Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

мы получим п значений корня, которые все будут различными, так как

т.е. значение аргумента при нашем k отличается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2π ; мы получаем, следовательно, такое же значение корня, как и при k , равном r , т.е. входящем в систему (*).

Таким образом, извлечение корня п-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает п различных значений. Все значения корня п-ой степени

расположены на окружности радиуса n z с центром в нуле и делят эту

окружность на п равных частей.

Отметим, что корень п-ой степени из действительного числа z также имеет п различных значений; действительных среди этих значений будет два, одно или ни одного, в зависимости от знака z и четности п, остальные значения будут комплексными. Корень п-ой степени из нуля имеет только одно значение,

43

На этом примере мы убедились, что одно значение корня – действительное число, два других – комплексные.

2.4 Корни из единицы

Особенно важен случай извлечения корня п-ой степени из числа 1. Этот корень имеет п значений, причем, ввиду равенства 1 = cos0 + isin 0 и формулы (2.28) все эти значения или, как мы будем говорить, все корни п-ой степени из единицы, задаются формулой

Действительные значения корня п-ой степени из единицы получаются при значениях k = 0 и n2 , если п четно, и при k = 0, если п нечетно. На комплексной

плоскости корни п-ой степени из единицы расположены на окружности единичного круга и делят ее на п равных дуг; одной из точек деления служит действительное число 1. Отсюда следует, что те из корней п-ой степени из единицы, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси, т.е. попарно сопряжены.

Квадратный корень из единицы имеет два значения: 1 и – 1, корень четвертой степени из единицы – четыре значения: 1, - 1, i и −i . Для дальнейшего полезно запомнить значение кубического корня из единицы. Это будут, ввиду

(2.29), числа cos 2k3π + isin 2k3π , где k = 0, 1, 2 , т.е., кроме самой единицы, также сопряженные между собой числа

получить умножением одного из этих значений на все корни п-ой степени из единицы.

44

2 Произведение двух корней п-й степени из единицы само есть корень п-ой степени из единицы.

Действительно, если ε n =1 и ηn =1, то (εη)n =ε nηn =1.

3 Число, обратное корню п-ой степени из единицы, само является корнем п-ой степени из единицы.

В самом деле, пусть ε n =1. Тогда из ε ε −1 =1 следует εn (ε−1 )n =1, т.е.

(ε −1 )n =1.

Таким образом обобщив сказанное, получим

Всякая степень корня п-ой степени из единицы есть также корень п- ой степени из единицы.

Всякий корень k -ой степени из единицы будет также корнем l -ой степени из единицы для всякого l , кратного k .

Отсюда следует, что если мы будем рассматривать всю совокупность корней п-ой степени из единицы, то некоторые из этих корней уже будут корнями n′-ой степени из единицы для некоторых n′, являющихся делителями числа n . Однако, для всякого n существуют, такие корни n -ой степени из единицы, которые не являются корнями из единицы никакой меньшей степени. Такие корни называются первообразными корнями n -ой степени из единицы. Их существование вытекает из формулы (2.29): если значение корня, соответствующее данному значению k , мы обозначим через εk (так чтоε0 =1), то

на основании формулы Муавра имеем

Число ε1 , найденное выше, в общем случае – не единственный

первообразный корень n -ой степени. Для разыскания всех этих корней пользуются следующей Uтеоремой.U

Если ε есть первообразный корень n -ой степени из единицы, то число

εk тогда и только тогда будет первообразным корнем n -ой степени, если k взаимно просто с n .

В самом деле, пусть d будет наибольшим общим делителем чисел k и n . Если d >1 и k = dk′, n = dn′, то

(ε k )n′ =ε kn′ =ε k′n = (ε n )k′ =1,

45

т.е. корень εk оказался корнем n′-й степени из единицы.

Пусть, с другой стороны, d =1 и пусть, вместе с тем, число εk оказывается корнем m -й степени из единицы, 1 ≤ m < n . Таким образом,

(ε k )m =ε km =1.

Так как число ε - первообразный корень n -ой степени из единицы, т.е. лишь его степени с показателями, кратными n , могут быть равными единице, то число km будет кратным n . Отсюда вытекает, однако, так как 1 ≤ m < n , что числа k и n не могут быть взаимно простыми в противоречие с предположением.

Таким образом, число первообразных корней n -ой степени из единицы равно числу целых положительных чисел k , меньше n и взаимно простых с ним. Выражение для этого числа, обычно обозначаемого через ϕ(n) , можно найти

в любом курсе теории чисел.

Если p - простое число, то первообразными корнями p -й степени из

единицы будут все эти корни, кроме самой единицы. С другой стороны, среди

корней четвертой степени из единицы первообразными будут i и −i , но не 1 и

−1.

2.5 Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной

Определение показательной функции

Исследованием показательной и логарифмической функций комплексного переменного Вы займетесь в курсе математического анализа и теории функций комплексного переменного, здесь же, ознакомимся лишь с важными, с точки зрения алгебры, сведениями.

Так Эйлер дал разумное определение показательной функции с основанием e , именно

Математический анализ предоставляет очень много доводов в пользу разумности и целесообразности такого определения, которые мы опускаем.

Формулы Эйлера

Положим в определении показательной функции a = 0. Получим: cosb + isin b = ebi .

Заменив b на − b , получаем cosb − isin b = e−bi .

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Формулы Эйлера устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

46

2.6 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение комплексного числа.

2Какое комплексное число называется чисто мнимым?

3Что означает алгебраическая форма записи комплексного числа?

4Какие два комплексных числа называются противоположными?

5Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.

6Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.

7Какое комплексное число называется сопряженным данному?

8Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.

9Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень n ( n - натуральное число)?

10Выведите формулы для извлечения квадратного корня из комплексного числа, заданного в алгебраической форме.

11Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости (в частности чисто мнимые, действительные); определите при этом операции сложения, вычитания, умножения на действительное число.

12Объясните какая система координат называется полярной и как в этом случае определяются координаты любой точки плоскости.

13Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?

14Запишите формулы, связывающие алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексных чисел.

15Какой аргумент комплексного числа называется главным?

16Сформулируйте правило умножения комплексных чисел, записанных

втригонометрической форме.

17Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

18Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

19Сформулируйте правило извлечения корня n -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

20Расскажите о значении корня n -ой степени из единицы и о сфере его применения.

21Какие корни называются первообразными корнями n -й степени из

единицы?

22В каком случае корень n -й степени будет первообразным?

23Чему равно число первообразных корней n -й степени из единицы?

24Запишите формулы Эйлера.

25Какая форма записи комплексного числа называется показательной?

48

Глава 3 Многочлены одной переменной

Многочленом п-ой степени от неизвестного х называется выражение

вида

a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an ,

представляющее собой сумму целых неотрицательных степеней неизвестного х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. Помимо записи многочлена по убывающим степеням неизвестного х, допустимы и другие записи, получающиеся перестановкой слагаемых, например, запись по

возрастающим степеням неизвестного. Многочлен называется приведенным к стандартному или каноническому виду, если он записан строго по

коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

49

3.1 Действия над многочленами

1 Операция сложения

Пусть даны многочлены с комплексными коэффициентами f (x) = a0 + a1x + ... + an−1xn−1 + an xn , an ≠ 0 ,

коэффициенты которого есть сумма коэффициентов многочленов f (x) и g(x) ,

степень суммы равна п, при n > s , но при n = s степень многочлена (3.2) может

g(x) = 4 − 2x2 + 3x6 .

f (x) + g(x) = 6 + 5x2 .

Мы получили, что суммой многочленов шестой степени оказался многочлен второй степени.

Произведение многочленов

последнего равенства следует, что dn+s ≠ 0 и поэтому степень произведения двух

многочленов равна сумме степеней этих многочленов.

Отсюда следует, что произведение многочленов, отличных от нуля, никогда не будет равным нулю.

Найдем произведения многочленов f (x) и g(x) предыдущего примера f (x) g(x) = (2 + 7x2 − 3x6 ) (4 − 2x2 + 3x6 )=8 − 4x2 + 6x6 + 28x2 −14x4 +

+ 21x8 −12x6 + 6x8 − 9x12 = −9x12 + 27x8 − 6x6 −14x4 − 4x2 + 8 - многочлен 12-й

степени.

50

Свойства операций сложения и произведения произвольных многочленов

Коммутативность и ассоциативность сложения немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сложения чисел, так как складываются коэффициенты при каждой степени неизвестного отдельно.

Операция вычитания также выполнима на множестве многочленов: роль нуля играет число нуль, включенное нами в число многочленов, а противоположным для записанного выше многочлена f (x) будет многочлен

− f (x) = −a0 − a1x −... − an −1xn −1 − an xn .

Коммутативность умножения вытекает из коммутативности умножения чисел и того факта, что в определении произведения многочленов коэффициенты обоих множителей f (x) и g(x) используются равноправным образом.

Ассоциативность умножения доказывается следующим образом: если, помимо записанных выше многочленов f (x) и g(x) , дан еще многочлен

51

Действительно, если f (x) является отличным от нуля числом а, то обратным многочленом служит для него число a−1 . Если же f (x) имеет степень n ≥1, то степень левой части равенства (3.5), если бы многочлен f −1(x)

существовал, была бы не меньше п, в то время как справа стоит многочлен нулевой степени.

Отсюда вытекает, что многочлен, обратный данному, вообще говоря не существует. В этом отношении система всех многочленов с комплексными коэффициентами напоминает систему всех целых чисел. Эта аналогия проявляется и в том, что для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Деление многочленов

Большую роль в доказательстве и получении разнообразных алгебраических результатов играет деление многочленов с остатком. Разделить многочлен f (x) на многочлен g(x) означает подобрать такую пару многочленов

q(x) и r(x) , что f (x) = q(x)g(x) + r(x) как и при делении чисел f (x) - делимое, g(x) - делитель; q(x) - частное, r(x) - остаток. Практический алгоритм

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x) = 0 . Многочлены q(x) и r(x) , удовлетворяющие этому условию (3.6), определяются однозначно.

Доказательство. Докажем сначала вторую половину теоремы. Пусть

существуют еще многочлены q(x) и r(x) также удовлетворяющие равенству

причем степень r(x) снова меньше степени g(x) . Приравнивая друг другу правые части равенств (3.6) и (3.7), получим:

g( x )(q( x ) − q( x ))= r( x ) − r( x ) .

Степень правой части этого равенства меньше степени g(x) , степень же левой части была бы при q(x) − q(x) ≠ 0 больше или равна степени g(x) . Поэтому должно быть q(x) − q(x) = 0 , т.е. q(x) = q(x) , а тогда и r(x) = r(x) . Что и

требовалось доказать.

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Пусть многочлены f (x) и g(x) имеют соответственно степени п и s . Если n < s , то

можно положить q(x) = 0 , r(x) = f (x) . Если же n ≥ s , то воспользуемся тем же

методом, каким производится деление многочленов с действительными коэффициентами, расположенными по убывающим степеням неизвестного. Пусть

f (x) = a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an , a0 ≠ 0 ,

52