Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1
.pdfЧлен 2aij xi x j можно записать, таким образом, в виде
2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,
а всю квадратичную форму f - в виде суммы всевозможных членов aij xi x j , где i и j уже независимо друг от друга принимают значения от 1 до n . Таким образом,
квадратичную форму переменных xi |
(i = |
|
) можно записать следующим |
1, n |
|||
образом: |
|
|
|
n n |
|
|
|
f = ∑∑aij xi x j ; |
(12.5) |
||
i =1 j =1 |
|
|
|
в частности, при i = j |
получается член aii xi2 . |
|
||||
Составим матрицу из коэффициентов квадратичной формы (12.5): |
|
|||||
a |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
(12.6) |
|
A = |
|
... |
... |
|
||
... ... |
|
|
|
|||
|
an2 |
... |
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
иназовем ее матрицей квадратичной формы (12.5).
Всилу условия (12.4) матрица A - симметрическая (ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой).
Очевидно, квадратичной форме (12.5) n переменных x1, x2 , ..., xn
соответствует единственная симметрическая матрица (12.6).
Обратно, всякой симметрической матрице (12.6) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Например, составим матрицу квадратичной формы
Q(x , x |
, x ) = 2x2 − 3x x |
2 |
+ 4x x + 5x2 |
−8x x + x2 |
|||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
3 |
3 |
Решение. Чтобы составить матрицу A, нужно данную квадратичную форму записать в виде (12.1). Для этого смешанные члены – 3x1x2 , 4x1x3 , − 8x2 x3
представим в виде суммы двух равных слагаемых:
−1,5x1x2 −1,5x2 x1 , 2x1x3 + 2x3 x1 , − 4x2 x3 − 4x3 x2 .
Таким образом, заданной квадратичной форме соответствует
симметрическая матрица |
|
|
||
|
2 |
−1,5 |
2 |
|
|
−1,5 |
5 |
− 4 |
|
A = |
. |
|||
|
2 |
− 4 |
1 |
|
|
|
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица – невырожденная, т.е. r = n , и вырожденной, если r < n .
Квадратичную форму (12.5) n переменных x1, x2 , ..., xn можно записать в матричном виде. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных
289
x , x |
2 |
, ..., x |
n |
, |
а X T |
|
- |
|
матрица, |
полученная транспонированием матрицы X , т.е. |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
строка из тех же переменных, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
1 |
|
|
|
|
|
X T AX |
= (x |
, x |
2 |
, ..., x |
n |
) |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
x2 |
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
xn |
|
|
||||
|
|
= (a11x1 + a21x2 + ... + an1xn , a12 x1 + a22 x2 + ... + an2 xn , ..., a1n x1 + |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a2n x2 +... |
|
|
|
|
x2 |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ ann xn ) |
M |
= |
∑∑aij xi x j . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Итак, мы получили, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X T AX = ∑∑aij xi x j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. выражение вида |
|
) = X T AX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
f (x , |
x |
2 |
, ..., |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.7) |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляет собой матричный вид квадратичной формы (12.5).
12.2 Преобразование квадратичной формы линейным однородным оператором
Рассмотрим квадратичную форму y1, y2 , ..., yn по формулам
x |
|
= b y |
+ b y |
2 |
+... + b |
y |
n |
, |
|
||
1 |
11 1 |
12 |
|
1n |
|
|
|
||||
x2 = b21 y1 + b22 y2 +... + b2n yn , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.......................................... |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
= b y |
+ b |
y |
2 |
+... + b y |
n |
, |
|||
|
n1 1 |
n2 |
|
|
nn |
|
|
или в матричном виде
X = BY ,
где
x |
|
|
b |
b |
... |
b |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
x2 |
|
, |
b21 |
b22 |
... |
b2n |
, |
|||
X = |
M |
|
B = |
|
... |
... |
|
|||
|
|
|
... ... |
|
|
|||||
x |
n |
|
|
b |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
nn |
|
(12.7).
y1 Y = yM2yn
Перейдем к новым переменным
(12.8)
(12.9)
. (12.10)
В |
квадратичной форме (12.7) вместо x1, x2 , ..., xn |
подставим их выражения |
|
через y1 |
, y2 , ..., yn , определяемые формулами |
(12.8), |
получим квадратичную |
форму ϕ |
(y1, y2 , ..., yn ) n переменных y1, y2 , ..., |
yn с некоторой матрицей C . В |
290
этом случае говорят, что квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) переводится в квадратичную форму ϕ(y1, y2 , ..., yn ) линейным однородным оператором (12.8).
Линейный однородный оператор (12.9) называется невырожденным, если det B ≠ 0 .
Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует
невырожденный линейный однородный оператор, переводящий одну из них в |
|||||
другую. |
Если f (x1, x2 , ..., xn ) и |
ϕ(y1, y2 , ..., yn ) конгруэнтны, будем |
писать |
||
f (x1, x2 , ..., xn )~ ϕ(y1, y2 , ..., yn ). |
|
|
|
||
Отметим следующие свойства конгруэнтности квадратичных форм: |
|||||
1 |
f (x1, x2 , ..., xn )~ f (x1, x2 , ..., xn ). |
ϕ(y1, y2 , ..., yn )~ |
|||
2 |
Если |
f (x1, x2 , ..., xn )~ ϕ(y1, y2 , ..., yn ), |
|||
~ψ (z1, z2 , ..., zn ), то f (x1, x2 , ..., xn )~ψ (z1, z2 , ..., zn ). |
|
|
|||
Справедливость |
первого |
свойства очевидна: |
квадратичная |
форма |
переводится в себя тождественным оператором (невырожденным). Второе свойство следует из того, что произведение двух невырожденных линейных однородных операторов являются невырожденным оператором.
|
Теорема 12.1 |
Квадратичная |
форма |
f (x1, x2 , ..., xn ) |
|
с |
матрицей |
A |
|||||||||||
линейным однородным оператором X = BY переводится в квадратичную форму |
|||||||||||||||||||
ϕ(y , y |
2 |
, ..., |
y |
n |
) с матрицей C = BT AB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
форму f (x , |
|
|
|
|
|
)= X T |
|
|||
|
Доказательство. |
В квадратичную |
x |
2 |
, ..., x |
n |
AX |
||||||||||||
подставим X = BY , получаем |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
A(BY )= (Y T BT ABY )=Y T |
(BT AB)Y , |
|
|||||||||||||||||
|
f (x , x |
2 |
, ..., x |
n |
)= X T AX = (BY )T |
|
|||||||||||||
или |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x , x |
|
|
|
|
)=Y T CY , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
, ..., x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C = BT AB .
Поскольку
CT = (BT AB)T = (BT (AB))T = (AB)T (BT )T = (BT AT )B = BT AB = C ,
т. е. CT = C , то C - симметрическая матрица. Следовательно, C = BT AB является матрицей квадратичной формы ϕ(y1, y2 , ..., yn ).
Следствие 1 Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.
Действительно, поскольку матрицы A и C двух конгруэнтных
квадратичных форм связаны соотношением C = BT AB , где B - невырожденная матрица, то
det C = det(BT AB)= det BT det A det B = (det B)2 det A ,
или
det C = (det B)2 det A.
Следовательно, det C det A > 0 , т.к. (det B)2 > 0 .
Следствие 2 Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые
ранги.
291
Действительно, поскольку ранг матрицы не меняется при умножении ее слева или справа на невырожденную матрицу и C = BT AB , то rangC = rangA .
Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфа геометрической задачей приведения уравнения центральной кривой второго порядка к каноническому виду (12.3), вопрос о приведении произвольной квадратичной формы некоторым невырожденным линейным оператором к виду суммы квадратов неизвестных, т.е. к такому виду, когда все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю. Мы уже знаем этот специальный вид квадратичной формы называется каноническим.
Предположим сначала, что квадратичная форма f от n неизвестных x1, x2 , ..., xn уже приведена невырожденным линейным оператором к каноническому виду
f =b y2 |
+ b |
|
y2 |
+ ... + b |
y2 |
, |
(12.11) |
|
1 1 |
|
2 |
2 |
n |
n |
|
|
|
где y1, y2 , ..., yn |
- |
новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов b1, b2 , ..., bn |
могут, конечно, быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов в (12.11) равно рангу r формы f .
В самом деле, так как мы пришли к (12.11) при помощи невырожденного оператора, то квадратичная форма, стоящая в правой части равенства (12.11), также должна быть ранга r . Однако матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид
b |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
, |
|
0 |
O |
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
И требование, чтобы эта матрица имела ранг r , равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно r отличных от нуля элементов.
Основная теорема о квадратичных формах
Теорема 12.2 Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным оператором может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство проведем индукцией по числу переменных. При n =1 теорема верна, так как в этом случае квадратичная форма f (x1 )= a11x12 имеет
канонический вид. Докажем теорему для квадратичных форм от n переменных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом переменных. Предположим, что среди коэффициентов aii (i =1, 2, ..., n) данной квадратичной
формы
n n
f (x1, x2 , ..., xn )= ∑∑aij xi x j
i =1 j =1
292
имеются отличные от нуля. Пусть a11 ≠ 0 , тогда выражение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
−1 |
(a |
|
x |
+ a |
|
x |
2 |
+... + a |
x |
n |
)2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
11 |
|
11 |
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
1n |
|
|
содержит такие же члены с переменной x1 , |
|||||||||||||||||
являющееся квадратичной формой, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
что и форма f , поэтому разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f − a−1(a |
x |
|
+ a |
|
x |
2 |
+... + a |
|
x |
n |
)2 |
= f , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
11 |
1 |
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|
1 |
|
x1 , а только от |
x2 , x3 , ..., xn , т.е. |
|||||||||||
будет квадратичной формой, не зависящей от |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f |
= f (x |
2 |
, |
x |
3 |
, ..., |
x |
n |
), откуда f = a−1(a x |
|
+ a x |
2 |
+... + a |
x |
n |
)2 + f . |
||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 11 1 |
12 |
|
1n |
|
|
1 |
||||||||||
|
Перейдя к новым переменным y1, y2 , ..., |
yn |
по формулам |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y1 = a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , |
yi = xi |
( i = 2,3, ..., n ) , |
|
|
|
(12.12) |
|||||||||||||||||||||||||
получим квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
f = a−1 y12 + f |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 = f2 (y2 , y3 , ..., yn ). |
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.13) |
|||||||||||||||||
|
Так как квадратичная форма |
зависит от меньшего числа переменных, |
по предположению ее можно привести к каноническому виду. Следовательно, квадратичная форма f также приведена к каноническому виду (12.13). Отметим,
что линейный оператор (12.12) является невырожденным, так как его определитель равен a11 ≠ 0 . Оператор, обратный оператору (12.12), также будет
невырожденным, он приводит исходную форму f к виду (12.13).
Случай, когда все коэффициенты aii = 0 (i =1, 2, ..., n) , но, например, a12 ≠ 0 , с помощью оператора
x1 = z1 − z2 , x2 = z1 + z2 , xi = zi (i = 3, 4, ..., n)
сводится к предыдущему. Действительно, этот оператор является невырожденным, ибо его определитель отличен от нуля:
|
|
1 |
−1 |
|
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 ... |
0 |
|
= 2 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате действия этого оператора член 2a12 x1x2 , принимает вид |
|||||||||||||||||
2a x x |
2 |
= 2a |
(z − z |
2 |
)(z + z |
2 |
)= 2a z2 |
− 2a z2 ; |
|
||||||||
12 |
1 |
12 |
1 |
|
|
1 |
|
12 |
1 |
12 |
2 |
|
|||||
в конгруэнтной квадратичной форме ϕ(z1, z2 , ..., zn ) будут отличными от нуля |
|||||||||||||||||
коэффициенты при квадратах переменных z1 и z2 . |
|
|
|||||||||||||||
Таким |
|
образом, |
квадратичная |
|
форма |
действием |
нескольких |
невырожденных операторов, которые можно заменить одним невырожденным оператором – их произведением, приводится к каноническому виду.
Доказательство основной теоремы закончено. Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для
293
приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять
изложенным выше методом квадраты неизвестных. |
|
Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму |
|
f = 2x1x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 . |
(12.14) |
Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы применим сначала невырожденный линейный оператор
x1 = y1 − y2 , x2 = y1 + y2 , x3 = y3
с матрицей |
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
A = |
|
1 |
1 |
0 |
|
, |
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
после чего получим:
f = 2 y12 −2 y22 −4 y1 y3 −8y2 y3 .
Теперь коэффициент при y12 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы
можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая z1 = 2 y1 − 2 y3 , z2 = y2 , z3 = y3 ,
т.е. действуя линейным оператором, для которого обратный будет иметь матрицу
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
||||
|
1 |
0 |
|
, |
|
B = |
0 |
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
мы приведем f к виду
f = |
1 |
z2 |
− 2z2 |
− 2z2 |
−8z |
|
z |
|
. |
(12.15) |
2 |
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
Пока выделился лишь квадрат неизвестного z1 , так как форма еще содержит произведение двух других неизвестных. Используя неравенство нулю коэффициентов при z22 , еще раз применим изложенный выше метод.
Совершая линейный оператор t1 = z1 , t2 = −2z2 − 4z3 , t3 = z3 ,
для которого обратный имеет матрицу
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
C = |
0 |
− |
− 2 |
|
, |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
мы приведем, наконец, форму f к каноническому виду
f = |
1 |
t 2 |
− |
1 |
t 2 |
+ 6t 2 . |
(12.16) |
|
|
||||||
|
2 1 |
|
2 2 |
3 |
|
294
Линейный оператор, приводящий (12.14) сразу к виду (12.16), будет иметь своей матрицей произведение
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
ABC = |
1 |
− |
|
1 |
−1 . |
|||
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно подстановкой проверить, что невырожденный (так как определитель равен −12 ) линейный оператор
x1 = 12 t1 + 12 t2 + 3t3 , x2 = 12 t1 − 12 t2 − t3 ,
x3 = |
t3 |
превращает (12.14) в (12.16).
12.3 Нормальный вид квадратичной формы
Каноническая квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если αii =1 (i =1, 2, ..., r), т.е. отличные от нуля коэффициенты
при квадратах переменных равны +1 или −1. |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Например, квадратичная |
форма |
|
|
f (x , x |
2 |
, x , x |
4 |
= 6x2 |
+ 4x2 |
− 3x2 , |
для |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
4 |
|
|||
которой α11 = 6 , |
α22 = 0 , |
|
α33 = 4 , |
α44 = −3, |
|
имеет |
канонический |
вид; |
|||||||||||||||||||||||
квадратичная форма |
f |
(x , x |
2 |
, |
x |
3 |
, x |
4 |
)= x2 |
− x2 + x2 |
является нормальной, так как |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
α11 =1, α22 = 0 , α33 = −1, α44 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теорема 12.3 Любую действительную квадратичную форму линейным |
|||||||||||||||||||||||||||||||
невырожденным оператором можно привести к нормальному виду. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
Мы |
|
уже |
|
знаем, |
что |
|
любую |
|
квадратичную форму |
|||||||||||||||||||||
f (x1, x2 , ..., xn ) |
можно привести к каноническому виду. Представим этот |
||||||||||||||||||||||||||||||
канонический вид следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 (0 ≤ k ≤ r), |
||||||||||||||||||
ϕ(y , y |
2 |
, ..., y |
n |
)= с y2 |
+ с |
2 |
y2 |
+ ... + с |
k |
y2 − с |
k +1 |
y |
2 |
−... − с |
r |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
k +1 |
|
|
|
r |
|
|
||||||||||
где все |
числа |
|
|
ci |
(i =1, 2, ..., k, k +1, ..., r) |
|
|
|
положительны. |
Применяя |
|||||||||||||||||||||
невырожденный |
|
линейный |
|
|
|
|
оператор |
zi |
= |
|
ci yi |
(i =1, 2, ..., r), |
z j = y j |
||||||||||||||||||
(j = r +1, ..., n), получаем квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(z1, z2 , ..., zn )= z12 + z22 +... + zk2 − zk2+1 −... − zr2
внормальном виде. Очевидно, что число входящих сюда квадратов равно рангу
формы.
295
12.4 Закон инерции квадратичных форм
Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, не является для нее однозначно определенным, так как любая квадратичная форма может быть приведена к этому виду различными способами.
Однако, несмотря на то, что к нормальному виду квадратичная форма также может быть приведена различными преобразованиями, оказывается, нормальный вид может быть только один. Об этом свидетельствует теорема,
выражающая закон инерции квадратичных форм:
Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным оператором, не зависит от выбора оператора.
Доказательство. Предположим, что квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) ранга r двумя способами приведена к нормальному виду
y2 |
+ y2 |
+ ... + y2 |
− y2 |
+1 |
−... − y2 |
= z2 |
+ z2 |
+ ... + z2 |
− z2 |
−... − z2 . |
(12.17) |
1 |
2 |
k |
k |
r |
1 |
2 |
l |
l +1 |
r |
|
Поскольку переход от переменных x1, x2 , ..., xn к переменным y1, y2 , ..., yn
осуществлен действительным линейным невырожденным оператором, то и обратный оператор
n |
(i =1, 2, ..., n) |
|
yi = ∑bis xs |
(12.18) |
|
s =1 |
|
|
также является действительным невырожденным. Точно так же будет действительным невырожденным и линейный оператор
n |
|
(j =1, 2, ..., n). |
|
z j = ∑c ji xi |
(12.19) |
||
i =1 |
|
|
|
Предположим, что k < l , и напишем систему равенств |
|||
y1 = 0, |
y2 = 0, ..., yk = 0, |
|
|
zl +1 = 0, ..., zr |
= 0, ..., zn = 0. , |
(12.20) |
|
Если левые части этих равенств заменить соответственно их выражениями |
|||
(12.18) и (12.19), получим систему n − l + k |
линейных однородных уравнений с n |
||
неизвестными |
x1, x2 , ..., xn . Поскольку |
n − l + k < n (т.к k < l ), т.е. число |
уравнений однородной системы меньше числа неизвестных, система имеет
ненулевое действительное решение α1, α2 , ..., αn . |
|
|||
В равенство (12.17) вместо yi , z j |
подставим соответственно их выражения |
|||
(12.18) и (12.19), а вместо неизвестных x1, x2 , ..., xn - числа α1, α2 , ..., αn . |
||||
Принимая во внимание (12.20), получаем |
|
|||
− y2 |
(α)−... − y2 |
(α)= z2 (α)+ ... + z2 (α). |
(12.21) |
|
k +1 |
r |
1 |
l |
|
Поскольку все коэффициенты линейных операторов (12.18) |
и (12.19) – |
действительные числа, то все квадраты в равенстве (12.21) – неотрицательны, что влечет за собой равенство их нулю, в частности,
z1(α)= 0 , z2 (α)= 0 , …, zl (α)= 0 . |
(12.22) |
296
С другой стороны, по самому выбору чисел α1, α2 , ..., αn |
|
zl +1(α)= 0 , …, zn (α)= 0 . |
(12.23) |
Следовательно, система n линейных уравнений zi (x)= 0(i =1, 2, ..., n) с n
неизвестными x1, x2 , ..., xn имеет ненулевое решение α1, α2 , ..., αn . Определитель
такой системы должен быть равен нулю. Это противоречит тому, что преобразование (12.19) является невырожденным. Предположение, что l < k , приводит к такому же противоречию. Отсюда следует равенство k = l , которое и доказывает теорему.
Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции – сигнатурой формы f .
Очевидно, если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.
Теорема 12.4 Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.
Доказательство. Пусть форма f переводится в форму ϕ невырожденным
линейным действительным оператором. При этом, как известно, ранг не меняется. Этот оператор не меняет и сигнатуры, поскольку в противном случае формы f и
ϕприводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма f
приводилась бы к обоим этим нормальным видам, что противоречит закону инерции квадратичных форм.
Обратно, если квадратичные формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены одна в другую.
Если дана квадратичная форма g в каноническом виде,
g = b y2 |
+ b y2 |
+ ... + b y2 |
, |
(12.24) |
1 1 |
2 2 |
r r |
|
|
с не равными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен, очевидно, r . Легко видеть, далее, употребляя уже применявшийся выше способ приведения такой формы к нормальному виду, что положительный индекс инерции формы g равен числу положительных коэффициентов в правой части
равенства (12.24). Отсюда и из предшествующей теоремы вытекает такой результат:
Квадратичная форма f тогда и только тогда будет иметь форму (12.24) своим каноническим видом, если ранг формы f равен r , а
положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (12.24).
12.5 Знакоопределенные квадратичные формы
297
Действительная квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) называется
положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, |
||||||||||||
состоящему из n положительных квадратов; |
f (x1, x2 , ..., xn ) |
~ ϕ(y1, y2 , ..., |
yn ), где |
|||||||||
ϕ(y , y |
2 |
, ..., |
y |
n |
)= y2 |
+ y2 |
+ ... + y2 |
, |
|
|
(12.25) |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
||
т.е. если ранг и положительный индекс инерции равен числу неизвестных. |
|
|||||||||||
Система |
значений |
x1, x2 , ..., xn |
называется |
нулевой, |
если |
|||||||
x1 = x2 =... = xn = 0 |
, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля. |
|||||||||||
Теорема 12.5 |
Действительная |
квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) |
является положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений x1, x2 , ..., xn .
Доказательство. Пусть f (x1, x2 , ..., xn ) - положительно определенная форма, т.е. преобразуется к виду (12.25) невырожденным линейным оператором
n |
(i =1, 2, ..., n) |
|
|
|
yi = ∑bij x j |
|
|
(12.26) |
|
s =1 |
|
|
|
|
(с матрицей B = (bij ), для которой det B ≠ 0 ). Фиксируем |
любую |
ненулевую |
||
систему значений |
x1, x2 , ..., xn . Подставляя |
эту систему |
значений |
в (12.26), |
получаем соответствующую систему значений |
y1, y2 , ..., yn , |
которая также будет |
ненулевой. Действительно, в противном случае имели бы линейную однородную систему с отличным от нуля определителем, обладающую ненулевым решением, что противоречит следствию из теоремы Крамера. При подстановке ненулевой системы значений y1, y2 , ..., yn в (12.25) получим ϕ(y1, y2 , ..., yn )> 0 .
Обратно, пусть квадратичная форма f не является положительно
определенной, т.е. ее ранг или положительный индекс инерции меньше n ; линейным невырожденным оператором (12.26) эта форма приводится, в частности, к одному из видов:
ϕ(y1, y2 , ..., yn )= y12 + y22 + ... + yn2−1,
ϕ(y1, y2 , ..., yn )= y12 + y22 +... + yn2−1 − yn2 .
В этом случае существует ненулевая система значений x1, x2 , ..., xn , при
которой ϕ(x1, x2 , ..., xn )= 0 или ϕ(x1, x2 , ..., xn )< 0 ; такими значениями будут значения, полученные из системы (12.26) при y1 = 0 , y2 = 0 , …, yn −1 = 0 , yn =1.
Познакомимся с теоремой, которая позволит по коэффициентам квадратичной формы установить, будет ли эта форма положительно определенной. Предварительно введем вспомогательное понятие.
Пусть дана квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) с матрицей A = (aij ). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры порядка 1, 2
…, n матрицы A, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.
Итак, теорема 12.6:
298