5.3. Декомпозиция и агрегирование оптимизационных задач

Размерность вектора искомых переменных в задачах оптималь­ного управления технологическими аппаратами (тем более тех­нологическими комплексами) столь велика, что решение этих задач при ограниченных возможностях управляющих машин становится нереальным. Поэтому стремятся свести решение од­ной задачи большой размерности к последовательному реше­нию нескольких задач малой размерности, т. е. осуществить декомпозицию.

При уменьшении размерности задач часто прибегают также к агрегированию, т. е. замене группы переменных исходной за­дачи одной переменной — агрегатом. После расчета оптималь­ных значений агрегатов выбирают исходные переменные так, чтобы значения зависящих от них агрегатов оказались равными оптимальным.

Прежде чем изложить способы декомпозиции в задачах управления, поясним смысл декомпозиционного подхода. Пусть характер функции многих переменных f(х₁, ..., x_т) таков, что максимум по любой из переменных хг не зависит от значений других переменных. Тогда задача оптимизации по т перемен­ным распадается на т задач оптимизации по одной перемен­ной. Решение такой совокупности задач настолько же проще исходной, насколько проще решить т уравнений, с одним не­известным по сравнению с решением системы уравнений с т неизвестными. Столь благоприятная ситуация может встре­титься лишь в исключительном случае. Однако если из т пе­ременных задачи можно составить k комплексов (k<m) - та­ких, что оптимальное значение каждого комплекса z опреде­ляется независимо, то, найдя первоначально z^*_v (где v=)из задачи с k переменными, можно затем снизить размерность задачи до т-k с учетом уравнений

z_v(х)= z^*_v; v=.

Например, задачу об оптимальной траектории системы тел можно свести к расчету оптимальной траектории центра масс этой системы и к задаче оптимальной ориентации каждого те­ла относительно центра масс. Аналогично задачу об оптималь­ном режиме производства можно свести к расчету оптималь­ного планирования усредненных показателей этого производ­ства и к задаче реализации найденных показателей путем вы­бора режима каждого агрегата.

Рассмотрим основные структуры оптимизационных задач, позволяющие провести декомпозицию.

/. Переменные исходной задачи распределены между агре­гированными переменными z_v:

(5.39)

Вектор х^v имеет размерность r_v, так что общее число переменных в задаче (5.39) равно т=^ Гу.

Решение -задачи может быть проведено в два этапа:

определение /г агрегированных переменных из условия

/о(21,г2,...,2й) —>- тах при //(гь ...,г»)>0, /=1,п; (5.40)

нахождение корней уравнений

2у(^)=2у', (5.41)

принадлежащих области допустимых значений переменных ис­ходной задачи Ух-

Если система (5.41) имеет несколько допустимых решений» то решение задачи (5.40) не единственно; если же все решения системы (5.41) не оказываются допустимыми по ограничениям на переменные х^Ух, то либо нужно ввести в агрегированную задачу (5.40) ограничения на г, соответствующие ограничениям х^Ух, либо (когда это сделать сложно) выбрать из числа до­пустимых векторов х ближайший к решению системы (5.41)> подставить его в функции }о и // и оценить, существенны ли уменьшение значения ^о и нарушение ограничений ^^'^^.

Отметим, что переход от ограничений на исходные перемен­ные к ограничениям на агрегированные переменные требует решения 2/г задач вида

из которых находят верхнюю 2у и нижнюю г у границы для агрегированных переменных.

Как правило, исходная задача не имеет форму (5.39), и для декомпозиции прибегают к различным приемам, связан­ным с параметризацией решения.

• 2. Снятие ограничений с введением параметра в критерий. оптимальности. Пусть декомпозиции задачи мешает наличие ограничений вида

Р/(х)=о; 1=ЦГ, (5.43>

в которые могут входить все составляющие х. Отбросив огра­ничения (5.43), придет к задаче с расширенным множеством допустимых решений. Такая расширенная задача допускает декомпозицию, ее решение обозначим через х. Оно вовсе не обязано удовлетворять условиям (5.43). Чтобы сохранить воз­можность декомпозиции и в то же время получить допустимое решение, в критерий оптимальности !о вводят дополнительные слагаемые, зависящие от функций Р, и от некоторого вектора параметров К. Выбором последнего стремятся добиться, чтобы решение задачи на расширенном множестве оказалось допу­стимым по ограничениям (5.43).

Поясним этот способ на примере задачи

Если бы условия

(5.45) У=1

не было, то задача (5.44) распадалась бы на и задач малой размерности:

гоу (х") ——> тах при х" еУ^у, у= 1,й.

Чтобы удовлетворить условию (5.45), построим задачу с видоизмененной целевой функцией

^/ К = ^ гоу(^) + Ф (Р, ?•) ——>• тах при х'^VеV^, v = 1,1г. (5.46)

V

При этом ^функция Ф должна быть такой, чтобы задача (5.46) допускала декомпозицию, т. е. функция К аддитивно зависела бы от 2'у и 2оу; с другой стороны, при выполнении условий (5.45) Т? должна либо совпадать с /о, либо монотонно расти с ростом /о. Только в этом случае решение, допустимое по усло­виям (5.45) и обеспечивающее максимум К, обеспечивало бы в то же время максимум ^о. В задаче (5.46) это требование вы­полнено при выборе Ф в форме

Ф=ц?=7.^ гу(^).

V

Задача (5.46) примет вид:

(5.47)

При любом фиксированном значении К задача (5.47) распа­дается на 1г задач малой размерности. Подставив их решения х''*(К) и соответствующие значения г* ,(\), зависящие от X, в условия (5.45), можно найти такое значение К*, при котором г\ удовлетворяют (5.45). При этом х*(К*)—искомое решение (5.44).

К сожалению, гарантировать, что такое значение К* най­дется, можно не всегда. Это можно, например, для выпуклых задач, у которых целевая функция ^о выпукла вверх и, кроме того, выпукло множество допустимых решений. Чтобы рас­ширить класс задач, допускающих декомпозицию, на невыпук­лые задачи, предложено [36] модифицировать функцию Т? вве­дением дополнительного слагаемого

(5.48)

в котором множитель а>0, а ^^у — векторы, имеющие ту же размерность, что и х'". Ясно, что добавление к ^ слагаемого

(5.48) не препятствует декомпозиции; функция же ^ ^о=/о+5(а,^,р)

для достаточно большого а при любом (З^х выпукла по х. При фиксированных а и ^^V задача (5.42) распадается на под­задачи вида

Практически слагаемое (5.48) добавляют к /? только после того, как выясняется, что без добавления этого слагаемого ^ подобрать не удалось. Это выясняется в вычислительном про­цессе, когда малые изменения ^ вызывают резкое изменение вектора х*(^); при этом величина Р(х*(л)) также испытывает скачок, меняя знак и оставаясь далекой от нуля. В этом слу­чае назначают первоначально а>0, а р=0 в выражении для В (5.48). Затем на каждой следующей итерации выбирают |3 по формуле

р^"-') =(х'^+х^»у ^-'щ 1+у),

в которой у имеет порядок 0<у^2. Когда х^V—>х'^V*, величина (3^' также стремится к х'"*, а дополнительное слагаемое (5.48) исчезает.

3. Декомпозиция за счет сечения множества допустимых ре­шений с последующей параметризацией. Пусть структура зада­чи такова, что определить максимум на некотором сечении а множества О гораздо проще, чем на самом О, причем множе­ство таких сечений покрывает все множество О. Введя пара­метр а, значение которого выделяет конкретное сечение с? (а), можно решить семейство задач на множествах а(а), получив при некотором а=а* решение исходной задачи. Приведем не­сколько характерных структур.

а) Пусть х⁴, х² и у—векторы, а vi, У-г, Уу—множества их допустимых значений. При фиксированном у=у° задача

(5.49)

распадается на две подзадачи меньшей размерности:

(5.50)

Их решение позволяет найти зависимости х''*(у°), х²*(у°) и ]*6\(у°), !*ог(у°)- Максимум по у° их суммы достигается при у=у*. Подстановка этого вектора в х^\'*(у°) и х²* (у°) вместо у° определяет решение исходной задачи (5.49). Параметром, определяющим сечение множества О, является в данном случае вектор у°.

б) Рассмотрим задачу

}о(х,у) —»- тах при у^О, х^У. .

Множество V здесь предполагается просто организованным, так что при фиксированном у=у° задача

/о*(У°) -^ тах/(/°е=Д.

легко разрешима. Например, задача (5.51) может быть зада­чей линейного программирования, для которой имеются эф­фективные вычислительные алгоритмы. Получив '!а*(у⁰), опре­деляют оптимальное значение у* из условия

ШЛ —^ тах/</°б=0.

в) Рассмотрим задачу (5.44) и зафиксируем значения 2у на уровне г/°у. Тогда задача (5.44) распадается на 1г задач ма­лой размерности:

В результате их решения получают ^*оу (У* у) и .г^С^у). На втором этапе решают задачу координации, т. е. определе­ния у*:

и А

^ гоу («/у°) ——*- тах при ^ (/у⁰ = 0. у=1 у=1

Эту задачу можно решить с использованием функции Лагран-жа, т. е. преобразовать к форме

и

К = ^ [гоу (</у⁰) + ^у°] ——> тах, у=1

причем множитель К заведомо найдется, если функции ^*оу вы­пуклы. Матрицы смежности и декомпозиция оптимизационных задач.

Возможность и подход к декомпозиции оптимизационных задач определяются тем, какие из переменных входят в те или иные условия задачи, т. е. от ее структуры. Структуру задачи услов­ной оптимизации

}о(х) —>- тах при /,(ж)>0; /=1,п; х^Ух; х=(х1, ...,Хт) (5.52)

удобно характеризовать матрицей, каждая строка которой со­ответствует одной из функций !1'а=0,п), а каждый столбец— одной из переменных Х1 (1=1, от). Элемент, стоящий на пересе­чении /'-той строки и г-го столбца такой матрицы, равен 1, если 1-тая переменная входит в /-тое условие, и равен 0 — если не входит. Построенную таким образом матрицу называют мат­рицей смежности; она имеет (п-\-\) строку и т столбцов.

Построим матрицы смежности для нескольких характерных структур оптимизационных задач.

Рис. 5.5. Матрицы смежности:

а—для задачи с автономными ограничениями; б—для задачи, декомпозируемой за счет модификации критерия оптимальности; в—для задачи, декомпозируемой с исполь­зованием фиксации переменных у; г — преобразованная к диагональной форме с гори< зонтальным и вертикальным окаймлениями

1. Задача с автономными ограничениями. Задача с ограниче­ниями, наложенными на каждую из составляющих вектора х, может быть записана в форме

f₀(x₁,...,x_m)max при f_i(x_i)0; i= (5.53)

Соответствующая матрица, если отбросить первую строку, ока­зывается диагональной (рис. 5.5, а). На рис. 5.5 клетки мат­рицы, в которых стоят единицы, заштрихованы.

Не всегда, условие, имеющее индекс i, зависит от х_i, но мат­рицы смежности допускают эквивалентное преобразование, не нарушающее их соответствия оптимизационной задаче. При таких преобразованиях можно переставлять строки (кроме нулевой) и столбцы матрицы. Перестановка строк соответ­ствует перенумерации условий, а перестановка столбцов - перенумерации переменных. Задачу с автономными ограничениями с помощью подобных перестановок всегда можно при­вести к форме, соответствующей диагональной матрице смеж­ности.

2. Задача, в которой часть ограничений наложена на сово­купность переменных. Пусть в задаче (5.52) часть функций синдексами 0,1, ..., r может зависеть от всех или почти всех пе­ременных, а остальные ограничения наложены на каждую из переменных автономно. Матрица смежности такой задачи пока­зана на рис. 5.5,б.

С использованием модифицированной функции R [см., на­пример, (5.46)], в которую войдут ограничения с индексом от 1 до r, рассматриваемая задача может быть сведена к задаче с автономными ограничениями, но с дополнительными парамет­рами  в целевой функции. Таким образом, матрица смежности, имеющая диагональную форму с горизонтальным окаймлением, характерна для задач, решение которых целесообразно прово­дить методами, основанными на введении неопределенных па­раметров в модифицированную целевую функцию.

3. Задача, в которой часть переменных входит во все огра­ничения. Обозначим переменные, входящие во все или почти все функции f_i в задаче (5.52), через у=(х₁, ..., x_r). Остальные переменные входят только в одну из этих функций. Матрица смежности подобных задач может быть приведена к форме рис. 5.5, б. Ее называют диагональной с вертикальным окайм­лением. При фиксированном значении вектора у задача пре­вращается в задачу типа (5.53), а ее матрица смежности после отбрасывания первых r столбцов оказывается диагональной.

Таким образом, для задач, имеющих матрицу смежности диагонального вида с вертикальным окаймлением, целесообраз­но использовать методы декомпозиции, основанные на сечении множества допустимых решений путем фиксации части состав­ляющих вектора искомых переменных.

4. Общая задача оптимизации сложных систем. В общей задаче оптимизации сложных технологических систем, которая имеет большое число переменных и наложенных на них огра­ничений, часто оказывается, что матрица смежности сильно разрежена (имеет много нулей). Эту матрицу стремятся преоб­разовать путем перестановок строк и столбцов к диагональ­ной форме с вертикальным и горизонтальным окаймлением (рис. 5.5,г). На рис. 5.5, г в заштрихованных клетках стоят в основном единицы, а в незаштрихованных — только нули. Множество индексов переменных, входящих в большинство функций, обозначено ; множество индексов условий, содер­жащих большинство переменных, обозначено .

При декомпозиции задачи переменные, входящие в (свя­зующие переменные), фиксируют, а из функций, входящих в , составляют модифицированную целевую функцию R(х,). Задачу о максимуме R решают при фиксированных значениях связующих переменных. При поиске максимума R по тем пере­менным, которые входят в множество , учитывают только ограничения, индексы которых составляют множество . Таким образом учитывают соответствующий заштрихованный диаго­нальный блок.

Преобразование разреженных матриц большой размерности к блочно-диагональной форме (рис. 5.5,г) проводят с исполь­зованием ЦВМ.

Таким образом, общая схема решения оптимизационных задач с использованием декомпозиции состоит из двух этапов:

1) переход к более простой задаче, решение которой зависит от некоторого параметра, и доказательство того, что суще­ствует такое значение параметра, при котором это решение совпадает с решением исходной задачи; 2) расчет нужного значения параметра. Эта схема будет использована далее при характеристике решения некоторых задач оптимального управ­ления.