующем виде:

. (5.6)

Равенство (5.6) является необходимым условием максиму­ма произведения величин I_(и). Действительно, если

(5.7)

достигает максимума, то максимален и логарифм этого выра­жения

Таким образом, справедливый компромисс соответствует свод­ному критерию (5.7), равному произведению частных крите­риев.

Оптимальность по Парето. Выбор каждого из приведенных выше способов получения сводного критерия субъективен или основан на некоторых дополнительных предположениях. Меж­ду тем, оптимальное решение в задаче с несколькими крите­риями можно определить иначе, чем в задаче с одним крите­рием. В этом случае нет необходимости во введении сводного критерия оптимальности. Такой подход был предложен в 1904 г. итальянским экономистом В. Парето.

Оптимальным по Парето решением u_п является любое ре­шение, если среди допустимых решений не найдется такого и°, для которого

I_ (и°) I_(и_п); , (5.8)

причем хотя бы для одного значения v неравенство (5.8) стро­гое. Иными словами, и_п оптимально, если нельзя улучшить ни одного из частных показателей, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Оптимальным по Парето решениям соответствует на рис. 5.1,6 та часть границы множества I (выделена жирной линией), для которой любое направление, образующее с осью абсцисс угол, меньший либо равный /2, выводит за пределы множества I.

Легко показать, что любой из приведенных выше способов образования сводного критерия приводит к получению одного из решений, оптимальных по Парето. В том случае, когда гра­ница множестваI, соответствующая оптимальным по Парето решениям, выпукла, все эти решения можно получить из зада­чи о максимуме сводного критерия (5.1) при изменении весо­вых коэффициентов _ в пределах условий (5.2).

Экономическая оценка эффективности процесса. Формирование критерия оптимальности в экономических терминах является од­ним из самых распространенных способов увязки частных кри­териев. Приведем наиболее часто используемые экономические критерии.

Себестоимость С определяют как отношение суммарных за­трат к производительности процесса:

С=(S_с+ S_э + S_о + S_ф )/G, (5.9)

Затраты на сырье S_с обычно пропорциональны производи­тельности G, зависят от коэффициента  использования сырья, его стоимости S_с и стоимости отходов S_от:

S_с =G[S_с -(1-) S_от ].

Стоимость отходов может быть отрицательной, если затраты на извлечение их из выходного потока больше, чем стоимость от­ходов в чистом виде. Коэффициент использования сырья  за­висит от режима и управления процессом.

Затраты на энергию S_э включают затраты на электрическую и тепловую энергию, охлаждающую воду и т. п. Их также часто принимают пропорциональными производительности.

Затраты на обслуживание и управление S_о определяются зарплатой персонала и включают постоянную составляющую и составляющую, пропорциональную G.

Амортизационные отчисления S_ф зависят от стоимости обо­рудования, стоимости его капитального и текущего ремонтов в соответствии с выражением

S_ф=(Ф+Р-Л)/Т,

где Ф и Р—стоимость основных фондов и суммарная стоимость ремонта за плановый срок Т службы оборудования; Л—ликвидационная стоимость оборудования, отслужившего положенный срок.

Критерий себестоимости (5.9) стремятся минимизировать при ограничениях на производительность G и характеристики про­дукции. Эти последние факторы можно ввести и непосредствен­но в критерий, если в качестве его взять прибыль

П=G(Ц-С), (5.10)

где Ц—цена продукции, зависящая от ее качества.

В ряде случаев прибыль П относят к суммарным затратам на получение продукции или к стоимости оборудования Ф. По­лучают безразмерные показатели нормы прибыли

Р_с=П/GС=(Ц-С)/С

или нормы рентабельности Р_ф=П/Ф.

Даже в тех случаях, когда экономические критерии не ис­пользуют для постановки оптимальных задач, их анализ позво­ляет разобраться в том, какой экономический смысл имеет тот или иной технологический показатель (качество продукции, про­изводительность и т п.).

Учет неопределенных факторов в критериях оптимальности.

В ряде задач на результаты оптимального решения влияют слу­чайные факторы. Например, в условия задачи может входить нагрузка аппарата, прогнозируемая на планируемый период. При этом прогноз носит статистический характер. Обозначим че­рез  случайный фактор, для которого известен либо диапазон его возможных значений V_ либо плотность распределения р(). В качестве критерия оптимальности в первом случае естествен­но принять выражение I(и, ₀), в котором ₀ - такое значение V, для которого функционал I(и*,₀) минимален. Выбор решения из условия

(5.11)

гарантирует, что при другом значении  значение I* будет не ниже, чем . Если же известна плотность распределения случай­ного фактора, то в качестве критерия оптимальности может быть использовано среднее по  значение функционала I, т. е.

(5.12)

Существует класс задач, в которых связь между управляю­щими воздействиями и зависящими от них переменными состоя­ния процесса носит статистический характер. Например, при измельчении продуктов от режимов работы мельниц зависит характер плотности распределения размеров частиц после дроб­ления. Обозначая управляющие переменные через и, а размер частиц через х, можно записать плотность распределения как р(х, и). Пусть В(х)—функция, оценивающая качество той или иной фракции частиц, ее ценность для последующего исполь­зования; ^тах—предельный размер частиц после измельчения. Тогда критерий оптимальности примет форму, аналогичную (5.12):