5.5. Оптимальное управление системами с последовательной структурой и с рециклами

Системы с последовательно включенными аппаратами. В хими­ческой технологии распространены процессы, в которых сырье последовательно проходит несколько стадий переработки (рис. 5.8). 'Параметры продукта на выходе каждой стадии х'+¹ зависят от режима этой стадии и¹ и от продукта, поступаю­щего на ее вход. Так как входной продукт для г-той стадии яв­ляется выходным для (I—1)-й, то вектор, характеризующий его, естественно обозначить через х¹. Связь между х¹, и¹ и ^+¹ мо­жет быть в общем случае записана в неявном виде как

/.(А^и^+^О, 1=0, п^\. (5.73)

Здесь п—общее число стадий процесса. Размерность вектор-функций ^ равна размерности вектора состояния. Обычно все или часть составляющих вектора х° (параметров сырья) пола­гают фиксированными.

Критерий оптимизации многостадийного процесса либо полностью зависит от параметров продукта на выходе х" и имеет форму

1=Р(х") —> тах, (5.74)

либо зависит от режимов и состояния продукта на промежу­точных стадиях. Последнее связано с учетом затрат на сырье, на подпитки, затрат энергии на поддержание температурного

^X1 ^х!, \\^х^+1 ^П-Ч

Рис. 5.8. Процесс с последовательной структурой

режима и т. п. Критерий в этом случае имеет более общий, чем (5.74), вид:

л—1

/ = 2 ^^х1' ^и{) +^") —^ ^тах (⁵•⁷⁵⁾

<-0

Метод решения задачи зависит от ограничений, наложенных на управляющие переменные и, и на параметры состояния х¹, а также от того, в какой форме могут быть переписаны соот­ношения (5.73), рекуррентно связывающие переменные состоя­ния на соседних стадиях. Когда эти соотношения могут быть разрешены относительно той или иной переменной, они прини­мают вид:

^ч-1=^(л:',й-); (5.76) ж'=^(У+',ы'); (5.77) и'=П (х', х'+¹). (5.78)

Первую форму связи (5.76) называют прямой формой рекур­рентного соотношения, вторую (5.77) — инверсной, а третью (5.78)—разрешенной относительно управления. Естественно, что функции ^, в выражениях (5.73) и (5.76) — (5.78) различ­ны. Иногда связи могут быть записаны в любой из форм (5.76)—(5.78), но, как правило, переход от одной формы за­писи к другой достаточно труден.

Пример. Пусть »-тая стадия процесса протекает в реакторе идеального смешения; х'—вектор концентрации на входе в реактор; х'+¹—на выходе реактора, и' — вектор, характеризующий режим процесса (температуру, дав­ление, расход реакционной смеси, подпиток и т. п.). Связь между х'+¹, х¹ и и' определяет уравнение материального баланса:

0(х^—х^+^{^}) = Ущ(и', х'+^, (5.79)

в котором О обозначен расход реакционной смеси, V—объем реактора, г— скорость реакции, отнесенная к единице объема, которая зависит от режима и концентрации в аппарате. В режиме идеального смешения концентрации внутри реактора равна концентрации на выходе. При нелинейной кинетике соотношение (5.79) можно разрешить относительно х':

х1 = ^+1 + -^- П(и¹, х¹^) = ^(и¹, *'+!).

Таким образом, имеем инверсную форму связи.

Распространенным приемом решения задачи оптимизации многостадийных процессов является алгоритм динамического программирования, применение которого рассмотрим сначала для общего вида связей, а затем—для соотношений в форме (5.76)— (5.78).

Алгоритм динамического программирования особенно удо­бен, когда на каждую из составляющих векторов х¹ и и' нало­жены автономные ограничения:

х'е=У^1: и'(=^; 1-О.я. (5.80Х 264

В частности, условия- (5.80) могут включать требования цело-численности векторов х' и и', их неотрицательности и т. п. Кроме того, метод динамического программирования не тре­бует дифференцируемости функций Р, /',, !ю по входящим в них переменным.

Применительно к связям в неявной форме алгоритм дина­мического программирования сводится к следующему.

А. Расчет от начальной стадии к последней

1-й шаг. Решают задачу

/о=/оо(*°> и°)——> тах при ^(х°, ц°, х¹) = 0 (5.81),

*°е^о ^е^о

При этом вектор х^\ фиксирован. Получают для всех допусти­мых значений х¹ условно-оптимальные зависимости х°*(х¹)^ и°*(х¹) и функцию Беллмана ..^.•.^^

^(^/„[^(^.^•(Д;¹)]"/,)^¹). ~^^

определенную на множестве Ух\.

2-й шаг. Составляют новую задачу условной оптимиза­ции:

/I = [(р^!) + /о1 (х¹. и¹)] ——> тах ^е^1 ^е^!

при ^(^.м¹,^²) =0, (5.82]

из решения которой находят х^{^}*(х²), и^{^}*{х²), <р{х²)=I^*(х•г). Функцию Беллмана ^(х²) можно трактовать как предельное значение критерия оптимальности при условии, что конечное состояние процесса характеризуется вектором х².

Такой расчет продолжают до последнего, ("/г+1)-го шага, на котором решают задачу об оптимальном конечном состоя­нии:

/л=Фп(*")+^^?(*")——> тах (5.83)

<"е^п

При этом условно-оптимальные зависимости для всех I запо­минают в памяти машины. Подставляя в эти зависимости х"*, находят из них д;("-¹)* и й("-¹)*. В свою очередь, ^("-')* позво­ляет найти д:<"-²)* и м("-²)* и т. д., вплоть до х°* и и°*, если это состояние не задано.

Б. Расчет от последней стадии к начальной

1-й шаг. Находят иС¹-¹)^") » х⁽'^~^{^}'>*(х^п), решая задачу условной оптимизации

Iп=Рп(х^п)+^^^-1)^х'^~¹, и"^)——> тах

-»в'хп ./¹-¹<=^'„(,,-1)

при /п-1(*"-¹. и"-¹, *») = 0 (5.84) 2-й шаг. На втором шаге решают задачу, аналогичную (5.84):

1п-1 = /о(п-2)(*"-², ""-², х"-¹) + (р„-1(ж"-1) ——> тах (5.85) г/¹-²^; „_2) ^е^-г)

ПрИ /п-г^""². и""²- ^;сд-1) = ⁰

Здесь (рп-1(д:"-¹) =/„*(х"-1)—функция Беллмана, которая, как и выше, имеет смысл предельного значения критерия оптималь­ности при условии, что начальное состояние процесса характе­ризуется вектором х"~¹. Решая (5.85), находят зависимости ^("-')*(^-²), иС¹-²)*^"-²), ф^^"-²)^*,,-!^"-²). Такой про­цесс продолжают до начальной стадии, для которой состояние х° задано либо определяется из требования максимума функ­ции (ро(-^°). '

Оба алгоритма, как легко заметить, основаны на декомпо­зиции задачи путем ее разбиения на несколько задач односта­дийной оптимизации, но с параметризацией по вектору пере­менных состояния. Расчет затрудняют два обстоятельства:

а) на каждом шаге приходится многократно решать достаточно сложную задачу условной оптимизации функции; б) требуется запомнить условно-оптимальные зависимости д;('+1)* (х¹) и и'*(х'¹), что при больших размерностях векторов и¹ и х' требует большого объема памяти.

Часть этих трудностей удается преодолеть, если связи (5.73) представлены в одной из частных форм (5.76) — (5.78). В этом случае на каждом шаге алгоритма удается перейти от задачи условной оптимизации к безусловной и вместо двух условно-оптимальных зависимостей запоминать только одну. Рассмот­рим алгоритм динамического программирования применитель­но к частным формам связи.

Прямая форма связи. Для такой формы связи применим «попятный» алгоритм расчета—от последней стадии к началь­ной.

1-й шаг. Выразив из уравнения связи х" через х"~¹, и"-~^ и подставив в 1п, получают:

1п={Р»Цп-1 (X^я-¹, ""-¹)]+/о(п-1) (^"-', И"-¹)}

откуда определяют г^"'¹¹* (х^¹) и функцию Беллмана ^пА(х^п~^\)=Iп*(х^п~^{^}). Двигаясь к начальной стадии, на очеред­ном шаге расчета решают задачу .

^{срг^-!^ "•-¹)]+/о(г-1)(^-¹, "'-¹)} ——> . тах,

и' ^^(г-!)

находя условно-оптимальную зависимость ы⁰'""¹¹*^'-¹) и (р,_^Сл'~¹). На последнем шаге для фиксированного х° находят оптимальное управление и° из условия

/о = {vi [/о(<°,"°)] + /оо (х. и°)) ——> тах

"°е Ум Подставим и°* в уравнение связи (5.76), определяют л;¹* и по

условно-оптимальней зависимости и^{^}*(х^{^}), хранящейся в памя­ти, находят и¹*—оптимальное значение м¹, которое вновь под­ставляют в уравнение связи х²=^(х^{^}, ы¹), и т.д. Попятный ха­рактер расчета диктуется здесь прямой формой рекуррентного' соотношения, позволяющей исключить х'⁴-¹ и перейти к задачам безусловной оптимизации на каждом шаге.

Инверсная форма связи. В этом случае выгоднее применять прямое направление расчета.

1-й шаг. Если х° не фиксировано, то по условию (5.77) выражают х° через и° и х¹ и решают задачу

/о =/оо [/о(^, "°), "°]——> тах при /о (х\ "°) е Ум. (5.86) "°6=^о

Если же х° задано, то вместо задачи (5.86) решают на этом шаге задачу условной оптимизации:

/о=/оо(^°.и°)——*- ^тах "Р" [о(х\и°)=^. (5.87)

"°е=^о

И в том, и в другом случае определяют и запоминают и°*(х¹)

и (р1(х')=/о*^¹).

В дальнейшем решают задачи безусловной оптимизации-вида

/. = {Фг [^'⁺¹. "^г), "'1 +/ог [^'⁺¹, "'), "']} ——>- тах

При этом запоминают и^{^}*(х^{^}+^{^}) и (р1+1('х'+¹) =/,*. На предпо­следнем шаге находят и^^^х"-). На последнем шаге из реше­ния задачи (5.83) вычисляют оптимальное конечное состояние х"*, которое определит ы*""⁰*, и через связь, заданную в инверс--ной форме х*""¹**, и т. д.

Связи, разрешенные относительно управления. Задача (5.73), (5.75) в этом случае преобразуется к виду п—\

/ = ^ /о, [х¹. Л^'^, х')] + Р(х") ——> тах

1=0

/г(^ х¹^) (= У„г; х, е У^, I = ^п

и может решаться как в прямом, так и в обратном направле­нии, в зависимости от того, какое фиксировано значение—х° или х". Если х° задано, расчет проводят от первой стадии к последней.

1-й шаг.

/о = {/оо [*°, /о(^. ^°)1 + /01 [х¹, /^², ^)]} ——> тах;

й(Е=^

!а(Х\Х°)<=Уиа; /1(^,Х1)еУ„1.

Из этой задачи находят х^{^}*(х'^г) и ^)2Сх2)=/о*С^X°-^¹*С^²))•

2-й шаг. ";

/2={Ф2(^)+/02^². /а(^². х»)]}——> тах;

^£1^ , , ^(х², х»)^У„.

, „, Рис. 5.9. Геометрическая интерпрета-г^ -' "х ция алгоритма блуждающей трубки

Из решения этой задачи находят условно-оптимальные зависимо­ сти х²*(х^з) и рассчитывают функ­ цию Беллмана. Так продолжают до последнего шага, на котором определяют х"* из задачи (5.83).

Несмотря на значительное упрощение, которое можно полу­чить при одной из форм связей (5.76), (5.77) или (5.78), тру­доемкость расчетов велика, если число возможных значении

вектора состояний х¹ велико.

В действующих технологических системах существует неко­торый допустимый режим {и¹⁰} и соответствующая ему после­довательность переменных состояний {х¹⁰}. Требуется по уточ­ненной модели процесса или при изменившемся составе сырья х° уточнить этот режим. Можно предположить, что оптималь­ная последовательность состояний находится в некоторой окре­стности {х¹⁰} и как в алгоритме блуждающей трубки \б2.\^ образовать область У\ состояний, окружающих уточняемый режим заменив в изложенных выше процедурах условия х^У» условиями х^У\1. Эти условия выделяют гораздо меньшее число состояний, что сильно упрощает решение. Ьсли найденное таким путем решение на некоторых стадиях прини­мает граничные значения, то полученное решение может быть вновь улучшено, а трубка Ух' охватывает уже окрестность уточ­ненного решения (рис. 5.9).

Системы с рециклом. В химической технологии часто встре­чаются процессы, в которых параметры продукта на выходе той или иной стадии влияют на режим или на состояние про­дукта на предшествующих стадиях. Так, в смесителях часть выходного потока подают через контур рециркуляции на вход аппарата. В производстве разбавленной азотной кислоты кон­центрация оксида азота на выходе колонны абсорбции влияет на работу реактора каталитической очистки, а через него—­на газотурбинную установку, снабжающую воздухом реактор синтеза, предшествующий колонне абсорбции.

Рассмотрим особенности оптимизации схемы с рециклом на примере простейшей схемы с одним контуром рециркуляции (рис 5.10). Обозначим х° параметры потока на входе, х — на выходе, Ыпр и «р—режимные переменные в прямсц цепи

и в цепи рециркуляции соответственно; наконец, через х обо­значим параметры на входе прямой цепи.

Связь между х', х° и состоянием продукта после рецикла

Ко выражается уравнением вида

<р(г.^р)»0 (5.88)

Стадия рециркуляции, как и любая из последовательности ста­дий прямой цепи, характеризуется соотношением

м*р, "?,*")= О (5.89)

Пусть критерий оптимальности представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых относится к прямой цепи, а второе— к цепи с рециклом:

/»/пр<г....)+^р(^,"р) (5.90)

Для расчета схемы разомкнем цепь рецикла (рис. 5.10) и обо­значим переменные до и после размыкания Хр и Хр. Будем ис­кать такое решение задачи, которое обеспечивает максимум критерия (5.90) при условиях (5.88), (5.89), связях между пе­ременными, характеризующими прямую цепь, и дополнитель­ном требовании

*р—хр=0. (5.91)

Однако не будем рассматривать последнее условие как жест­кое ограничение на множество допустимых значений перемен­ных, а положим, что х и х независимы. При этом в условие (5.88) подставим х, а в условие (5.89) —х. "Составим модифи­цированный критерий, равный сумме критерия (5.90) и доба­вочного слагаемого, зависящего от разности А между х и х, которое назовем невязкой:

Т=1+Ф[(х-х),К]. (5.92)

При поиске максимума Т вид функции Ф и вектор параметров ^ выбирают так, чтобы при оптимальном решений равенство (5.92) было выполнено. Функцию Ф называют исчезающим слагаемым, так как

Ф[0,^]=0, У^.

В частности, в приведенном ниже алгоритме Пауэлла [56] это слагаемое имеет вид:

Ф[Д, К\^(х-х}-^(х-х)*.

Последовательность расчетов такова.

1. Задают начальные приближения для К\ и Кч. Обычно ^°1=0, К°2>0. Решают задачу оптимизации схемы с разомкну­тым рециклом, используя, например, алгоритмы, изложенные выше для последовательных схем. При найденном оптимальном по критерию (5.92) решении подсчитывают величину невязки Д°.

2. Выбирают ^1'=—2К°<2&° и вновь решают задачу оптимиза­ции последовательной схемы по критерию (5.92) с ^^К^ и ^2=У. При этом невязка Д' меньше, чем Д°. Если уменьшение невязки значительно (например, более чем вдвое), то значение ^2 на следующем шаге не меняют, а ^ уточняют по формуле

У-У—2УД'. (5.93)

X" х	\"ПР	л"
	Пряная цепь
-^ ^ 1<, т
	V'
	^еЛА рецикла

Рис. 5.10. Структура процес­са с одним контуром рецир­куляции

Если же уменьшение невяз­ки мало, то К\ пересчитыва­ют по формуле (5.93), а зна­чение ^2 увеличивают вдвое. Так продолжают, пересчи­тывая каждый раз К\ по формуле

^+1 = ^ _ 2^^

и удваивая Кч, если отношение невязки на следующем шаге к невязке на предыдущем шаге больше, чем 0,5 (невязки берут по модулю). Алгоритм завершается, когда невязка А⁶ станет с заданной точностью близка к нулю.

Таким образом, расчет схемы с рециклом сводится к много­кратному расчету последовательной схемы, состоящей из пря­мой цепи и контура рецикла.