Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Глава 5 Системы линейных уравнений

5.1 Системы линейных уравнений. Основные понятия

Напомним, что уравнение называется линейным, если все входящие в него переменные в первой степени. Система, состоящая из линейных уравнений называется системой линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений

неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты b1, b2 , ..., bm

называются свободными членами уравнений системы. Если свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае –

неоднородной.

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

называемую матрицей системы.

Матрица

называется расширенной матрицей системы (5.1).

Решением системы (5.1) называется любой упорядоченный набор (x1, x2 , ..., xn ) из n чисел, при подстановке которых в уравнения системы вместо

соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной, или противоречивой. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется

совместной.

Совместные системы подразделяют на определенные, обладающие единственным решением, и неопределенные, обладающие множеством решений. Однородная система всегда совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение x1 =x2 = ... =xn = 0 .

110

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что таковых не имеется.

Выражения (формулы), содержащие неизвестные x1, x2 , ..., xn и некоторый

набор произвольных постоянных, из которых при соответствующем выборе значений произвольных постоянных можно получить любое конкретное решение системы, называют общим решением системы, а любое конкретное решение системы – ее частным решением. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.

Элементарными преобразованиями системы будем считать следующие:

1)умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от

нуля;

2)почленное сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторое число;

3)перестановка уравнений;

4) вычеркивание уравнений вида 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = 0 , т.е. тождеств 0 = 0

5)перестановка неизвестных в системе уравнений.

В результате элементарных преобразований система преобразуется в ей эквивалентную. Общий способ отыскания решений обычно основывается на последовательном переходе с помощью элементарных преобразований от данной системы к такой эквивалентной системе, для которой решение находится просто.

Поскольку при решении систем уравнений «работают» только с коэффициентами при неизвестных, то очевидно, что преобразование заданной системы к ей эквивалентной можно заменить переходом от расширенной матрицы системы к ей эквивалентной. При этом элементарные преобразования системы заменяются соответственно элементарными преобразованиями матрицы, с той лишь разницей, что в матрице элементарные преобразования уместны только для строк.

Особенно подчеркнем, каждое уравнение системы соответствует определенной строке ее расширенной матрицы, поэтому элементарные преобразования матрицы, приводящие ее к эквивалентной подразумевают преобразования только над ее строками (но ни в коем случае над столбцами). Таким образом, матрица системы линейных уравнений преобразуется в эквивалентную при следующих преобразованиях:

1)умножение строки на любое число;

2)прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число;

3)перестановку любых строк местами;

4)вычеркивание строки, состоящей из одних нулей.

Систему линейных уравнений можно решить различными методами (способами).

Рассмотрим методом последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса.

111

5.2 Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что в результате преобразований система вида (5.1) преобразуется к виду

или, что все равно, (5.3) – расширенная матрица системы приводится к

треугольному виду

Далее, используя (5.5) восстанавливают уравнения системы и, начиная с последней строки, последовательно находят неизвестные (из последней строки xn , из предпоследней xn −1 и т.д.).

Например, решим методом Гаусса систему линейных уравнений

x1 − 2x2 + 4x3 = 3,3x1 − x2 + 5x3 = 2,2x1 + x2 + x3 = −1,

2x1 − 4x2 + 3x3 = 1.

Решение. Оставляя в расширенной матрице системы

первую строку без изменения и вычитая утроенную первую строку из второй, удвоенную первую строку из третьей и четвертой, преобразуем матрицу к матрице ей эквивалентной:

Вычитая в этой матрице вторую строку из третьей и оставляя другие строки без изменения, получаем

112

Вычеркивая бесполезную (нулевую) третью строку, приходим к матрице

которая соответствует следующей системе линейных уравнений

Из последнего уравнения системы находим x3 :

− 5x3 = −5,

x3 =1.

Теперь, используя второе уравнение, находим x2 :

5x2 − 7x3 = −7 , 5x2 = −7 + 7 1,

5x2 = 0 , x2 = 0 .

И, наконец, из первого уравнения имеем

x1 − 2x2 + 4x3 = 3, x1 = 3 + 2 0 − 4 1, x1 = −1.

Итак, исходная система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.

Ответ. {(−1; 0; 1)}.

Проверкой можно убедиться в верности найденного решения.

Если в результате преобразований расширенной матрицы системы количество строк стало меньше количества переменных, то говорят, что матрица приведена к трапециевидной форме. В этом случае система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Например, методом Гаусса решим систему уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 = 4,2x1 + x2 − x3 = 3,3x1 +3x2 − x3 = 7.

113

Решение. Элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы дают следующую цепочку эквивалентных матриц:

Таким образом, условий (т.е. уравнений) осталось меньше, чем переменных. В этом случае полагаем любую из переменных равной некоторому произвольному постоянному и находим общее решение исходной системы. Итак, пусть x3 = c , c − const , тогда из последнего (второго) уравнения, имеем

−3x2 − 7c = −5 ,

−3x2 = −5 + 7c ,

x2 = −73 c + 53 .

Аналогично, из первого уравнения находим x1 :

Итак, вывод – система совместна и неопределенна.

Для отыскания любого частного решения зададим с конкретное значение.

3x1 + x2 − x3 =1.

114

Решение. Если в расширенной матрице системы

первую строку оставить без изменения, удвоенную первую строку вычесть из второй, утроенную первую строку вычесть из третьей, то получим матрицу

Наличие такого уравнения указывает на несовместность рассматриваемой системы.

Ответ. Решений система не имеет.

Для повышения эффективности и устойчивости метода Гаусса его модифицируют различными способами. Например, часто применяют схему, в которой на каждом шаге прямого хода ведущий коэффициент выбирают наибольшим по модулю среди коэффициентов при неизвестных в выбранном уравнении или в подсистеме, с которой работают на данном этапе.

При решении систем «вручную» методом Гаусса, чтобы избежать сложных вычислений, иногда в промежутках между шагами прямого хода метода Гаусса или до его начала целесообразно проделывать дополнительные элементарные преобразования над некоторыми уравнениями системы. Например, при решении «вручную» системы

5x1 + 9x2 +13x3 =1,6x1 + 5x2 −10x3 = 3,

2x1 + 4x2 + 3x3 = 2

целесообразно сначала из первого уравнения системы вычесть удвоенное третье, а остальные оставить без изменения. Тогда получим систему

x1 + x2 + 7x3 = −3,

6x1 + 5x2 −10x3 = 3,

2x1 + 4x2 + 3x3 = 2,

в которой метод Гаусса проводится уже легко. Дальнейшие преобразования совершаются уже над матрицами.

В заключение отметим, что метод Гаусса и его модификации находят самое широкое применение в вычислительной практике. Для его реализации на ЭВМ можно использовать стандартные программы, которые включены практически в любой пакет программ для решения математических задач.

115

5.3 Решение невырожденных систем линейных уравнений. Формулы (теорема) Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

и числовыми коэффициентами.

Обозначим через ∆ - определитель матрицы этой системы. Предполагаем,

что

составляют решение, так что уравнения уже превратились в верные равенства. Обозначим через Aij алгебраические дополнения элементов aij в ∆.

Умножим первое из равенств системы на A11 , второе на A21 , …, n -е на An1 и сложим. Получим

(a11 A11 + a21 A21 + ... + an1 An1 )x1 + (a12 A11 + a22 A21 + ... + an2 An1 )x2 + ... + + (a1n A11 + a2n A21 + ... + ann An1 )xn = b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 .

Коэффициент при x1 есть определитель ∆, представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при x2 , ..., xn все равны нулю,

так как они суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству

∆ x1 = b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 .

Аналогично, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим

∆x2 = b1 A12 + b2 A22 + ... + bn An2

ит.д. Из этих равенств получаем

x1 = ∆1 (b1 A11 + b2 A21 +... + bn An1 ),

x2 = ∆1 (b1 A12 + b2 A22 +... + bn An2 ),

……………………………………

xn = ∆1 (b1 A1n + b2 A2n +... + bn Ann ).

116

Тем самым мы показали, что если решение существует, то оно единственно и задается формулами, которые мы установили.

Теперь нужно доказать, что решение существует, т.е. что формулы для x1, x2 , ..., xn действительно дают решение.

Здесь коэффициент при b1 равен ∆ в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при b2 ,..., bn равны нулю как суммы элементов

первой строки на алгебраические дополнения других строк.

Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные x1, x2 , ..., xn удовлетворяют и всем остальным

уравнениям.

Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы n линейных уравнений с n неизвестными с ненулевым

определителем матрицы коэффициентов. Эта теорема носит название теоремы Крамера.

Формулы для решения можно преобразовать, учитывая, что

где ∆i есть определитель, матрица которого отличается от матрицы определителя ∆ только i -ым столбцом, в который помещены b1, b2 ,..., bn . Эти формулы носят

название формул Крамера. В предыдущей главе мы их получили для n = 2 и n =3 .

Например, решить систему

используя формулы Крамера.

Решение. Очевидно, что для этого нам необходимо вычислить пять определителей четвертого порядка:

117

Некоторые следствия из теоремы Крамера

Следствие 1 Если известно, что система n линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы системы равен нулю.

Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение.

Следствие 2 Если система n линейных уравнений с n неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из ее коэффициентов равен нулю.

Действительно, иначе система имела бы единственное решение. Поскольку однородная система всегда имеет решение ( x1 =x2 = ... =xn = 0 ),

то для однородных систем представляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные, решения.

Следствие 3 Для того чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю.

Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более чем одно решение, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.

118