Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

случае

d = p0 − p = x0 cosα+ y0 sinα− p .

Если точки N и N 0 лежат по разные стороны от точки О, то нормальное уравнение прямой L0 имеет вид xcosα1 + y sinα1 − p0 =0, где α1 отличается от α на

π , т.е. α1 =π −α .

Следовательно, p0 = x0 cosα1 + y0 sinα 1=−x0 cosα − y0 sinα. В этом случае

d = p0 + p = x0 cosα+ y0 sinα− p .

Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев получаем формулу

расстояния от точки до прямой:

Из формулы (7.21) следует, что для вычисления расстояния d от точки M0 до прямой L нужно в левую часть нормального уравнения поставить вместо (x, y) координаты точки M0 и полученное число взять по модулю.

Теперь покажем, как привести общее уравнение прямой к нормальному

- ее нормальное уравнение.

Так как уравнения (7.22) и (7.23) определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны. Умножая все члены уравнения (7.22) на произвольный множитель µ ≠ 0 , получаем уравнение

µ Ax+µBy+µC =0.

Число µ называется нормирующим множителем. Знак нормирующего множителя определяется с помощью третьего из равенств (7.24). Согласно этому равенству µС число отрицательное, если С ≠ 0 . А значит, в формуле (7.25)

берется знак, противоположный знаку С. Если С=0, то знак нормирующего множителя можно выбрать произвольно.

Рассмотрим еще один способ нахождения расстояния от точки до прямой.

169

Пусть прямая L задана уравнением Ax+ By+C =0 и пусть точка не лежит на данной прямой M0 (x0 , y0 ) (рисунок 53). Найдем расстояние от точки M0 до прямой L.

Рисунок 53

Решение. Расстояние d от точки M0 до прямой L рано модулю проекции

вектора М1M0 , где М1(х1, у1) - произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора. Следовательно,

Таким образом, расстояние от заданной точки до заданной прямой равно 4 единицам длины.

7.6 Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения — действительные числа, и по крайней мере одно из чисел А, В, С отлично от нуля. Линии, задаваемые такими уравнениями

170

называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (7.27) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

1 Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R c центром в точке M0 называется множество всех точек М

плоскости, удовлетворяющих условию M0М = R. Пусть точка M0 в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты (х0 , у0 ), а M(х, у) - произвольная точка окружности (рисунок 54)

Уравнению (7.29) удовлетворяют координаты любой точки M(х, у) данной

окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (7.29) называется каноническим уравнением окружности.

Например, покажем, что уравнение x 2 + y 2 + 2x − 6 y −15 = 0 является

уравнением окружности, и найти ее радиус.

Преобразуем данное уравнение, приведя его к виду (7.29): (x 2 + 2x +1) + ( y 2 − 6 y + 9) −1 − 9 −15 = 0,

(x +1) 2 + ( y − 3) 2 = 25 .

Итак, данное уравнение есть окружность с центром в точке (-1,3) и радиусом 5.

2 Эллипс Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма

расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

171

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2с, а

Рисунок 55

Пусть M(х, у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1 + MF2 =2a, т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (7.30) к более простому виду следующим образом:

(x +c)2 + y2 =2a − (x −c)2 + y2 ,

x2 +2cx+c2 + y2 =4a2 −4a (x −c)2 + y2 + x2 −2cx +c2 + y2 , a (x −c)2 + y2 =a2 −cx,

a2 x2 −2a2cx+a2c2 +a2 y2 =a4 −2a2cx+c2 x2 , (a2 −c2 )x2 +a2 y2 =a2 (a2 −c2 ).

Так как a >c , то a2 −c2 >0. Положим a2 −c2 =b2

Тогда последнее уравнение примет вид b2 x2 +a2 y2 =a2b2 или

Можно доказать, что уравнение (7.31) равносильно исходному уравнению.

Уравнение (7.31) называется каноническим уравнением эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1 Уравнение (7.31) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если

172

точка (х,у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х,-у), (-х,у), (-х,-у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0,0), которую называют центром эллипса.

2 Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у=0, находим две точки А1(−а,0) и А2(а,0), в которых ось Ох пересекает эллипс

(рисунок 56). Положив в уравнении (7.31) х=0, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В1(0,−b) и B2 (0,b). Точки А1, A2 , B1, B2 называются вершинами

эллипса. Отрезки А1A2 , B1B2 , а также их длины 2а и 2b называются

соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рисунок 56

3 Из уравнения (7.31) следует, что каждое слагаемое в левой части не

4В уравнении (7.31) сумма неотрицательных слагаемых х2 , у2 равна

а2 b2

единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если |х| возрастает, то |у| уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рисунке 56 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

b

Форма эллипса зависит от отношения а. При b= а эллипс превращается в

окружность, уравнение эллипса (7.31) принимает вид x2 + y2 =a2 .

В качестве характеристики формы эллипса часто пользуются соотношением аc .

Отношение аc половины расстояния между фокусами к большой полуоси

173

эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой ε («эпсилон»):

причем 0 <ε <1, так как 0 <c <a. С учетом равенства a2 −c2 =b2 формулу (7.32) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε =0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2 (рисунок

Прямые x =±εa называются директрисами эллипса.

174

Подставляя в него a = 6, b = 4 , получаем x2 + y2 =1. 36 14

б) Из условия 2c =10 следует с = 5 , 2a =16 а = 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, необходимо найти малую полуось b. Поскольку между величинами a, b, c у эллипса существует зависимость

a2 −c2 =b2 . В нашем случае b2 =64−25=39, следовательно, уравнение имеет вид

x2 + y2 =1. 64 39

3 Гипербола Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль

разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2с, а

модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.

Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой

отрезка F1 F2 (рисунок 58)

Рисунок 58

Тогда фокусы имеют координаты F1(−с,0) и F2 (с,0). Пусть М(х,у)

(x +c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 =±2a.

После упрощений, подобным упрощением, используемым при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

где b2 =c2 −a2 .

175

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

1 Уравнение (7.34) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0, 0), которую называют центром гиперболы.

2 Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у=0 в уравнении (7.34), находим две точки пресечения гиперболы с осью Ох: А1(−а,0) и

мнимой осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b

называется основным прямоугольником гиперболы.

3 Из уравнения (7.34) следует, что уменьшаемое х2 не меньше единицы,

а2

т.е. что х2 ≥1 или х ≥а. Это означает, что точки гиперболы расположены справа

а2

от прямой х=а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х=-а (левая ветвь гиперболы).

4 Из уравнения (7.34) гиперболы очевидно, что если х возрастает, то и у

возрастает.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 59 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

y

Рисунок 59

Например, составим каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Решение. Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2а = 20, 2с = 30 . Значит, что а =10, с =15 а2 =100, с2 = 225 .

176

Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношением с2 =b2 +a2 , отсюда

b2 =c2 −a2 =225−100=125.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

x2 − y2 =1. 100 125

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке 60 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

177