Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

5.4 Решение систем линейных уравнений матричным способом

Для того чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными

Так как матрица A согласована с матрицей X , то можно найти произведение AX :

Элементами полученной матрицы-столбца являются левые части уравнений системы (5.7). Таким образом, на основании определения равенства

Эта запись называется матричной.

Следовательно, задача решения системы линейных уравнений (5.7) сводится к решению матричного уравнения (5.8). О решении матричных уравнений мы с вами уже говорили в предыдущей главе. Здесь же разберем метод матричного решения систем линейных уравнений на примере.

Пусть требуется решить матричным способом систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение. Матрица (квадратная) системы имеет вид

Она невырожденная, так как

119

(процесс нахождения обратной матрицы мы опускаем). Решим теперь матричное уравнение нашей системы в общем виде:

AX = B A−1 AX = A−1B X = A−1B .

Далее в полученное уравнение подставляем матрицы X , A−1 , B , имеем:

откуда

x1 = −0,5 1 + 0,1 2 + 0,4 (−1) , x2 =1,5 1 + 0,3 2 − 0,8 (−1) , x3 = 2,5 1 + 0,9 2 −1,4 (−1) .

Следовательно, x1 = −0,7 , x2 = 2,9 , x3 = 5,7 .

5.5 Критерий совместности системы линейных уравнений

Теорема 5.1 (Кронекера-Капелли) Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Запишем исходную систему в виде

Необходимость. Пусть система совместна. Докажем, что ранг матрицы

120

равен рангу расширенной матрицы

т.е. что rA = r~ .

A

Так как система совместна, то имеется совокупность чисел c1, c2 , ..., cn , такая, что

121

Сравнивая последнее равенство с равенством (5.10), заключаем, что (α1; α2 ; ...; αn ) является решением системы (5.9). Таким образом, система (5.9)

совместна, что и требовалось доказать.

Теорема 5.2 Если ранг матрицы совместной системы равен числу

существует минор M , который является базисным как для матрицы A, так и для

~ ~

A . Так как каждая не базисная строка матрицы A - это линейная комбинация ее базисных строк, то система (5.9) эквивалентна системе, состоящей из тех n уравнений этой системы, коэффициенты при неизвестных в которых образуют базисный минор M . Последняя система есть невырожденная система n уравнений с n неизвестными и имеет единственное решение. Следовательно, и данная система имеет единственное решение.

Теорема 5.3 Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

матрицы A. В противном случае можно изменить нумерацию неизвестных и

a11 ... a1r

порядок уравнений в системе. Таким образом, M = ... ... ... .

ar1 ... arr

~

Так как каждая небазисная строка матрицы A является линейной комбинацией ее базисных строк, то данная система эквивалентна системе

122

решений системы (5.10), а, следовательно, и системы (5.9) бесконечно. Следствия теорем 5.2 и 5.3:

1.Если система имеет единственное решение, то ранг матрицы системы равен числу неизвестных.

2.Если множество решений системы бесконечно, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

5.6 Базисные неизвестные системы линейных уравнений. Способ решения неопределенной системы

Базисными неизвестными совместной системы, ранг матрицы которой равен r , назовем r неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными.

Так как базисный минор может быть выбран не единственным образом, то и совокупность базисных неизвестных может быть выбрана не единственным образом.

В доказательстве теоремы 5.3 содержится способ нахождения решений

неопределенной системы ( rA = r~ = r < n ), состоящий в том, что систему (5.9)

A

заменяют эквивалентной системой (5.11). Решение системы находят, придавая свободным неизвестным произвольные значения и выражая значения базисных неизвестных из системы (5.11). Этим способом можно получить любое решение неопределенной системы. (Утверждение примем без доказательства.)

Итак, метод решения неопределенной системы линейных уравнений

неизвестные.

3.Данную систему заменяют равносильной ей системой, состоящей из тех r уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.

4.Если число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

5.Если число базисных неизвестных меньше числа неизвестных системы, то из системы находят выражение базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечно много частных решений системы.

123

Например, решим систему линейных уравнений

являются x1, x2 , x3 .

3. Таким образом, данная система равносильна системе

4. Число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, и следовательно, система имеет единственное решение. Предлагаем читателю решить эту систему, используя метод Гаусса или правило Крамера, самостоятельно и получить решение системы: x1 =1, x2 = −2 , x3 =1.

Приведем еще пример решения неоднородной системы линейных уравнений

x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,

5x1 +10x2 + 7x3 + 2x4 =11.

124

Получим rA = r~ = 2 . Следовательно, система совместна.

A

2. В качестве базисного минора можно взять, например, минор

M = 24 −53 ,

4.По формулам Крамера находим:

Следовательно, множество решений имеет вид

При вычислении рангов rA и r~ удобно использовать метод окаймляющих

A

миноров, так как при этом сразу находится и базисный минор. Удобно использовать также элементарные преобразования только над строками матрицы

~

A , приводя ее к трапециевидной форме.

5.7 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Применим результаты предыдущего параграфа к случаю системы линейных однородных уравнений:

125

Из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что эта система всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может изменить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно – система (5.13) заведомо обладает нулевым решением (0, 0, ...,0).

Пусть матрица А из коэффициентов системы (5.13) имеет ранг r .

Если r = n , то нулевое решение будет единственным решением системы (5.13); при r < n система обладает также решениями, отличными от нулевого,

и для разыскания всех этих решений применяется тот же прием, как выше в случае произвольной системы уравнений.

Вчастности, система п линейных однородных уравнений с п неизвестными тогда и только тогда обладает решениями, отличными от нулевого, если определитель этой системы равен нулю.

Всамом деле, равенство нулю этого определителя равносильно утверждению, что ранг матрицы А меньше п. С другой стороны, если в системе однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система обязательно обладает решениями, отличными от нулевого, так как ранг в этом

случае не может быть равным числу неизвестных.

Рассмотрим, в частности, случай системы, состоящей из n −1 однородных уравнений относительно п неизвестных, причем предположим, что левые части этих уравнений между собой линейно независимы. Пусть

- матрица из коэффициентов этой системы; через M i обозначим минор ( n −1)-го

а всякое другое решение ему пропорционально.

Доказательство. Так как, по условию, ранг матрицы А равен n −1, то один из миноров M i должен быть отличным от нуля; пусть это будет Мп. Полагаем в

нашей системе неизвестное хп свободным и переносим его в правую часть каждого из уравнений, после чего получим

126

Применяя затем правило Крамера, мы получим общее решение заданной системы уравнений, которому после несложных преобразований можно придать вид

xi = (−1)i −1 M i , т. е. система чисел (5.15) действительно будет решением нашей

системы уравнений. Любое другое решение этой системы получается из формул (5.15) при другом числовом значении неизвестного xn и поэтому оно

пропорционально решению (5.15). Понятно, что рассматриваемое утверждение справедливо и в том случае, когда M n = 0 , но один из миноров M i , 1 ≤ i ≤ n −1

отличен от нуля.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если вектор β = (b1, b2 , ..., bn ) является решением системы (5.13), то при любом числе k векторkβ = (kb1, kb2 , ..., kbn ) также будет решением этой

Поэтому вообще всякая линейная комбинация решений однородной системы (5.13) будет сама решением этой системы.

Заметим, что в случае неоднородной системы, т. е. системы линейных уравнений, свободные члены которых не все равны нулю, соответствующее утверждение не имеет места: ни сумма двух решений системы неоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы на число не будут уже служить решениями для этой системы.

Мы знаем, что всякая система n -мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, будет линейно зависимой. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (5.13), являющихся, как мы знаем, n -мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему, максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (5.13) будет

127

линейной комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (5.13) называется ее фундаментальной системой решений.

Еще раз подчеркнем, что п-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (5.13), если он является линейной комбинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.

Понятно, что фундаментальная система будет существовать лишь в том случае, если система (5.13) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неизвестных. При этом система (5.13) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны, между собой, так как каждый вектор всякой из этих систем линейно выражается через любую другую систему, и поэтому системы состоят из одного и того же числа решений.

Теорема 5.4 Если ранг r матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (5.13) меньше числа неизвестных п, то всякая

xr +1, xr +2 ,..., xn . Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель d порядка n − r , который запишем в следующем виде:

Беря элементы i -й строки этого определителя, 1 ≤ i ≤ n − r , в качестве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, получим однозначно определенные значения для неизвестных x1, x2 , ..., xr т. е. придем к вполне

определенному решению системы уравнений (5.13); запишем это решение в виде вектора

αi = (ci1, ci2 , ..., cir , ci r +1, ci r +2 , ..., cin ).

Полученная нами система векторов α1, α2 , ..., αn −r служит для системы

уравнений (5.13) фундаментальной системой решений. Это утверждение верно, так как система векторов α1, α2 , ..., αn −r линейно независима (поскольку

матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля

рассматриваемую как ( n − r ) -мерный вектор. Положим, далее,

β′ = (br +1, br +2 , ..., bn ).

128