4.6. Прогнозирование показателей процесса

Прогнозирование значений показателей, от которых зависит стратегия управления технологическим объектом, является од­ной из информационных функций АСУТП.

Рассмотрим величину у(t), значения которой определяются (измеряются или вычисляются) периодически с периодом t₀.

Тогда к текущему моменту t_п=пt₀ известны значения у(0), у(1) ...у(п), образующие так называемый временной ряд. За­дачей прогноза является определение в момент t_п оценки члена ряда у(l) для будущего момента t₁ =(п+l)t₀ (где l0 опреде­ляет период прогноза).

Для расчета прогнозируемого значения необходимо по­строить математическую модель временного ряда у(]). В прак­тике краткосрочного прогнозирования наибольшее распростра­нение получили две модели временных рядов.

Модель авторегрессии

, (4.55)

где a₀ и а(k)—параметры модели ();р—порядок модели авторег­рессий; е(j)—случайная составляющая (помеха) в момент t_i =jt₀.

Полиномиальная модель

. (4.56)

Оценки параметров (k) модели авторегрессии определяют по МНК. Расчет прогнозируемых значений проводят по фор­муле

, (4.57)

где (п-k+l) - измеренное или прогнозируемое значение временного ряда в момент t= (п-k+l)t₀ .

Алгоритм прогноза (4.57), использующий модель авторе­грессии, прост для реализации на ЭВМ. Его недостатком яв­ляется низкая точность, обусловленная тем, что оценки пара­метров модели (k) не уточняются по результатам прогноза. Этого недостатка лишен метод прогноза, основанный на моде­ли (4.56). Оценки параметров этой модели уточняются по мере поступления каждого нового значения временного ряда. Для их расчета используют так называемые «экспоненциальные сред­ние» разного порядка, вычисляемые по формуле экспонен­циального сглаживания (3.33). В частности, экспоненциальную среднюю первого порядка рассчитывают по формуле

z₁(j)=y(j)+(1-)z₁(j-1),

где  - параметр настройки алгоритма прогнозирования (01).

Экспоненциальную среднюю второго порядка рассчитывают по формуле

z₂(j)=z₁(j)+(1-)z₂(j-1).

В общем случае для экспоненциальной средней г-го порядка расчетное соотношение имеет вид:

z_r(j)=z_r-1(j)+(1-)z_r(j-1). (4.58)

Для вычисления экспоненциальных средних необходимо за­дать их начальные значения z_r(0), r==1, 2 ...., которые в простей­шем случае могут быть приняты равными начальному значе­нию временного ряда у(0). Большое влияние на результаты прогноза оказывает выбор значения параметра . Если жела­тельно, чтобы прогноз базировался в основном на последних значениях временного ряда, следует выбирать значение , близкое к единице.

Оценки параметров модели (4.56) рассчитывают по спе­циальным формулам. В частности, для линейной модели рас­четные формулы имеют вид:

;

Соответственно для квадратичной модели они имеют вид

Модели более высокой степени применяют редко.

Расчет прогнозируемого значения по модели (4.56) выпол­няют по формуле

, (4.59)

где оценка параметраa(k), вычисленная с учетом всех известных членов временного ряда, включая последний у(п).

Алгоритм прогнозирования по методу экспоненциального сглаживания работает следующим образом. При поступлении очередного значения временного ряда у(п) вычисляют экспо­ненциальные средние S_r(r=1, 2, ...) по формуле (4.58), затем рассчитывают оценки параметров прогнозирующей функции по соответствующим формулам и определяют прогнозируемое значение (п+l) по формуле (4.59).

Пример. В периодическом процессе микробиологического синтеза лизина (см. разд. 8.1) необходимо контролировать концентрацию в биореакторе ос­новного компонента питательной среды — Сахаров. Ввиду отсутствия авто­матических датчиков измерение этого параметра осуществляют путем лабо­раторных анализов, выполняемых с интервалом 8 ч.

Для прогнозирования изменений концентрации Сахаров на 8-часовой от­резок времени после выполнения очередного анализа можно использовать линейную полиномиальную модель (4.56). Ниже приведены «истинные» знаxения концентрации, полученные методом имитационного моделирования на ЭВМ процесса биосинтеза лизина и результаты прогноза при следующих

значениях параметров алгоритма: =0,7; z₁(0)=155; z₂(0)=160.

Время <, ч 0 8 16 24 32 40 48 56

«Истинная» кон- 130 106 79 59 40 30 18 9

центрация y(t),

г/л

Прогноз , г/л — 107,7 82,9 54 36,3 26,7 15,3 6,7