Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1
.pdf10.2 Ортогональные вектора. Система ортогональных векторов
Пусть дано произвольное n -мерное евклидово пространство En , т.е. в n -
мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,
( a, b ) = 0 .
Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.е.
( 0, a ) =( 0, b ) = 0 .
Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.
Теорема 10.1 Всякая ортогональная система ненулевых векторов
линейно-независима. |
|
Доказательство. Пусть в En дана система векторов a1 , a2 , ..., ak , |
ai ≠ 0 , |
i =1,2, ..., k , причем все векторы этой системы ортогональны между собой, т.е. |
|
( ai , ai ) = 0 при i ≠ j . |
(10.4) |
Допустим выполнено условие |
|
α1a1 +α2a2 + ... +αk ak = 0 , |
(*) |
Скалярно умножая обе части этого равенства на вектор ai , 1 ≤ i ≤ k , ввиду I, II и IV аксиом, получаем:
0= (0, ai ) = (α1a1 +α2a2 + ... +αk ak , ai )=α1(a1, ai ) +α2 (a2 , ai ) + ... +
+αk ( ak , ai ) =αi ( ai , ai ) .
Отсюда, так как ( ai , ai ) > 0 по IV, вытекает, что нулю может быть равен только коэффициент αi = 0 , i =1,2, ..., k . Таким образом, условие (*) выполняется
при αi = 0 . Следовательно система векторов a1 , a2 , ..., ak |
- линейно независима. |
Процесс ортогонализации |
|
Процесс ортогонализации – способ перехода от любой линейно |
|
независимой системы из k векторов |
|
a1 , a2 , ..., ak |
(10.5) |
евклидова пространства En к ортогональной системе, также состоящей из k
ненулевых векторов b1 , b2 , ..., bk
Положим b1 = a1 , а вектор b2 отличен от нуля. Пусть b2 = α1b1 + a2 . Так как векторы a1 и a2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля при любом числе α1 . Подберем это число из условия, что вектор b2 должен быть ортогонален к вектору b1 :
0 = (b1 , b2 )= (b1 , α1b1 + a2 )=α1(b1 , b1 )+ (b1 , a2 ),
откуда,
249
(b , a |
) |
|
|
|
α1 = − (b1 |
, b2) . |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Пусть уже |
построена ортогональная система |
ненулевых |
векторов |
|
b1 , b2 , ..., bl ; дополнительно предположим, что для всякого |
i , 1 ≤ i ≤ l |
, вектор bi |
является линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., ai . Это предположение будет выполняться тогда и для вектора bl +1 , если он будет выбран в виде
bl +1 =α1b1 +α2b2 + ... +αl bl + al +1 .
Вектор bl +1 будет при этом отличен от нуля, так как система (10.5) линейно независимая, а вектор al +1 не входит в записи векторов b1 , b2 , ..., bl . Коэффициенты αi , i =1, 2, ..., l , подберем из условия, что вектор bl +1 должен быть ортогонален ко всем векторам bi , i =1, 2, ..., l :
0= (bi , bl +1 )= (bi ,α1b1 +α2b2 + ... +αlbl + al +1 )=α1(bi , b1 )+α1(bi , b2 )+ ... +
+α1(bi , bl )+ (bi , al +1 );
отсюда, так как векторы b1 , b2 , ..., bl ортогональны между собой, следует |
|||
αi (bi , bi )+ (bi , al +1 )= 0 , |
|||
т.е. αi = − |
(bi , al +1 ) |
, |
i =1, 2, ..., l . |
|
|||
|
(bi , bi ) |
|
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1 , b2 , ..., bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства En , мы получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т.е. ортогональный базис. При этом становится очевидным следующее утверждение.
Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса.
10.3 Норма вектора евклидова пространства
Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое
значение корня из скалярного квадрата |
этого вектора. Норму вектора x |
|||||||||||||||
обозначим |
|
|
|
x |
|
|
|
, тогда по определению |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(x, x)= x2 . |
(10.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Норма вектора обладает следующими свойствами.
1 x = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 .
2αx = α x , где α - действительное число.
3(x, y) ≤ x y .
4 x + y ≤ x + y .
Докажем эти свойства
250
1Из аксиомы IV скалярного произведения следует, что x > 0 для x ≠ 0
и x = 0 при x = 0 .
2 |
|
|
|
|
|
На основании аксиом |
I и III скалярного произведения получаем |
|||||||||||||||||
|
|
|
αx |
|
|
|
|
|
|
|
= (αx,αx)= α2( x, x ) = α2 |
( x, x ) = α x . Следовательно, верно, что |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
αx |
|
|
|
= |
|
α |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Так как x + y 2 ≥ 0 , то
0 ≤ x +αy 2 =( x +αy, x +αy ) =( y, y )α2 + 2( x, y )α +( x, x ).
Эту сумму рассматриваем как квадратный трехчлен относительно α . Поскольку указанный трехчлен сохраняет знак, его дискриминант неположителен, т.е.
(x, y)2 −( x, x )( y, y ) ≤ 0, ( x, y )2 ≤ ( x, x )( y, y ). |
|
||||||||||||||||||||
Так как |
(x, y)2 = ( x, y ) и |
( x, x )( y, y ) = ( x, x ) × |
( y,y ) = x y , из |
||||||||||||||||||
последнего неравенства следует неравенство |
|
||||||||||||||||||||
|
(x, y) |
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
, |
|
(10.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое называют неравенством Коши-Буняковского. 4 Используя неравенство (10.7), получаем
x + y 2 =( x + y, x + y ) =( x,x )+2( x, y )+( y, y ) ≤ x 2 +2x y + y 2 =(x + y)2 ,
откуда
x + y |
|
|
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
+ |
|
|
|
y |
|
|
|
. |
(10.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (10.8) называется неравенством треугольника.
Например, запишем норму и неравенства (10.7), (10.8) для векторов (элементов) евклидовых пространств.
1 В евклидовом пространстве V3 с обычным определением скалярного произведения норма вектора совпадает с его длиной, т.е. a = a ; это следует из формулы (10.6). Неравенства (10.7) и (10.8) принимают соответственно вид
( a, b ) ≤ a b , a + b ≤ a + b .
Отметим, что неравенство a + b ≤ a + b следует из определений суммы
векторов и длины вектора; оно имеет простой геометрический смысл (в треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны).
В евклидовом пространстве En со скалярным произведением норма элемента x =( x1 , x2 , ..., xn ) определяется формулой
x= x12 + x22 + ... + xn2 ,
анеравенства (10.7) и (10.8) принимают вид
x y + x |
2 |
y |
2 |
+ ... + x |
n |
y |
n |
≤ x2 |
+ x2 |
+ ... + x2 |
y2 |
+ y2 |
+ ... + y2 |
, |
1 1 |
|
|
|
1 |
2 |
n |
1 |
2 |
n |
|
(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 + ... + (xn + yn )2 ≤
251
≤ x12 + x22 + ... + xn2 + y12 + y22 + ... + yn2 .
10.4 Угол между двумя векторами евклидова пространства
Из неравенства Коши-Буняковского получаем
|
|
( x, y ) |
≤1, или −1 ≤ |
|
( x, y ) |
|
≤1; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
следовательно, отношение |
|
( x, |
|
y ) |
|
можно рассматривать как косинус некоторого |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
угла. Углом между двумя векторами x и y евклидова пространства называется угол ϕ, для которого
cosϕ = |
( x, y ) |
(0 ≤ϕ ≤ 2π ). |
(10.9) |
||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что в пространстве V3 всех свободных векторов введенное понятие угла совпадает с понятием угла, рассматриваемого в векторной алгебре.
10.5 Ортонормированный базис
Вектор a называется нормированным, или единичным, если a =1 Если a - ненулевой вектор, то каждый из векторов
a0 |
= |
|
a |
, |
a0 |
= − |
|
|
a |
(10.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
a |
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет нормированным. Нахождение для данного вектора нормированного вектора по формуле (10.10) называется нормированием данного вектора, а множитель
µ = ± 1a - нормирующим множителем.
Система векторов e1 , e2 , ..., en называется ортонормированной, если она
ортогональна и каждый ее вектор является нормированным, т.е. |
|
(ei ek )= 0, приi ≠ k , |
(10.11) |
1, приi = k , |
|
где i, k =1, 2, ..., n .
Базис n -мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему. Рассмотрим теорему о возможности выбора ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
Теорема 10.2 Во всяком евклидовом n -мерном пространстве (n ≥ 2) существует ортонормированный базис.
Доказательство этой теоремы основано на, описанном выше, способе перехода от любой линейной независимой системы векторов евклидова пространства En к ортогональной системе.
252
Примеры ортонормированных базисов: |
|
|
|
||||||||||||
1 |
В пространстве V3 |
геометрических векторов любые три единичных |
|||||||||||||
попарно |
ортогональных |
|
вектора i, |
j, k |
|
образуют ортонормированный базис |
|||||||||
(i, j, k называют ортами); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
В |
евклидовом |
пространстве |
T |
и |
в унитарном пространстве |
T* |
||||||||
столбцы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
= |
0 |
, |
e |
2 |
= |
0 |
, …, |
e |
n |
= |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
образуют ортонормированный базис. |
|
|
|
|
базис n -мерного евклидова |
||||||||||
Если |
|
e1 , e2 , ..., en |
|
|
- |
ортогональный |
пространства, то любой вектор x этого пространства можно представить в виде x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,
откуда |
(x, ek ) |
|
|
(k =1, 2, ..., n). |
|
|
xk = (ek , ek ) |
Последняя формула упрощается в случае ортонормированного базиса; при этом (ek , ek )=1.
10.6Выражение скалярного произведения через координаты векторов
вортонормированном базисе
Пусть в n -мерном евклидовом пространстве фиксирован ортонормированный базис e1 , e2 , ..., en и даны векторы этого пространства
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen , y = y1e1 + y2e2 + ... + ynen .
Найдем скалярное произведение этих векторов. Принимая во внимание
аксиомы скалярного произведения и формулу (10.11), получаем |
|||||||||
(x, y)= (x1e1 + x2e2 + ... + xnen , |
y1e1 + y2e2 + ... + ynen )= |
||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= x1e1 |
, ∑yiei |
+ x2e2 |
, ∑yiei |
+ ... + xnen , ∑yiei |
|||||
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
i =1 |
|
|
|
= (x1e1 , y1e1 )+ (x2e2 , y2e2 )+ ... + (xnen , ynen )= |
|
|
= x1 y1( e1 , e1 ) + x2 y2 ( e2 , e2 ) + ... + xn yn ( en , en ) = = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ,
Итак
( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
т.е., скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений одноименных координат.
253
Очевидно,
x |
= ( x, x ) = x2 |
+ x2 |
+ ... + x2 , |
|
1 |
2 |
n |
где x1 , x2 , ..., xn - координаты вектора x в ортонормированном базисе. |
|||
Разберем задачу: |
пространстве дан базис f1 , f2 , f3 , f4 . С помощью |
||
В |
четырехмерном |
векторов этого базиса нужно построить ортонормированный базис того же пространства.
Решение. Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь
ортогональный базис g1 , g2 , g3 , g4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Положим |
g1 = f1, g2 = f2 +αg1 . |
Подберем действительно число |
α так, |
||||||||||||||||||||||||||||
чтобы выполнялось |
|
условие |
g2 g1 . |
Умножив |
скалярно |
на |
g1 |
обе |
части |
||||||||||||||||||||||
последнего равенства, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(g1 , g2 )= |
(g1 , f |
2 )+α |
(g1 , g1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как (g1 , g2 )= 0 , то α = −(g1 , f2 ) (g1 , g1 ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Далее, в |
равенстве |
g3 = f3 + β1g1 + β2 g2 |
подберем |
β1 , β2 |
так, |
чтобы |
|||||||||||||||||||||||||
выполнялись условия g3 g1, g3 g2 . Из равенств |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(g1 , g3 )= |
(g1 , f3 )+ β1(g1 , g1 )+ β2 (g1 , g2 ), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(g2 , g3 )= (g1 , f3 )+ β1(g1 , g2 )+ β2 (g2 , g3 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
получим β1 = −(g1 , f3 ) (g1 , g1 ), |
β2 = −(g2 , f3 ) (g2 , g2 ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Наконец, из равенства g4 = f4 + γ1g1 + γ2 g2 + γ3 g3 находим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
γ1 = −(g1 , f4 ) (g1 , g1 ), γ2 = −(g2 , f4 ) (g2 , g2 ), γ3 = −(g3 , f4 ) (g3 , g3 ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, при сделанном выборе α, β1 , β2 , γ1 , γ2 , γ3 векторы |
g1 , g2 , g3 , g4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
попарно ортогональны. Значит, векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
e = |
|
g1 |
|
, |
e |
2 |
= |
|
|
g2 |
|
, |
e = |
|
g3 |
|
, |
e |
4 |
= |
|
g4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
g1 |
|
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
3 |
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
g4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
образуют ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10.7 Понятие унитарного пространства |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Комплексное |
|
|
|
линейное |
|
|
пространство |
R |
называется |
комплексным |
евклидовым пространством или унитарным пространством, если в нем введено скалярное умножение элементов, т.е. указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам x и y комплексное число (будем обозначать его ( x, y ) и называть эрмитовым произведением элементов x и y ), причем это правило удовлетворяет для любых x, y, z из R и любого
комплексного числа α следующим требованиям (аксиомам эрмитового произведения):
1)( x, y ) = ( y, x ).
2)(x + y, z)=( x, z ) +( y, z ) .
3)(λx, y)= λ( x, y ).
254
4) ( x, x ) > 0 , если x ≠θ и (x, x)= 0 , если x =θ .
Отметим, что аксиома 1) отличается от соответствующей аксиомы I для вещественного евклидова пространства. Из аксиом 1) – 3) следует, что
(x, λy)= λ( x, y )
и ( x, y + z ) =( x, y ) +( x, z ) .
Докажем, что для скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве (т.е. для эрмитового произведения) нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом пространстве.
Доказательство. Предположим, что в комплексном линейном пространстве введено скалярное произведение, удовлетворяющее аксиомам I – IV. Тогда из аксиом I и III следует, что для любого числа α и любого элемента x имеет место равенство
(αx, αx)=α(x,αx)=α(αx, x)=α2 (x, x).
Положив α =i , получим (ix, ix)= −( x, x ) < 0 , если x ≠θ .
Таким образом, пришли к противоречию с аксиомой IV, в силу которой скалярный квадрат любого элемента линейного пространства должен быть неотрицательным. Следовательно, в комплексном линейном пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в действительном евклидовом пространстве. Как уже отмечалось, при переходе от действительного к комплексному евклидову пространству видоизменяется
аксиома I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примеры унитарных пространств. |
|
|
|
|
|
|
x = (x ; x |
|
), |
y = (y ; y |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||
1) Пусть |
|
в |
пространстве |
|
C 2 паре |
векторов |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
поставлено в соответствие число |
x1 |
|
|
|
+ x2 |
|
|
|
. |
|
Данное пространство с введенной |
|||||||||||||||||||||||||||||
y1 |
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
таким образом операцией является унитарным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Аксиома 1) справедлива. Действительно |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x, y ) = x1 |
|
y1 |
+ x2 |
|
y2 |
; |
|
|
|
|
|
( y, x ) = y1 |
x1 |
+ y2 |
x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Теперь распишем (y, x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= y1 |
|
+ y2 |
|
= y1 |
|
|
+ y2 |
|
= |
|
x1 + |
|
x2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( y, x ) |
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, ( x, y ) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
( y, x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Аксиома |
2) |
также выполняется. Действительно, для |
трех векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = (x1; x2 ), y = (y1 ; y2 ), z = (z1; z2 ) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y, z)= (x1 + y1 )z1 + (x2 + y2 )z2 ;
(x, z)+( y, z ) = x1 z1 + x2 z2 + y1 z1 + y2 z2 = (x1 + y1 )z1 + (x2 + y2 )z2 . Следовательно, ( x + y, z ) = ( x, z ) +( y, z ).
Далее, так как
(λx, y)= λx1 y1 + λx2 y2 = λ(x1 y1 + x2 y2 )= λ( x, y ),
то аксиома 3) выполняется.
Теперь покажем выполнимость аксиомы 4):
255
( x, x ) = x |
|
+ x |
|
|
|
= |
|
x |
|
2 + |
|
x |
|
|
2 |
≥ 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x1 = x2 = 0 , т.е. x = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
2) Пусть |
в |
пространстве |
C 2 |
паре векторов |
x = (x ; x |
2 |
), |
y = (y ; y |
2 |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
поставлено в соответствие число
( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 .
Данное пространство с введенной таким образом операцией не является унитарным, так как аксиома 1) не соблюдается.
Действительно
( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 ; |
( y,x ) = y1x1 + y2 x2 ; |
( y,x ) = y1x1 + y2 x2 = y1x1 + y2 x2 = y1 x1 + y2 x2 .
Следовательно, ( x, y ) ≠ ( y, x ).
Понятия длины вектора и ортогональности векторов в унитарном пространстве вводятся так же как и соответствующие понятия в евклидовом
пространстве, причем обозначения сохраняются, т.е. x = (x, x)= x2 ; вектор x
ортогонален вектору y , если (x, y)= 0 .
Например, в пространстве C 2 , рассмотренном в примере 1), найдем дину вектора a =( 2; 2 −i ) и эрмитово произведение (a, b), если b =( 3 +i; 2 ).
Решение. Так как, согласно определению скалярного произведения,
(a, a)= a2 = 2 2 +( 2 −i )( 2 +i ) = 9 ,
то a = 3 .
Найдем теперь эрмитово произведение векторов a и b, имеем
( a, b ) = 2(3 +i)+( 2 −i )2 = 2( 3 −i ) + 4 −2i =10 −4i .
Теорема 10.3 Эрмитово произведение двух векторов в ортонормированном базисе унитарного пространства равно сумме произведений координат первого вектора на соответствующие сопряженные координаты второго вектора.
Доказательство. |
Пусть |
в |
|
унитарном |
пространстве |
даны |
|||||||||
ортонормированный базис e1 , e2 , ..., en |
и векторы |
|
|
|
|||||||||||
x =α1e1 +α2e2 + ... +αnen , |
|
|
y = β1e1 + β2e2 + ... + βnen . |
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x, y ) = (α1e1 +α2e2 + ... +αnen , β1e1 + β2e2 + ... + βnen )= |
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
||||
|
, ∑βiei |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||
= α1e1 |
+ |
α2e2 |
, ∑βiei |
... + αnen , ∑ |
βiei = |
|
|||||||||
|
i =1 |
|
|
i =1 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|||||
n n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑∑αk |
|
(ek , ei )= ∑αk |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
βi |
βi |
|
|
|
|
|
|||||||||
k =1i =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если X = (α1 α2 ... αn )T , |
|
T |
= (β1 |
β2 ... βn ), то |
|
|
|||||||||
Y |
|
|
256
X Y T = ∑n αk βk . k =1
Таким образом, ( x, y ) = X Y T .
Следствие. Длина вектора, заданного в ортонормированном базисе унитарного пространства, равна корню квадратному из суммы квадратов модулей его координат.
10.8 Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств
Евклидовы пространства E и E′ называются изоморфными, если между векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются следующие требования:
1)это соответствие является изоморфным соответствием между E и E′, рассматриваемыми как линейные пространства;
2)при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными
словами, если образами векторов a и b из E служат соответственно векторы a′ и b′ из E′, то
(a, b)= (a′, b′). (10.12)
Из условия 1) сразу следует, что изоморфные евклидовы пространства имеют одну и ту же размерность. Докажем обратное утверждение:
Любые евклидовы пространства E и |
E′, |
имеющие одну и ту же |
||
размерность n , изоморфны между собой. |
E |
и E′ ортонормированные |
||
В самом деле, выберем в пространствах |
||||
базисы |
|
|
|
|
e1 |
, e2 , ..., en |
|
(10.13) |
|
и, соответственно |
|
|
||
e′ |
, e′ , ..., |
e′ . |
|
(10.14) |
1 |
2 |
n |
|
|
Ставя в соответствие всякому вектору
n
a= ∑αiei
i=1
из E вектор
n
a′ = ∑αiei′
i =1
из E′, имеющий в базисе (10.14) те же координаты, что и вектор a в базисе (10.13), мы получим, очевидно, изоморфное соответствие между линейными пространствами E и E′. Покажем, что выполняется и равенство (10.12): если
n |
n |
b = ∑βiei , |
b′ = ∑βiei′ , |
i =1 |
i =1 |
257
n
то (a, b)= ∑αi βi = (a′, b′),
i =1
Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными. Поэтому для всякого n существует единственное n -мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякого n существует единственное n -мерное действительное линейное пространство.
Примем без доказательства утверждение о том, что все сказанное выше об изоморфизме евклидовых пространств переносится и на изоморфизм унитарных пространств.
10.9 Унитарные матрицы
При рассмотрении комплексных евклидовых (т.е. унитарных) пространств аналогом ортогональных матриц выступают унитарные матрицы. Унитарная матрица U = (uij ) - это матрица перехода от одного ортонормированного базиса,
скажем e1 , ..., |
en к другому ортонормированному базису f1, ..., fn в унитарном |
||||
пространстве En , т.е. |
f = eU , где f и e - строки, составленные из базисных |
||||
элементов. |
|
|
|
|
|
Свойства унитарных матриц |
|||||
n |
|
|
|
|
|
1) ∑uki |
|
|
=δij |
(символ Кронекера), т.е. скалярное произведение любых |
|
ukj |
|||||
k =1 |
|
|
|
|
|
двух столбцов |
|
Ui |
и |
U j унитарной матрицы, рассматриваемых как элементы |
пространства Tn* , равно нулю при i ≠ j и равно 1 при i = j . Таким же свойством обладают строки унитарной матрицы.
2) U −1 =U T , где U T - матрица, которая получается из матрицы U путем транспонирования и замены всех элементов на комплексно сопряженные (индекс
Tозначает транспонирование, а черта – комплексное сопряжение). Матрица U T называется эрмитово сопряженной по отношению к матрице U и обозначается
U* . Таким образом, свойство 2) можно записать так:
U −1 =U * ,
или, в эквивалентных формах:
UU * = I |
или |
U*U = I , |
||||
где I - единичная |
матрица. |
Матрица U −1 , т.е. матрица U* , также является |
||||
унитарной. |
|
|
||||
3) |
|
detU |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
Аналогично ортогональным матрицам свойства 1) и 2) являются характеристическими свойствами унитарных матриц.
258