5.2. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами

1. Пуск и останов единичного агрегата. С ростом производитель­ности агрегатов задача оптимального автоматизированного управления процессами пуска и останова приобретает все боль­шее значение как в отношении потерь продукта, зависящих от длительности этих процессов, так и в отношении безаварийности их проведения. Эта задача часто состоит в переводе объекта из фиксированного начального состояния в фиксированное конеч­ное за минимальное время при выполнении ограничений, гаран­тирующих безопасность пуска и останова.

Например, при пуске барабанного котлоагрегата скорость изменения температуры металла труб пароперегревателя в мес­тах заделки этих труб в барабан котла должна быть ограниче­на ввиду возникающих здесь термических напряжении.

Формализуем задачу пуска аппарата, введя обозначения:

х—вектор переменных, характеризующих состояние аппарата;

и—вектор управляющих переменных.

Критерием оптимальности служит продолжительность пуска:

I=T= (5.13)

Условия, определяющие множество допустимых решений, пред­ставляют собой следующую совокупность:

ограничений, наложенных на каждую из составляющих век­тора х и и

, (5.14а)

(5.146)

условий, определяющих состояние процесса в конце и в на­чале пуска

х(0)=х₀, х(Т)=Х_T; (5.15)

связей между переменными состояния и управляющими воз­действиями, которые в большинстве случаев имеют форму обык­новенных дифференциальных уравнений

(5.16)

Ограничения на каждую из переменных состояния могут зави­сеть от других переменных. Такие ограничения можно привести к виду

F_k(x(t)) 0,  i[0,T] k=1,2, ... (5.17)

Часто существуют ограничения на общий ресурс управляющих воздействий за весь интервал пуска:

=1,2,... (5.18)

Таким образом, задача пуска аппарата, останова и перевода с одного режима на другой (5.13)—(5.17) представляет собой вариационную задачу оптимального управления, усложненную ограничениями (5.17) на переменные состояния и условиями (5.18) на управляющие воздействия.

2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов. В том случае, ког­да рассматривают задачу пуска не единичного агрегата, а си­стемы взаимосвязанных агрегатов, резко возрастают размер­ности векторов состояния и управления и, что самое главное,

Рис. 5.2. Граф, соответствующий пуску производства:

сплошные линии — критический путь; пунктир — логические операции

добавляются логические условия, отражающие тот факт, что некоторый аппарат можно запускать только после того, как переменные состояния связанных с ним аппаратов достигнут определенных значений.

В ряде случаев последовательность пуска производства мож­но изобразить в форме графа, каждому узлу которого соответ­ствует операция, заключающаяся в окончании того или иного этапа пуска, а каждому ребру — продолжительность соответ­ствующего этапа. Подобный граф позволяет выявить этапы пу­ска, лимитирующие ускорение пуска всего производства (крити­ческий путь). Этапы пуска производства, лежащие на критиче­ском пути, нужно оптимизировать, чтобы ускорить пуск произ­водства в целом (рис. 5.2).

Все операции пуска делятся на логические (изменение зада­ний регуляторам, переключение запорных органов и т. п.), конт­рольные (контроль параметров состояния оборудования, провер­ка работы схем защиты и т. п.) и собственно операции включе­ния агрегата.

3. Оптимизация статического установившегося режима. Боль­шую часть времени аппараты работают в установившемся ре­жиме. Этот режим может быть статическим (когда все пере­менные, характеризующие его, неизменны во времени) или циклическим (когда все переменные или часть из них перио­дически изменяются).

В статическом режиме при каждом значении вектора внеш­них воздействий (состав сырья, параметры окружающей среды и т. п.) нужно найти такие управления, чтобы показатель эф­фективности работы аппарата был максимален. Используя те же обозначения, что и в задаче пуска (5.13) — (5.18), получим

(5.19)

при ограничениях (5.14), (5.17) и связях между х и и, опре­деляемых статическими характеристиками аппарата

f_(х,и)=0, v=. (5.20)

Ограничения типа (5.18) также существуют во многих случаях. В этой задаче х и и - уже не вектор-функции, как в задаче пуска, а векторы. Если функции, определяющие задачу, непре­рывны по совокупности переменных, то задача оптимизации статического режима представляет собой задачу математиче­ского программирования.

4. Оптимизация циклического установившегося режима. Для бо­лее широкого класса режимов — циклических — критерием опти­мальности является среднее значение функции f₀ за период цикла Т:

. (5.21)

Связи между переменными состояния х и управляющими воз­действия и характеризуют динамику процесса и имеют форму (5.16), ограничения (5.14) остаются в силе, а интегральные ограничения на управления задаются в среднем за цикл:

(5.22)

Они могут соответствовать ограничениям на средний расход сырья, электроэнергии и т. п.

Краевые условия для дифференциальных уравнений (5.16) в циклическом режиме, как правило, не фиксированы, однако ввиду непрерывности переменных состояния и их периодич­ности справедливы равенства

x_(T)=x_(0); =, (5.23)

что эквивалентно требованиям

=. (5.24)

В этой задаче, кроме законов изменения управляющих пе­ременных и связанных с ними переменных состояния, нужно еще оптимально выбрать длительность цикла Т. Часто форму изменения управляющих воздействий задают с точностью до нескольких параметров. Например, считают их синусоидаль­ными. Тогда нужно найти амплитуды и средние значения управляющих переменных, а также фазовые сдвиги между ними.

5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия. В аппаратах периодического действия сырье периодически за­гружают в аппарат, а готовый продукт периодически выгру­жают из него. Продолжительность цикла, а также закон изме­нения управляющих воздействий за время цикла подлежат оптимальному выбору.

Пусть функция f₀(х, и) определяет, как и выше, мгновенную продуктивность процесса, учитывая скорость образования по­лезного продукта, затраты на управление и т. п. Обозначим О продолжительность загрузки и выгрузки, а Т—продолжитель­ность работы аппарата в каждом цикле. Учтем также, что за­грузка и выгрузка связаны не только с затратами времени, но и с затратами трудовых и материальных ресурсов на сырье, регенерацию катализатора и т. п. Величину этих затрат, кото­рые обычно не зависят от длительности цикла, обозначим А. Тогда критерий оптимальности задачи запишется в виде

(5.25)

Максимум этого выражения нужно найти при условиях (5.16), записанных в форме дифференциальных уравнений, и при фик­сированных значениях переменных состояния

x_(0)=x_0; =. (5.26)

Что касается конечных значений этих переменных Ху (Т), то, как правило, некоторые из них фиксированы, а остальные сво­бодны:

x_(T)=x_T; =; k<m.

Условия типа (5.14) и (5.17) также могут иметь место. Выбору подлежат управляющие воздействия и(t) и рабочее время цик­ла Т.

6. Календарное планирование работы аппарата. В предыду­щих задачах предполагалось, что собственные характеристики аппарата и условия, в которых он работает, неизменны. В дей­ствительности же и те, и другие могут изменяться во времени. Например, по некоторому закону могут меняться заданная про­изводительность или поставки сырья. Как правило, эти измене­ния происходят значительно медленнее, чем переходные про­цессы в аппарате, поэтому связи между состояниями х и управ­лениями и задают в квазистатической форме:

= (5.27)

Производительность аппарата по тому или иному продукту для каждого момента I должна лежать в заданном интервале:

=1,2,... (5.28)

Если в схеме имеются емкости, то на уровень в них нало­жены ограничения:

t;

(5.29)

где и- максимальный и минимальный уровни вi-той емкости; h_i(х, и, t) -—разность потоков, втекающих в i-тую емкость и вытекающих из нее в момент t.

Если через Т обозначить интервал планирования, то крите­рием оптимальности может служить интегральная эффектив­ность аппарата за этот интервал:

(5.30)

Существенно усложняется задача календарного планирова­ния, когда за время Т нужно в одном аппарате выпускать пос­ледовательно несколько различных продуктов. В этом случае появляются добавочные целочисленные управления _, прини­мающие значение 1, когда -тый продукт выпускается, и зна­чение 0, когда он не выпускается:

k

Второе из условий означает, что в каждый момент времени выпускается только один из продуктов. В условия (5.28) цело­численные управления _ войдут в качестве множителей при _, и. Если заданы объемы производстваc_ по каждому продукту, то

= 1,2, ... (5.31)

Учет потерь времени и материальных затрат, обусловленных переходом с производства продукции одной марки на продук­цию другой, еще более усложняет формулировку и решение за­дачи календарного планирования.

7. Оптимальный режим работы параллельных агрегатов; рас­пределение нагрузок. Задача формулируется следующим обра­зом: требуется выбрать нагрузку каждого из агрегатов и состав работающих агрегатов, включенных параллельно (рис. 5.3, а), если общая нагрузка (суммарный расход сырья) задана, а об­щая производительность должна быть максимальна.

Рис. 5.3. Система параллельных агрегатов:

а — структура; б — зависимость нагрузки агрегата от расхода сырья

Для каждого из агрегатов известна нагрузочная характе­ристика — зависимость производительности Р_i от расхода сырья x_i (рис 5.3,6). Общее число агрегатов обозначим п, а суммар­ную производительность—Р. Тогда критерий оптимальности запишется в виде

. (5.32)

Запишем ограничения на множество допустимых решений:

x_i=0 или . (5.33)

Первое из этих условий относится к случаю, когда агрегат вы­ключен, второе—к случаю, когда он работает. Условия (5.33) удобно переписать, исключив слово «или», но введя добавоч­ную целочисленную переменную _i равную 1, когда i-тый агре­гат включен, и нулю, когда он выключен. Перепишем x_i в виде . Тогда условия (5.33) соответствуют ограничениям на множество значений переменных х и :

; _i={0,1}; i= (5.33а)

Заданию суммарной нагрузки по сырью соответствует требо­вание

(5.34)

С учетом целочисленных переменных критерий оптимальности перепишется в виде

(5.32а)

Его нужно максимизировать при условиях (5.33а), (5.34). На­личие целочисленных переменных значительно усложняет ре­шение этой задачи.

Рассмотрим некоторые варианты постановки задачи распре­деления.

А. Минимизация затрат. Пусть задан не суммарный расход, сырья, а суммарная производительность Р. Нужно выбрать та­кие состав и нагрузки действующих агрегатов, чтобы суммар­ные затраты S были минимальны. При этом затраты, связан­ные с i-тым агрегатом, определяются в общем случае не только затратами на сырье Ц; (где Ц—стоимость 1 м³ сырья), но и амортизационными отчислениями, зависящими от стоимости агрегата A_i и коэффициента амортизационных отчислений k. Величина А_i, может включать и стоимость обслуживания i-го агрегата. Задача примет вид:

При этом нужно учесть ограничения (5.33 а).

Б. Вероятностный характер нагрузки. Выше предполагали, что суммарный расход сырья С задан. Между тем, в некоторых случаях величину С следует считать случайной. Например, в системе параллельно работающих печей задан суммарный расход топлива. Однако нагрузочная характеристика учиты­вает не расход топлива, а количество тепла, поступающего в печь с топливом. Таким образом, С в условии (5.34) представ­ляет собой суммарный расход энергии топлива, зависящий от его состава, который оперативно не измеряют или же измеряют с большой ошибкой. В этом случае решение должно быть опти­мально в среднем на множестве возможных значений с учетом их вероятности.

В. Учет динамических факторов. Нагрузочная характеристи­ка, показанная на рис. 5.3,6, определена не для всех значений x_i. В частности, агрегат не может работать на отрезке от 0 до , поэтому не каждое значение суммарной производительности можно обеспечить, даже установив несколько агрегатов. В та­ком случае может оказаться необходимым использование про­межуточных емкостей (рис. 5.4). Производительность при та­кой схеме может периодически меняться и быть то больше, то меньше заданной Р. Нужно учесть ограничения на степень заполнения каждой емкости. Переход к периодическому изме­нению производительности, которая в среднем равна заданной, может оказаться выгоднее и в экономическом отношении. Дей­ствительно, если часть периода агрегат работает при нагрузке ( (рис. 5.3, б), а оставшуюся часть периода агрегат выключен, причем время работы выбрано так, что средний расход сырья равен , то вместо производительности Р_i(х_i) будет получена средняя за период производительность (х_i), которая больше Р_i().

8. Оптимальный режим работы последовательных агрегатов (многостадийных процессов). Возможная словесная постановка задачи последовательных агрегатов такова: требуется выбрать режим последовательно соединенных агрегатов так, чтобы при заданной общей производительности и заданных характеристиках конечного продукта затраты на его получение были мини­мальны.

Рис, 5.4. Схема аппарата с последовательно включенными емкостями

Введем обозначения: х_i+1 - вектор, характеризующий со­стояние продукта на выходе i-го аппарата; u_i - режимные пе­ременные i-го аппарата, они являются управляющими воздействиями. Каждый из агрегатов (стадий процесса) характери­зуется затратами, которые зависят от типа агрегата, от векто­ров u_i и х_i (параметры потока на входе в i-тый аппарат). Обо­значим эти затраты f₀(х_i, u_i).

Минимуму суммарных затрат соответствует критерий вида

(5.35)

На переменные х_i, u_i наложены условия двух типов: автоном­ные ограничения

x_iV_i; u_iU_i; i=

и ограничения, связывающие состав продукта на выходе каж­дого агрегата (каждой стадии) с составом на входе и режим­ными переменными:

x_(i+1)v =f_v(x₁, u_i, i) i=; =. (5.36)

Подчеркнем, что в левой части этих равенств фигурирует у-тая составляющая вектора x_i+1, а в функцию f_v входят в общем случае все составляющие вектора x_i.

Для многих задач оптимизации последовательно включен­ных агрегатов в химической технологии начальное состояние x₁ нельзя считать фиксированным. Состав сырья может изменять­ся в некоторых пределах, причем эти изменения не всегда мож­но контролировать. В таком случае управляющие переменные u_i можно выбирать либо оптимально в среднем на всем мно­жестве изменения вектора x₁, либо (как было сказано в разд. 5.1) они должны быть оптимальны для самого неблаго­приятного состава сырья.

9. Согласование работы периодически- и циклическидействующих аппаратов. Производительность аппаратов периодического действия и аппаратов, работающих в циклическом установив­шемся режиме, периодически изменяется. В том случае, когда эти аппараты работают параллельно на общего потребителя, возникает задача такого выбора сдвигов между моментами на­чала циклов, при котором отклонение текущей производитель­ности от ее среднего значения минимально.

Для формализации задачи введем обозначения: f_i (t-_i) — периодическая с периодом Т функция, выражающая зависи­мость производительности i-го аппарата, от времени; _i - время сдвига начала цикла i-го аппарата по отношению к началу цикла первого аппарата (₁ =0).

Оценивая отклонение от средней производительности функ­ционалом

(5.37)

приходим к задаче выбора вектора  с составляющими _i, минимизирующего (5.37). Величина М равна

Рассматривая задачу оптимизации агрегата периодического действия, считали продолжительность цикла параметром, под­лежащим оптимальному выбору. Если же несколько аппаратов работают параллельно, то продолжительность цикла каждого из них нельзя выбирать независимо. Часто требуется, напри­мер, чтобы между остановкой одного агрегата для выгрузки и началом выгрузки следующего агрегата прошло некоторое вре­мя , так как загрузку и выгрузку нескольких агрегатов произ­водит одно устройство с ограниченной производительностью. Аналогичная ситуация возникает в системе параллельно дей­ствующих аппаратов с периодической регенерацией катализа­тора. Критерий оптимальности в этом случае представляет со­бой сумму функционалов вида (5.25), в каждом из которых величины T, , А, как и функция f₀, имеют индекс номера ап­парата. В задачу следует добавить условие

|(t_i+T_i+_i)-( t_v+T_v+_v)|; v1, (5.38)

где t_i и t_v моменты начала циклов для i-го и v-го аппаратов.

Методы оптимизации широко используют не только для оптимального управления технологическими процессами, но и для оптимального проектирования устройств переработки ин­формации, алгоритмов идентификации объектов, алгоритмов автоматической стабилизации. Подобные задачи рассмотрены в разд. 1.5; 3.2; 3.3.