Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Верны следующие утверждения:

1) Число, сопряженное сумме комплексных чисел равно сумме чисел, сопряженных со слагаемыми:

z + w = z + w.

Действительно. Пусть z = a + bi , w = c + di , и потому

z+ w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i = (a + c)− (b + d )i =

=(a − bi) + (c − di) = z + w.

2) Число, сопряженное произведению комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных множителям

zw = z w .

33

При возведении комплексного числа a + bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а при возведении в степень п (п – натуральное число, n ≥ 4 ) – формулой бинома Ньютона:

(a + bi)n = an + an−1bi + n(1n −21) an−2 (bi)2 + n(n −1)(n − 2) an−3 (bi)3 +... +

Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Квадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.

Обозначим квадратный корень из комплексного числа x + yi через u + vi , тогда по определению x + yi = u + vi .

Возведем обе части полученного равенства в квадрат

(u + vi)2 = x + yi ,

u2 + 2uvi + (vi)2 = x + yi , u2 + 2uvi − v2 = x + yi ,

(u2 − v2 ) + (2uv)i = x + yi ,

поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно, имеем:

34

u2 + v2i = −3 − 2i . (Знаки выбрали согласно второму равенству из (2.15), 2uv = y , т.е. поскольку y =12 > 0 , то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)

35

2.3 Тригонометрическая форма комплексных чисел. Операции над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Геометрическое изображение комплексных чисел

Мы дали определение понятию комплексного числа и научились выполнять над комплексными числами арифметические действия, а также извлекать из них квадратные корни. Как уже отмечалось, одним из важнейших, является вопрос о практическом значении комплексных чисел. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала научиться изображать комплексные числа геометрически, подобно тому как изображаются действительные числа точками на координатной прямой.

Комплексное число z = x + yi задается парой (x; y) действительных чисел. Рассмотрим эту пару чисел в качестве координат точки M (x; y) на координатной плоскости. Т.е. поставим в соответствие комплексному числу z = x + yi точку плоскости с координатами (x; y) и обозначим ее M (рисунок 13).

y

Рисунок 13

Ясно, что при этом каждая точка координатной плоскости изображает одно и только одно число, а каждое число изображается одной и только одной точкой. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым – точки оси ординат. Поскольку сопряженные числа отличаются только знаком мнимой части, то очевидно, что они изображаются точками координатной плоскости, симметричными относительно оси абсцисс.

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы, т.е. векторы OM , началом которых служит точка O(0; 0) , концом M (x; y) . Ведь для того, чтобы найти координаты вектора надо от координат конца вычесть координаты начала. В нашем случае OM (x − 0; y − 0) , т.е. OM (x; y) , таким образом точка M

и вектор OM имеют одни и те же координаты.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. Мы знаем, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .

36

Точно так же, при сложении векторов отдельно складываются их координаты: если OM (a; b) и ON(c; d) , то OM + ON = (a + b;c + d) . Это

означает, что при указанном соответствии операциям сложения и вычитания комплексных чисел соответствуют те же операции над векторами. Иными

словами, если числу z соответствует вектор OM , а числу w - вектор ON , то

числу z + w соответствует вектор OM + ON , а числу z − w - вектор OM −ON . Аналогично, при умножении комплексного числа z на действительное

число а соответствующий ему вектор OM умножается на это же число. Иными словами, числу az соответствует вектор a OM . В самом деле, на а умножаются как обе координаты вектора OM , так и действительная и мнимая часть числа z .

Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел

Положение точки на плоскости можно задать различными способами. До этого момента мы работали с вами только с декартовой системой координат. Познакомимся с полярной системой.

Полярная система координат состоит из точки – полюса и полярной оси. При этом любая точка плоскости задается двумя координатами (r; ϕ),

называемыми полярными координатами: r - длина радиус-вектора точки.

ϕ - величина угла, образованного полярным лучом и радиус-вектором

точки.

Оговоримся заранее, что еще необходимо задать масштаб, ведь длину радиус-вектора надо измерить. Подробнее об этом вы узнаете в теме «Вектора».

В дальнейшем r будем называть модулем, а ϕ - аргументом.

Рисунок 14

Для того чтобы комплексное число z = x + yi записать в

тригонометрической форме совместим декартову и полярную системы координат следующим образом: начало координат совмещаем с полюсом, а ось абсцисс с полярной осью, тогда одна и та же точка М, изображающая комплексное число в

декартовой системе координат будет иметь координаты (x; y) , а в полярной

(r; ϕ).

37

Отметим Uособенности тригонометрической формы комплексного числа:U

1)первый множитель – неотрицательное число, r ≥ 0 ;

2)косинус и синус обязательно одного и того же аргумента;

3)мнимая единица умножена на синус угла.

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π . Следовательно, если

r1 (cosϕ1 + isinϕ1 )= r2 (cosϕ2 + isinϕ2 ) , то r1 = r2 , ϕ2 =ϕ1 + 2πk ( k = 0, ±1, ± 2, ...).

Если комплексное число z = x + yi задано в тригонометрической форме z = r(cosϕ + isinϕ), то сопряженное ему число z = x − yi записывается в форме z = r(cos(−ϕ) + isin(−ϕ)) (см. рисунок 16); поэтому z = z , arg z = −arg z .

тригонометрической формах.

Решение. Сначала запишем заданное число в алгебраической форме:

Чтобы записать комплексное число 1 − i в тригонометрической форме, воспользуемся формулами (2.19). Поскольку в данном случае x =1, y = −1, то

39

z1 z2 = z1 z2 , arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2 ) ,

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргументом произведения этих чисел является сумма аргументов сомножителей.

Сумму и разность комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, нельзя выразить формулами, подобными формуле умножения. Однако,

т.е. модуль суммы двух комплексных чисел меньше или равен сумме модулей слагаемых, но больше или равен разности этих модулей.

Неравенства (2.22) можно получить следующим путем. Пусть z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) , z2 = r2 (cosϕ2 + isinϕ2 ) и пусть тригонометрическая форма

числа z1 + z2 есть z1 + z2 = R(cosψ + isinψ ) . Складывая отдельно действительные

и отдельно мнимые части, получаем: r1 cosϕ1 + r2 cosϕ2 = R cosψ , r1 sinϕ1 + r2 sinϕ2 = Rsinψ ;

умножая обе части первого равенства на cosψ , обе части второго – на sinψ и складывая полученное, имеем:

r1(cosϕ1 cosψ + sinϕ1 sinψ )+ r2 (cosϕ2 cosψ + sinϕ2 sinψ )= R(cos2ψ + sin2ψ ),

т.е.

r1 cos(ϕ1 −ψ )+ r2 cos(ϕ2 −ψ )= R .

40

Отсюда, так как косинус никогда не бывает больше единицы, следует

Следует заметить, что для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не могут быть разумно определены, так как эти числа, в отличие от действительных чисел, располагаются не на прямой линии, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости. Поэтому сами комплексные числа (а не их модули) никогда нельзя соединять знаком неравенства.

Частное двух комплексных чисел

Пусть заданы комплексные числа (2.20) и пусть z2 ≠ 0 . Рассмотрим

т.е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей числителя и знаменателя, а аргументом частного этих чисел является разность аргументов числителя и знаменателя.

т.е. модуль комплексного числа z−1 , обратного числу z , равен обратной величине модуля числа z , а его главное значение аргумента отличается от главного аргумента числа z только знаком.

41