Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

будет таким же как у первой из перемножаемых матриц, а число столбцов – как у второй, т.е. A(m× p) B(p×k ) = C(m×k ).

Рассмотрим примерыU :U

1)(1 2) 3 =1 3 + 2 4 =11.

4

Последние два примера поучительны тем, что в них рассматриваются произведения одинаковых сомножителей, но в разных порядках. Результаты получились различными. Следовательно, свойство коммутативности при умножении даже квадратных матриц не имеет места.

Основные свойства умножения матриц

Рассмотрим теперь основные свойства умножения матриц.

1. α(AB)= (αA)B ; A(αB)= (Aα)B ; (AB)α = A(Bα).

Пусть A = aij mn , B = bjk np . Пользуясь правилом умножения матриц, мы

получим для элемента, находящегося в i -ой строке и k -ом столбце матрицы α(AB) (i =1, ..., m; k =1,..., p ) следующее выражение:

α(ai1b1k +K+ ainbnk ).

Аналогично, для элемента, находящегося в той же i -ой строке и k -ом столбце матрицы (αA)B , получим выражение:

(α ai1 )b1k +K+ (α ain )bnk .

Так как оба выражения равны, то первое из равенств 1 доказано.

Таким же способом доказываются и остальные два равенства из 1, а также

(A + B)C = AC + BC .

C( A + B) = CA + CB .

Из свойств 2, 3 непосредственно вытекает общее правило:

чтобы умножить сумму матриц на сумму матриц, нужно каждую матрицу первой суммы умножить на каждую матрицу второй и полученные произведения сложить.

73

Мы видели, что закон коммутативности для произведения матриц не выполняется: AB может отличаться от BA. Однако второй арифметический закон

–ассоциативность умножения – для матричного умножения выполняется.

4.A(BC) = (AB)C .

Для доказательства положим AB = M , BC = N и обозначим элементы матриц M , N через mik , d jl . По правилу умножения матриц имеем

mik = аi1b1k + ai2b2k +K+ ainbnk , d jt = bj1c1l + bj2c2l +K+ bjpcpl ,

где aij , bjk , ckl - элементы матриц A, B , C . Выполняя умножение M на C , мы в i -ой строке и l -ом столбце матрицы (AB)C получим сумму:

mi1c1l + mi2c2l +K+ mipcpl = ∑∑aijbjk ckl ,

Так как обе эти суммы отличаются лишь порядком слагаемых, то свойство

4 доказано.

Из свойства 4 следует, что произведение нескольких матриц A, B , C , …, F , записанных в определенном порядке, от способа расстановки скобок не зависит. Поэтому можно говорить не только о произведении двух, но и о произведении большего числа матриц. Например, можно говорить просто о произведении четырех матриц A, B, C, D , так как все пять возможных способов

вычисления этого произведения

((AB)C)D , (A(BC)D), A((BC)D), A(B(CD)), (AB)(CD)

дают один и тот же результат. Действительно, каждое следующее произведение получается из предшествующего непосредственным применением закона ассоциативности 4.

Выше уже отмечалось, что не всякие две матрицы можно сложить или перемножить, так как для осуществимости таких действий необходимы известные соотношения между числами строк и столбцов. Это неудобство исчезает, если рассматривать только квадратные матрицы некоторого фиксированного порядка n . Любые две такие матрицы можно сложить или перемножить, также помножить на любые числа из K , и в результате снова получатся квадратные матрицы одного и того же порядка n . Свойства действий над матрицами показывают, что

совокупность всех квадратных матриц данного порядка n над произвольным ассоциативным кольцом K является снова ассоциативным кольцом относительно матричных операций сложения и умножения.

Отметим еще, что представляют собой субматрицы произведения двух

74

Субматрица, образованная строками с номерами a1, a2 , ..., ak и столбцами b1, b2 ,..., bl равна произведению субматрицы матрицы A, составленную из строк a1, a2 , ..., ak на субматрицу матрицы B составленную из столбцов b1, b2 ,..., bl . Это непосредственно следует из того, что Cai b j есть

произведение ai -ой строки матрицы A на bj -й столбец матрицы B .

Итак, мы изучили действие над матрицами – умножение матрицы на число, сложение и перемножение матриц. Теперь, обладая этими знаниями, для нас становится очевидным, что любую систему линейных уравнений, например, систему

При этом уравнение (4.8) будем называть матричным уравнением системы линейных уравнений (4.7). Таким образом, решить систему (4.7) означает решить матричное уравнение (4.8). Вопросами решений матричных уравнений мы займемся позднее. Отметим еще, что особую роль при умножении матриц играют единичные матрицы. Повторимся, единичными матрицами называются квадратные матрицы, элементы главной диагонали которых равны 1, остальные элементы нули. Обозначать единичные матрицы будем En (если нужно указать

порядок) или просто E . Таким образом,

Непосредственным вычислением для любой квадратной матрицы A получим равенство AE = EA = A , выражающее основное свойство матрицы E . Таким образом, единичная матрица при умножении матриц играет роль единицы. Мы уже знаем, что матрицы, имеющие вид

называется диагональными.

75

Из правил действия над матрицами непосредственно вытекает, что сумма и произведение диагональных матриц будут снова диагональными матрицами,

действительно:

Рассмотрим теперь произвольную квадратную матрицу X порядка n с элементами из кольца K . По определению полагаем

X 0 = E , X 1 = X , X 2 = XX , X 3 = XXX , …

Так как в произведениях нескольких матриц скобки можно расставлять

Из соотношения (4.9) получаем

X p X q = X p +q = X q X p ,

и, значит, все натуральные степени одной и той же матрицы перестановочны между собой.

Справедливо и более общее утверждение: если матрицы A и B

перестановочны, то любые их натуральные степени также перестановочны и для любого натурального p имеем

4.4 Многочлен от матрицы

Рассмотрим теперь какой-нибудь многочлен от λ

ϕ(λ)=α0 +α1λ + ... +αnλn ,

коэффициенты которого принадлежат кольцу K . Если A - какая-нибудь квадратная матрица над K , то выражение

α0 E +α1 A + ... +αn An

называется значением многочлена ϕ(λ) при λ = A или, короче, соответствующим многочленом от матрицы A. Предполагая кольцо K коммутативным, легко

76

приходим к заключению, что значение суммы многочленов от A равно сумме значений слагаемых, а значение произведения многочленов равно произведению значений сомножителей.

В качестве примераU U рассмотрим равенство:

λ2 −1 = (λ −1)(λ +1).

Беря значения левой и правой частей при λ = A, получим матричное

равенство

A2 − E = (A − E)(A + E).

Аналогичным путем из равенства

λ3 +1 = (λ +1)(λ2 − λ +1)

получим соотношение

A3 + E = (A + E)(A2 − A + E).

Вообще из каждого соотношения между многочленами от λ таким способом получается некоторое матричное тождество. В частности, по правилам действий с многочленами имеем

ϕ(λ)ψ (λ)=ψ (λ)ϕ(λ).

Подставляя сюда вместо λ какую-нибудь квадратную матрицу A, получим

ϕ( A)ψ (A)=ψ (A)ϕ(A).

Следовательно, многочлены от одной и той же матрицы перестановочны друг с другом.

4.5 Транспонирование матриц

Замена строк матрицы на ее столбцы, а столбцов – на строки называется

транспонированием матрицы. Так, если

матрице: (AT )T = A . Ясно также, что (A + B)T = AT + BT и (cA)T = cAT . Несколько сложнее дело обстоит с транспонированием произведения.

Именно:

77

Матрица, транспонированная с произведением двух матриц, равна произведению транспонированных с ними матриц, взятых в обратном порядке.

В буквенной записи:

Положим

4.6 Симметрическая матрица, кососимметрическая матрица

Если A - произвольная квадратная матрица и

AT = A ,

то A является симметрической; если же

AT = −A ,

то – кососимметрической.

Из правила транспонирования произведения непосредственно вытекает,

что произведение симметрических матриц есть матрица симметрическая, а произведение кососимметрических – матрица кососимметрическая.

Действительно, пусть даны симметрические матрицы A и B (т.е. AT = A , BT = B ). Тогда на основании (4.13), имеем

78

(AB)T = BT AT = BA = AB .

Аналогично доказывается правило кососимметрических матриц.

Отсюда следует, что степени симметрической матрицы являются симметрическими матрицами и многочлены от симметрической матрицы являются также матрицами симметрическими.

4.7Обратная матрица

Квадратная матрица A над кольцом K называется обратимой (над K ), если существует квадратная матрица X над K , удовлетворяющая соотношениям

У каждой обратимой матрицы A существует лишь одно обращение.

Действительно, если наряду с матрицей X условиям (4.14) удовлетворяет матрица Y , то, умножая обе части равенства

AY = E

слева на X , получим

XAY = XE ,

откуда следует, что Y = X .

Обращение матрицы A, если оно существует, обозначается через A−1 . Таким образом, по определению

Если квадратные матрицы A, B , C одного и того же порядка обратимы, то их произведение ABC также обратимо и

т.е. обращение произведения матриц равно произведению обращений сомножителей, расположенных в противоположном порядке.

Действительно, рассмотрим произведение матрицы (ABC) на матрицу (C−1B−1 A−1 ), имеем:

ABC C −1B−1 A−1 = ABB−1 A−1 = AA−1 = E .

Таким образом, матрица ABC является обратной матрице (C−1B−1 A−1 ), т.е.

(ABC )−1 = C −1B−1 A−1 .

Для каждой обратимой матрицы A наряду с натуральными степенями

A0 = E , A1 = A , A2 = AA, … рассматривают и ее целыеU отрицательные степени,U полагая по определению

A−2 = A−1 A−1 , A−3 = A−1 A−1 A−1, …

79

и используя (4.15) заключаем, что для любой обратимой матрицы A и любых целых (не обязательно положительных) чисел p , q имеют место обычные

правила действий со степенями

A p Aq = A p +q , (A p )q = A pq ,

и если матрицы A, B обратимы и перестановочны, т.е. AB = BA, то

(AB)p = A p B p .

Посмотрим теперь, как связаны между собой операции транспонирования и обращения. Применяя правило транспонирования произведения матриц к соотношениям (4.14), получаем

т.е. матрица, обратная транспонированной, транспонированна обратной.

т.е. A - ортогональна, если ее транспонированная матрица является обратной исходной. Отсюда, в частности, следует, что каждая ортогональная матрица обратима.

Так как (AT )T = A , то из (4.19) вытекает, что обращение ортогональной матрицы есть ортогональная матрица.

Далее, если матрицы A, B ортогональны, то

AT = A−1, BT = B−1

и, значит,

каждый элемент комплексно сопряженным числом. Полученная таким способом

новая матрица называется комплексно сопряженной с A и обозначается A, Операция перехода к комплексно сопряженной матрице обладает следующими свойствами:

αA + βB =α A + βB ,

AB = A B ,

80

AT = (A)T ,

A−1 = (A)−1 .

4.9 Эрмитовая матрица. Унитарная матрица

Матрицы A и AT называются эрмитово-сопряженными. Если A = AT ,

то A называют эрмитовой или эрмитово-симметрической.

Матрица A, удовлетворяющая соотношению

AT A = AAT = E ,

называется унитарной.

Таким же способом, как и для ортогональных матриц, доказывается, что

матрица, обратная к унитарной матрице, является унитарной и что произведение унитарных матриц является снова унитарной матрицей.

Если все элементы матрицы A - числа действительные, то A = A, и, следовательно, для действительных матриц понятие симметричности и эрмитовой симметричности, унитарности и ортогональности соответственно совпадают.

В заключении перечислим основные свойства операций над матрицами

(включая транспонирование матрицы, сложение, умножение на число, перемножение матриц)

1.(A + B) + C = A + (B + C) .

2.A + B = B + A .

3.Существует 0: A + 0 = 0 + A = A.

4.Для A существует − A : A + (−A) = 0.

5.(с1 + с2 )A = c1 A + c2 A .

6.c(A1 + A2 )= cA1 + cA2 .

7.c1(с2 A)= (c1c2 )A.

8.1 A = A .

9.(AB)С = A(BC).

10.A(B1 + B2 )= AB1 + AB2 .

11.(A1 + A2 )B = A1B + A2 B .

12.(сA)B = A(cB).

13.EA = AE = A .

14.(AT )T = A .

15.(A + B)T = AT + BT .

16.(cA)T = cAT .

17.(AB)T = BT AT .

81

4.10 Определитель матрицы

Пусть дана в общем виде система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решим эту систему методом исключения неизвестных, знакомого нам еще со школы. Для того чтобы исключить переменную x2 умножим первое уравнение

на a22 , второе на − a12

a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 ,− a12a21x1 − a12a22 x2 = −b2a12 .

Теперь сложим почленно полученные уравнения и вынесем за скобки общий множитель

x1(a11a22 − a12a21 )+ x2 (a12a22 − a12a22 )= b1a22 − b2a12 , x1(a11a22 − a12a21 )= b1a22 − b2a12 ,

Таким образом, при условии, что a11a22 − a12a21 ≠ 0 , система (4.21) имеет

решение (4.22), (4.23).

Замечаем, что в формулах (4.22), (4.23) знаменатель один и тот же, числители же по форме очень напоминают знаменатель.

Определителем квадратной матрицы второго порядка (или короче – определителем второго порядка) называется число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали матрицы и произведений элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы обозначается символом

a11 a12 , a21 a22

т.е. по определению

82