Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

1способ (по определению)

∆= −7 − 60 − 96 +18 + 56 + 40 = −49 .

2способ (по теореме разложения).

3 способ (преобразованием с помощью свойств). Умножая строку на (−4) и прибавляя ко второй, затем, умножая первую строку на (−6) и прибавляя к третьей, получаем определитель, равный заданному:

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

∆=1 74 −−117 = (−77 + 28) = −49 .

Взаключении еще раз подчеркнем, что поскольку любой определитель n - го порядка посредством теоремы Лапласа сводится к определителям второго и третьего порядков, то очевидно, что все свойства определителей второго и третьего порядков справедливы и для определителя n -го порядка.

Итак, свойства определителей n -го порядка выражаются следующим теоремами.

1.Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

2.При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

3.Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен

нулю.

4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.

5.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками)

равен нулю.

6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.

7.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

8.Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

93

9. Пусть ∆ - некоторый определитель n -го порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа q1, q2 , ..., qn равна определителю ∆′, который

получается из данного ∆ заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел q1, q2 , ..., qn .

10. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

4.14 Методы вычисления определителей n −го порядка

1 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца (формула 4.33) позволяет свести вычисление определителя n −го порядка ( n >1)

к вычислению n определителей порядка n −1.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки (или столбца), которая содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель n −го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме, может быть, одного, равнялись нулю. Таким образом, вычисление определителя n −го порядка, если он отличен от нуля, сводится к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка. И так процесс продолжается дальше, т.е. сводим

вычисление определителя (n −1)-го порядка к вычислению определителя (n − 2)

порядка, и так далее до тех пор, пока не дойдем до определителя третьего порядка, который мы можем вычислить по определению.

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на – 5, получим

т.е. мы «обнулили» все элементы первого столбца, кроме одного.

Теперь, разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

94

2 Приведение определителя к треугольному виду

Определителем треугольного вида называется определитель треугольной матрицы, т.е. определитель, имеющий один из следующих видов:

Докажем, что определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали, т.е.

∆1 = ∆2 = a11a22 a33 ...ann .

Действительно, разлагая определитель ∆1 по элементам первого столбца,

имеем

Полученный определитель вновь разлагаем по элементам первого столбца.

Тогда

Продолжая этот процесс, получаем ∆1 = a11a22 a33 ...ann . Аналогично можно показать, что ∆2 = a11a22 a33 ...ann .

95

Таким образом, иногда удобно при вычислении определителя предварительно привести его к треугольному виду, используя свойства определителей.

НапримерU ,U вычислим определитель четвертого порядка

1 2 −1 5

Приведем определитель к треугольному виду. Используя свойство 8 определителя, преобразуем его так, чтобы каждый элемент, находящийся ниже главной диагонали, был равен нулю. Для этого из второй строки вычтем первую, к третьей строке прибавим первую, из четвертой вычтем первую, умноженную на 2. Получим

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, то ∆ =1 3 2 (−2) = −12 .

3 Метод опорного элемента

Метод опорного элемента заключается в последовательном применении формулы, выражающей определитель порядка n через определитель порядка n −1, элементами которого являются определители второго порядка. Если элемент данного определителя, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, то эта формула имеет вид

элемента можно взять любой отличный от нуля элемент данного определителя. При n =3 формула (4.38) приобретает вид:

96

Докажем справедливость равенства (4.39). Умножим вторую и третью строки данного определителя на опорный элемент a11. Так как при этом

определитель умножится на a112 , то, следовательно, для соблюдения равенства

приходим к равенству (4.39). Аналогично доказывается справедливость формулы

(4.38).

Решение. Согласно формуле (4.38)

97

4.15 Определитель произведения матриц

Теорема 4.1 Определитель произведения конечного числа матриц n -го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать для случая двух квадратных матриц A = (aij ) и B = (bij )одинакового порядка.

Рассмотрим вспомогательный определитель

соответственно на b11, b21, ..., bn1, прибавим к (n +1) -му столбцу. Затем первые n столбцов, умноженных соответственно на b12 , b22 , ..., bn2 к (n + 2) -му столбцу и т.д. На последнем шаге к (2n)-му столбцу будут прибавлены первые n столбцов, умноженные соответственно на b1n , b2n , ..., bnn . В результате получим определитель

98

т.е. cij - элементы матрицы C = AB .

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним n столбцам, находим:

AB = AB .

Мы доказали теорему для произведения двух матриц. Ясно, что отсюда

Мы знаем, что транспонирование квадратной матрицы не меняет ее определителя. Поэтому для произвольных квадратных матриц A, B одного и того

же порядка так как A = AT и B = BT , верны равенства

A B = AB = AT B = ABT = AT BT .

тогда A 2 = (xv − uy)2 .

Далее найдем произведение матриц A AT :

99

и, соответственно, определитель полученной матрицы:

A AT = (x2 + y2 ) (u2 + v2 )− (xu + uv)2 .

Но так как A 2 = A A = A AT = AAT , то

(xv − yu)2 = (x2 + y2 )(u2 + v2 )− (xu + yv)2 .

Это соотношение обычно записывают в виде следующего тождества:

(x2 + y2 )(u2 + v2 )= (xv − yu)2 + (xu + yv)2 ,

называемого тождеством Лагранжа.

Квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее

определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ее

определитель равен нулю. Из теоремы 4.1 следует, что произведение нескольких квадратных матриц является невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда все сомножители являются невырожденными матрицами.

Воспользуемся доказанной теоремой об определителе произведения матриц для более подробного изучения свойств обратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица

где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы A.

Обратим внимание на то, что в матрице C алгебраические дополнения к элементам i -ой строки матрицы A расположены в i -ом столбце.

Теорема 4.2 Если A - квадратная матрица порядка n , а C - союзная к ней матрица, то AC = CA = E det A , где E единичная матрица порядка n .

Доказательство. Обозначим через D произведение AC , т.е.

100

Согласно определению произведения матриц, элемент dij матрицы D

равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца союзной матрицы С. Для элементов dii ,

стоящих на главной диагонали, получим сумму произведений элементов i -й строки матрицы A на их алгебраические дополнения, что равно det A (по теореме о разложении определителя по элементам строки). Для остальных элементов dij