Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

мы получим многочлен, степень которого меньше п. Обозначим эту степень через

степень которого nk меньше s , после чего наш процесс останавливается. Складывая теперь равенства (3.8), (3.8)1B ,B …, (3.8)kB -1,B мы получим:

r(x) = fk (x)

действительно удовлетворяют равенству (3.6), причем степень r(x) на самом деле меньше степени g(x) , что и требовалось доказать.

Заметим, что если многочлены f (x) и g(x) с целыми коэффициентами и старший коэффициент многочлена g(x) равен единице, то многочлены q(x) и r(x) будут иметь только целые коэффициенты. При делении столбиком придется умножать многочлен g(x) лишь на целые кратные степеней переменной х.

Отметим также, что при делении на многочлен первой степени остаток является константой.

53

3.2 Свойства делимости многочленов

Пусть f (x) и ϕ(x) - ненулевые многочлены, тогда многочлен f (x) делится нацело на многочлен ϕ(x) , если остаток от деления f (x) на ϕ(x) равен

нулю.

В этом случае многочлен ϕ(x) называется делителем многочлена f (x) .

Теорема 3.2 Многочлен ϕ(x) тогда и только тогда будет делителем многочлена f (x) , если существует многочлен ψ (x) , удовлетворяющий равенству

Обратно, пусть многочлен ψ (x) , удовлетворяющий равенству (3.9), существует. Из доказанной ранее единственности многочленов q(x) и r(x) , удовлетворяющих равенству f (x) =ϕ(x)q(x) + r(x) и условию, что степень r(x) меньше степени ϕ(x) , в нашем случае следует, что частное от деления f (x) на ϕ(x) равно ψ (x) , а остаток равен нулю.

Очевидно, что если f (x) =ϕ(x)ψ (x) , то делителем для f (x) будет как ϕ(x) , так и ψ (x) и что степени ϕ(x) и ψ (x) не могут быть больше степени f (x) .

Очевидно, что если многочлен f (x) и его делитель ϕ(x) имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и многочлен ψ (x) также

будет иметь рациональные, или, соответственно, действительные коэффициенты, так как он разыскивается при помощи алгоритма деления.

Основные свойства делимости многочленов

1. Если f (x) делится на g(x) , а g(x) делится на h(x) , то f (x) будет делится на h(x) .

В самом деле, по условию f (x) = g(x)ϕ(x) и g(x) = h(x)ψ (x) , а поэтому

f(x) = h(x)[ϕ(x)ψ (x)].

2.Если f (x) и g(x) делятся на ϕ(x) , то их сумма и разность также делятся на ϕ(x) .

на ϕ(x) будет делиться и многочлен f1(x)g1(x) + f2 (x)g2 (x) + ... + fk (x)gk (x) , где g1(x), g2 (x), ..., gk (x) - произвольные многочлены.

54

будет делителем и для другого многочлена.

Процесс деления многочленов «столбиком» рассмотрим на практических занятиях (см. тему «Многочлены»).

3.3 Корни многочлена. Теорема Безу

Значением многочлена

55

Следствия теоремы Безу:

1 Остаток от деления многочлена f (x) на двучлен (x − c) равен значению

остаток равен единице.

Использование теоремы Безу в задачах разложения многочлена на множители подробно рассматривается в практических разработках.

Как мы отметили выше, деление многочлена на многочлен производится как «обычное» деление, т.е. столбиком. Существует метод Горнера, дающий возможность достаточно несложным образом разделить многочлены любой степени на многочлен первой степени, т.е. на двучлен.

3.4 Метод Горнера

Пусть дан многочлен

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xi в (3.12), получаем:

56

a0 = b0 ,

a1 = b1 − cb0 , a2 = b2 − cb1 ,

…………..

an−1 = bn−1 − cbn−2 , an = r − cbn −1 .

Отсюда следует, что b0 = a0 , bk = cbk −1 + ak , k =1, 2,..., n −1, т.е. коэффициенты bk получается умножением предыдущего коэффициента ak ;

наконец, r = cbn −1 + an , т.е. и остаток r , равный, как мы знаем, f (c) , получается

по этому же закону. Таким образом, коэффициенты частного и остаток можно последовательно получать при помощи однотипных вычислений, которые располагаются в схему, называемую схемой Горнера.

Для нахождения коэффициентов bn −1 , bn−2 , …, b1 , b0 и остатка r схема Горнера выглядит следующим образом:

В этой схеме, начиная с коэффициента b1 , каждое число третей строки

получается из предыдущего числа этой строки умножением на число c и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки,

Итак, получим частное q(x) = x4 − x3 − 2x2 + 4x − 5 , остаток r = 6 . Таким образом, x5 − 3x3 + 2x2 − x +1 = (x +1)(x4 − x3 − 2x2 + 4x − 5) + 6 .

Метод деления многочлена на двучлен с использованием схемы Горнера носит название метода Горнера.

3.5 Основная теорема алгебры

57

Занимаясь в предыдущем параграфе корнями многочленов, мы не ставили вопроса о том, всякий ли многочлен обладает корнями. Известно, что существуют многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных

корней; x2 +1 - один из таких многочленов. Можно было бы ожидать, что существуют многочлены, не имеющие корней даже среди комплексных чисел, особенно если рассматриваются многочлены с любыми комплексными коэффициентами. Если бы это было так, то система комплексных чисел нуждалась бы в дальнейшем расширении. На самом деле, однако, справедлива следующая основная теорема алгебры:

Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Эта теорема является одним из крупнейших достижений всей математики и находит применения в самых различных областях науки. На ней основана, в частности, вся дальнейшая теория многочленов с числовыми коэффициентами, и потому эту теорему называли раньше (а иногда называют и теперь) «основной теоремой высшей алгебры». В действительности, однако, основная теорема не является чисто алгебраической. Все ее доказательства, - а их, после Гаусса, впервые доказавшего эту теорему в конце XVIII века, было найдено очень много, - используют в большей или меньшей мере так называемые топологические свойства действительных и комплексных чисел, т. е. свойства, связанные с непрерывностью.

3.6 Следствия из основной теоремы алгебры

Пусть дан многочлен n -й степени, n ≥1,

с любыми комплексными коэффициентами. Основная теорема о существовании корня позволяет утверждать существование для f (x) корня α1 комплексного или

действительного. Поэтому многочлен f (x) обладает разложением

f (x)= (x −α1 )ϕ(x).

Коэффициенты многочлена ϕ(x) снова являются действительными или комплексными числами, и поэтому ϕ(x) обладает корнем α2 , откуда

f (x)= (x −α1 )(x −α2 )ψ (x).

Продолжая так далее, мы придем после конечного числа шагов к разложению многочлена n -й степени в произведение n линейных множителей,

выражении (3.14) стоял некоторый коэффициент b, то после раскрытия скобок старший член многочлена f (x) имел бы вид bx , хотя па самом деле, ввиду (3.13),

им является член a0 xn . Поэтому b = a0 .

58

Если бы корень αi был отличен от всех β j , j =1, 2, ..., n , то, подставляя αi вместо неизвестного в (3.16), мы получили бы слева нуль, а справа число,

отличное от нуля. Таким образом, всякий корень αi равен некоторому корню β j

и обратно.

Отсюда еще не вытекает совпадение разложений (3.14) и (3.15). Действительно, среди корней αi , i =1, 2,..., n , могут быть равные между собой.

Пусть, например, s этих корней равны α1 и пусть, с другой стороны, среди корней β j , j =1, 2, ..., n , содержится t равных корню α1 . Нужно показать, что

s = t .

Так как степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей, то произведение двух многочленов, отличных от нуля, не может равняться нулю. Отсюда вытекает, что если два произведения многочленов равны друг другу, то обе части равенства можно сократить на общий множитель:

если

и ϕ(x)≠ 0 , то из

[f (x)− g(x)]ϕ(x)= 0 ,

следует f (x)− g(x)= 0 , т.е. f (x)= g(x).

Применим это к равенству (3.16). Если, например, s > t то, сокращая обе части равенства (3.16) на множитель (x −α1 )t , мы придем к равенству, левая часть которого еще содержит множитель x −α1 , а правая его не содержит. Выше

показано, однако, что это приводит к противоречию. Таким образом, единственность разложения (3.14) для многочлена f (x) доказана.

Объединяя вместе одинаковые множители, разложение (3.14) можно

коэффициентами имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Заметим, что утверждение справедливо и при n = 0 , так как многочлен нулевой степени не имеет корней. Это утверждение неприменимо лишь к многочлену 0, не имеющему степени и равному нулю при любом значении х.

59

Теорема 3.3 Если многочлены f (x) и g(x), степени которых не

превосходят n , имеют равные значения более чем при n различных значениях неизвестного, то f (x)= g(x).

Действительно, многочлен f (x)− g(x) имеет при наших предположениях

более чем n корней, а так как его степень не превосходит n , то должно иметь место равенство f (x)− g(x)= 0 .

Таким образом, учитывая, что различных чисел бесконечно много, можно утверждать, что для любых двух различных многочленов f (x) и g(x) найдутся

такие значения с неизвестного х, что f (c)≠ g(c). Такие с можно найти не только

среди комплексных чисел, но и среди действительных, среди рациональных и даже среди целых чисел.

3.7 Формулы Вьета

Пусть дан многочлен f (x) степени n со старшим коэффициентом 1,

разложением:

f (x)= (x −α1 )(x −α2 )...(x −αn ).

Перемножая скобки, стоящие справа, а затем приводя подобные члены и сравнивая полученные коэффициенты с коэффициентами из (3.18), мы получим следующие равенства, называемые формулами Вьета и выражающие коэффициенты многочлена через его корни:

a1 = −(α1 +α2 + ... +αn ),

a2 =α1α2 +α1α3 + ... +α1αn +α2α3 + ... +αn −1αn ,

a3 = −(α1α2α3 +α1α2α4 + ... +αn−2αn −1αn ),

…………………………………………….

an −1 =( −1)n−1(α1α2 ...αn −1 + α1α2 ...αn −2αn + ... + α2α3 ...αn ), an = (−1)nα1α2...αn .

Таким образом, в правой части k -гo равенства, k =1, 2, ..., n , стоит сумма

всевозможных произведений по k корней, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности k .

При n = 2 эти формулы превращаются в известную из элементарной

простыми корнями числа 5 и − 2 и двукратным корнем число 3. Мы получим:

1)PT TP Каждый кратный корень взят здесь соответствующее число раз.

60

a1 = −(5 − 2 + 3 + 3)= −9 ,

a2 = 5 (− 2)+ 5 3 + 5 3 + (− 2) 3 + (− 2) 3 + 3 3 =17 ,

a3 = −[5 (− 2) 3 + 5 (− 2) 3 + 5 3 3 + (− 2) 3 3]= 33 , a4 = 5 (− 2) 3 3 = −90 ,

а поэтому

f (x)= x4 − 9x3 +17x2 + 33x − 90 .

Если старший коэффициент a0 многочлена f (x) отличен от 1, то для

применения формул Вьета необходимо сначала разделить все коэффициенты на a0 , что не влияет на корни многочлена. Таким образом, в этом случае формулы

Вьета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему.

3.8 Многочлены с действительными коэффициентами. Разложение многочлена на множители

Пусть многочлен с действительными коэффициентами f (x)= xn + a1xn−1 + a2 xn−2 +... + an−1x + an

имеет комплексный корень α , т. е.

a0αn + a1αn−1 +... + an−1α + an = 0 .

Последнее равенство не нарушится, если в нем все числа заменить на сопряженные. Однако все коэффициенты a0 , a1 , …, an −1 , an , a также число 0,

стоящее справа, будучи действительными, останутся при этой замене без изменения. Следовательно, справедливо равенство

a0 αn + a1αn−1 + ... + an−1α + an = 0 , т.е. f (α)= 0 .

Таким образом, если комплексное (но не действительное) число α служит корнем многочлена f (x) с действительными коэффициентами, то корнем для

f (x) будет и сопряженное число α .

Многочлен f (x) будет делиться, следовательно, на квадратный трехчлен

коэффициенты которого действительны. Пользуясь этим, докажем, что корни α и

α имеют в многочлене f (x) одну и ту же кратность.

Пусть, в самом деле, эти корни имеют соответственно кратности k и l и пусть, например, k > l . Тогда f (x) делится на l -ю степень многочлена ϕ(x),

f (x)=ϕl (x)q(x).

Многочлен q(x), как частное двух многочленов с действительными

коэффициентами, также имеет действительные коэффициенты, но, в противоречие с доказанным выше, он имеет число α своим (k − l) кратным

корнем, тогда как число α не является для него корнем. Отсюда следует, что k = l .

Таким образом, теперь можно сказать, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Отсюда и

61

из доказанной выше единственности разложений вида (3.14) вытекает справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.4 Всякий многочлен f (x) с действительными коэффициентами

представим, притом единственным способом (с точностью до порядка множителей), в виде произведения своего старшего коэффициента a0 и

нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида x −α , соответствующих его действительным корням, и квадратных вида (3.19), соответствующих парам сопряженных комплексных корней.

Для дальнейшего полезно подчеркнуть, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени или, как мы будем говорить, неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида x −α и квадратные многочлены вида (3.19).

3.9 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида

Многочлен ϕ(x) называется общим делителем для заданных многочленов f (x) и g(x) , если он является делителем для каждого из этих многочленов.

Согласно пятому свойству делимости многочленов можно заключить, что к числу общих делителей многочленов f (x) и g(x) принадлежат все многочлены

нулевой степени (т.е. числа).

Два многочлена f (x) и g(x) называются взаимно простыми, если они не

имеют никаких общих делителей кроме многочленов нулевой степени.

Наибольшим общим делителем (коротко НОД) отличных от нуля многочленов f (x) и g(x) называется такой многочлен d (x) , который является их

общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Обозначение: (f (x), g(x)) - наибольший общий делитель многочленов f (x) и g(x) .

Для отыскания НОД удобно пользоваться алгоритмом Евклида (или

алгоритмом последовательного деления).

Алгоритм Евклида

Суть алгоритма Евклида, с помощью которого находится наибольший общий делитель заданных многочленов f (x) и g(x) - (f (x), g(x)), состоит в

последовательном делении сначала многочлена f (x) на g(x) , затем многочлена g(x) на полученный от первого деления остаток r1(x) , затем r1(x) на полученный от второго деления остаток r2 (x) и т.д. Поскольку степени

остатков все время понижаются, то эта цепочка последовательных делений остановится в тот момент, когда деление совершится нацело. Тот остаток rk (x) , на который нацело разделится предыдущий rk −1(x) , и будет

62