Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Отметим некоторые свойства композиций отображений.

Для доказательства найдем образ элемента а из А при действии

отображений, записанных в левой и правой частях равенства (**). Из (*) имеем:

((f3 o f2 )o f1 )(a) = (f3 o f2 )(f 1 (a))= f3 (f2 (f1(a))), (f3 o(f1 o f2 ))(a) = f3 ((f1 o f2 )(a))= f3 (f2 (f1(a))).

Отсюда и следует (**).

2. Если отображение f1 : A → B , f2 : B → C сюръективны, инъективны и биективны, то соответственно таким же будет и отображение f2 o f1 .

Предлагаем читателю доказать это утверждение самостоятельно. Заметим, что в общем случае из биективности f2 o f1 не следует

биективность f1, f2 ; из сюръективности f2 o f1 следует сюръективность лишь f1,

аиз инъективности f2 o f1 следует инъективность лишь f2 .

3.Если f и ϕ - преобразования множества А, то их композиция ϕ o f также является преобразованием множества А.

1.5 Необходимые сведения о группах, кольцах, полях

Пусть дано некоторое множество А, содержащее хотя бы один элемент. Будем говорить, что в множестве А определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а и b, взятых из этого множества в определенном порядке, ставится во взаимно однозначное соответствие некоторый элемент с, также принадлежащий этому множеству. Если эту операцию называют сложением, то элемент с называют суммой элементов а и b и обозначают символом а + b; если операцию называют умножением, то элемент с называется произведением элементов а и b и обозначают символом аb. В остальных случаях алгебраическую операцию будем обозначать символом *.

Алгебраическая операция * называется коммутативной, если результат ее применения не зависит от порядка элементов, т.е. для любых элементов а и b из рассматриваемого множества выполняется равенство a * b = b * a .

Алгебраическую операцию * называют ассоциативной, если для любых трех элементов а, b, с рассматриваемого множества выполняется равенство

(a * b) * с = a * (b * с) .

Если операция ассоциативна и коммутативна, то результат не зависит от

порядка расположения элементов в этом выражении.

Для алгебраической операции * часто приходится рассматривать наличие обратной операции, что равносильно решению уравнений a * x = b , y * a = b

23

относительно элементов x и y из множества А. Решение этих уравнений

приводит к правой и левой обратным операциям. В случае их существования будем говорить, что операция * имеет обратную операцию. Наличие обратной операции равносильно существованию для любого элемента рассматриваемого множества правого и левого обратных элементов.

Если для элемента а правый и левый обратные элементы совпадают, то этот единственный элемент называют обратным элементом к элементу а. В случае, когда алгебраическая операция названа сложением, обратный элемент к элементу а называют противоположным элементом для элемента а и обозначают символом – а; в случае, когда алгебраическая операция названа

умножением, обратный элемент к элементу а обозначается символом а−1 . Это позволяет операцию, обратную к умножению, записать в виде ba = ab−1.

Пусть в множестве К введены две операции – операция сложения и операция умножения. Говорят, что эти операции связаны законом дистрибутивности, если для любых элементов а, b, с из К выполняются соотношения (a + b)c = ac + bc , a(b + c) = ab + ac .

Группой называют множество с одной ассоциативной обратной операцией. Если алгебраическая операция в группе названа сложением, то группу называют аддитивной; если алгебраическая операция в группе названа умножением, то группу называют мультипликативной. Группу с коммутативной операцией называют абелевой; группу, состоящую из конечного числа элементов, называют конечной группой, а число элементов в группе –

порядком группы.

ПримерамиU U групп являются:

1.Множество всех целых чисел с операцией сложения чисел.

2.Множество всех четных чисел с операцией сложения чисел.

3.Множество всех чисел, кратных данному числу п, с операцией сложения чисел.

4.Множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве с операцией сложения векторов.

Если дана какая-либо группа G и подмножество Н, содержащееся в G , образует группу относительно алгебраической операции, заданной в G , то группу

Нназывают подгруппой группы G . Например, аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, которая сама

является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел. Множество К называют кольцом, если в нем определены ассоциативные

операции сложения и умножения, связанные законом дистрибутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией – вычитанием.

Кольцо называют коммутативным, если в нем операция умножения коммутативная, и некоммутативным – в противном случае. Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.

Коммутативное кольцо Р, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения, называют

полем.

ПримерамиU U полей являются:

24

1.Множество всех чисел вида a + b 2 , где а и b - рациональные числа,

соперациями сложения и умножения.

2.Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, с операциями

сложения и умножения, заданными равенствами 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1+1=0,

и 0 0 = 0 , 0 1 =1 0 = 0 , 1 1 =1.

В любом поле множество всех элементов является абелевой группой с операцией сложения, а множество всех ненулевых элементов – абелевой группой с операцией умножения. Отсюда следует, что операции сложения и умножения имеют обратные операции – вычитание и деление. Для этих операций используют те же обозначения, что и для одноименных числовых операций. Кроме того, для четырех операций (сложение, умножение, вычитание, деление) сохраняются

Перечислим нужные нам в дальнейшем общие факты об элементах произвольного поля.

В поле Р определена операция, называемая сложением, которая каждой паре элементов а и b поля Р ставит в соответствие элемент а + b из Р, называемый суммой элементов а и b. При этом:

элементов а, b, с из Р;

3)в поле Р существует единственный элемент 0, называемый нулевым, такой, что a + 0 = a для любого элемента а из Р;

4)для любого элемента а из Р существует единственный элемент − a ,

называемый противоположным, такой, что a + (−a) = 0 (это свойство

обеспечивает существование операции, обратной к сложению, - вычитания).

В поле Р определена операция, называемая умножением, которая каждой паре элементов а и b из Р ставит в соответствие элемент аb из Р, называемый произведением элементов а и b. При этом:

1)умножение коммутативно, т.е. ab = ba для любых элементов а и b из Р;

2)умножение ассоциативно, т.е. a(bc) = (ab)c для любых элементов а, b, с

из Р;

3)в поле Р существует единственный элемент 1, называемый единичным, такой, что a 1 =1 a = a для любого элемента а из Р;

4)для каждого ненулевого элемента а из Р существует единственный

элемент a−1 , называемый обратным, такой, что a a−1 = a−1 a =1 (это свойство обеспечивает существование в поле Р операции, обратной к умножению, - деление).

В поле Р сложение и умножение связаны законом дистрибутивности, т.е. для любых элементов а, b, с из Р выполняется соотношение (a + b)c = ac + bc .

25

1.6 Вопросы для самопроверки

1Определите понятие множества (способы задания; обозначение множества, элементов множества).

2Равные множества, подмножество данного множества (определение, обозначение).

3Пересечение множеств (определение, обозначение).

4Перечислите свойства и операции пересечения множеств.

5Дайте определение объединения множеств (обозначение, иллюстрация).

6Перечислите свойства операции объединения множеств.

7Дайте определение дополнения к множеству A.

8Перечислите свойства операции дополнения.

9Определите разность двух множеств.

10Дайте определение кортежа длины n .

11Какие два кортежа называются равными?

12Определите отличия понятий кортежа и множества.

13Определите декартовое произведение множеств.

14Приведите примеры декартова произведения множеств.

15Определите n -мерное арифметическое пространство через декартово произведение.

16Что означает – декартовая n -ая степень множества A?

17Какие свойства операций над множествами называются законами поглощения?

18Перечислите законы правой дистрибутивности операций умножения, сложения, вычитания и декартова произведения относительно операций сложения

иумножения.

19Осуществите проверку равенства (A ∩ B)\ C = (A \ C)∩ (B \ C).

20Что означает объединение и пересечение произвольного числа

множеств?

21Что означает высказывание «множество A разложено в объединение своих подмножеств»?

22Сформулируйте определение отношения на множестве A.

23Приведите примеры отношений на множестве.

24Какое отношение на множестве называется отношением эквивалентности?

25Приведите примеры отношений эквивалентности.

26Сформулируйте и докажите теорему об отношении эквивалентности.

27Сформулируйте определение отображения множества X в множество

Y .

28 Что означает образ элемента, прообраз элемента в отображении f (x) = y ?

29Что означает – полный прообраз?

30Какие виды отображений вы изучили?

26

31Сформулируйте определение и приведите пример сюръективного отображения.

32Сформулируйте определение и приведите пример инъективного отображения.

33Сформулируйте определение и приведите пример биективного отображения.

34Сформулируйте определение композиции отображений.

35Сформулируйте и докажите свойства композиций отображений.

36Что означает понятие алгебраическая операция?

37Какая алгебраическая операция называется коммутативной?

38Какая алгебраическая операция называется ассоциативной?

39Что означает существование обратной алгебраической операции?

40Сформулируйте определение обратного элемента к элементу a (для сложения, для умножения).

41Сформулируйте определение группы.

42Какая группа называется аддитивной?

43Какая группа называется мультипликативной?

44Какая группа называется абелевой?

45Приведите примеры групп.

46Сформулируйте определение кольца.

47Какое кольцо называется коммутативным (некоммутативным)?

48Сформулируйте определение поля.

49Приведите примеры полей.

50Перечислите операции, определенные в поле и их свойства.

27

Глава 2 Комплексные числа

2.1 Система комплексных чисел

На протяжении курса элементарной алгебры несколько раз происходит обогащение запаса чисел. Школьник, приступающий к изучению алгебры, приносит из арифметики знакомство с положительными целыми и дробными числами. Алгебра начинается по существу с введения отрицательных чисел, т.е. с оформления первой среди важнейших числовых систем – системы целых чисел, состоящей из всех натуральных, всех им противоположных чисел и нуля, и более широкой системы рациональных чисел, состоящей из всех целых и всех дробных чисел, т.е. из чисел, представимых в виде десятичной бесконечной периодической дроби, как положительных, так и отрицательных.

Дальнейшее расширение запаса чисел происходит тогда, когда в рассмотрение вводятся иррациональные числа (числа, не представимые в виде десятичных бесконечных периодических дробей). Система, состоящая из всех рациональных и иррациональных чисел, называется системой действительных

(или вещественных) чисел.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) над действительными числами снова дают действительные числа. Отсюда следует, в частности, что рациональная функция с действительными коэффициентами принимает действительные значения при всех действительных значениях аргумента, для которых она определена.

Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень на множестве действительных чисел извлечь нельзя. Поэтому в теории квадратных уравнений приходится рассматривать три случая: если

(второй кратности), а при D < 0 уравнение действительных корней не имеет. Таким образом, ряд вопросов, возникших при решении уравнений второй,

а также третьей, четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к нему новое число i ,

такое, что i2 = −1. Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали «мнимой единицей» - оно не выражало ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведения этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi , где b R , а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a + bi , где a, b R . Получившиеся при этом числа были названы комплексными,

так как они содержали как действительную часть а, так и чисто мнимую часть bi .

28

Поскольку выражение a + bi напоминает многочлен первой степени от i (с той лишь существенной разницей, что i не является переменной), математики XVI века производили операции над такими выражениями по тем же правилам,

что и над многочленами, причем когда у них появлялось выражение i2 , его заменяли на – 1.

Например, сумму и произведение комплексных чисел определяли

Частное двух многочленов первой степени не выражается, вообще говоря, в идее многочлена. Но для комплексных чисел частное снова выражается в виде комплексного же числа. Именно,

Равенства (2.1), (2.2), (2.3) имеют пока что лишь формальный характер. Далее мы приступим к детальному анализу понятия комплексного числа и

узнаем какие практические приложения имеет теория комплексных чисел.

2.2 Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами алгебраической формы

Неясности, связанные с преждевременным употреблением знаков сложения и умножения, устраняются весьма просто. Ведь в записи a + bi нас интересуют лишь действительные числа a и b, идущие в определенном порядке. Поэтому введем следующее определение.

Комплексным числом z называют пару (a; b) действительных чисел a и b, взятых в определенном порядке. Две пары (a; b) и (c; d) задают одно и то же

комплексное число в том и только в том случае, когда они совпадают, т.е. когда a = c и b = d .

Из этого определения следует, что одно равенство (a; b) = (c; d) для

действительной частью, b - мнимой частью. Приняты обозначения a = Re z ,

29

b = Im z (от французских слов reele – действительный и imaginaire - мнимый).

Числа вида (0; b) , b ≠ 0 , называют чисто мнимыми числами.

Определим теперь операции сложения и умножения комплексных чисел

Итак, мы ввели понятие комплексного числа и определили для этих чисел операции сложения и умножения. Теперь можно перейти к записи комплексных чисел в виде z = a + bi , о которой говорилось выше. Для этого заметим следующее:

для пар вида (a; 0) определенные выше операции сложения и умножения

сводятся к соответствующим операциям над действительными числами, т.е. имеют место равенства:

Эти утверждения непосредственно вытекают из формул (2.4) и (2.5).

Из утверждения (2.6) следует, что пару (a; 0) можно кратко обозначить через а. Тогда равенство (2.9) примет вид: (0; 1) (0; 1) = −1. Наконец, обозначим

Теперь уже операции сложения и умножения в правой части равенства имеют смысл.

В дальнейшем мы будем записывать комплексные числа в виде z = a + bi , z = x + iy , z =u + iv и называть эту форму записи алгебраической. Формулы

сложения и умножения комплексных чисел, заданных алгебраической формой приобретают вид:

30

Кроме того, каждое комплексное число z = a + bi имеет противоположное ему число − z = −a − bi . В самом деле,

(a + bi) + (−a − bi) = (a − a) + (b − b)i = 0 .

Наконец, каждое отличное от нуля комплексное число z имеет обратное ему число, т.е. такое число w, что zw =1. Действительно, будем искать число w в виде w = x + yi. Равенство zw =1 принимает при этом вид (a + bi)(x + yi) =1, т.е.

Так как комплексные числа равны в том и только том случае, когда у них одинаковы действительные части и мнимые части соответственно, из равенства (2.10) получаем два уравнения для отыскания x и y :

ax − by =1,

bx + ay = 0.

этом a2 + b2 ≠ 0 , (т.е. z предполагается отличным от нуля). Таким образом, число обратное комплексному числу z = a + bi имеет вид

Итак, все 9 основных свойств операций сложения и умножения действительных чисел, на которых основана алгебра, верны и для комплексных чисел. Отсюда следует, что любое алгебраическое тождество остается справедливым и в комплексной области. Например, для комплексных чисел z и w верны тождества

(z ± w)2 = z2 ± 2zw + w2 ,

(z + w)(z − w) = z2 − w2 и т.д.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются равенствами

31

На практике вместо полученной формулы используют уже указанный

Комплексное число c − di называется сопряженным комплексному числу c + di , т.е. сопряженные комплексные числа отличаются только знаком мнимой части.

Если z - комплексное число, то сопряженное ему число обозначают z . Рассмотрим произведение сопряженных чисел

z z = (c + di)(c − di) = c2 − (di)2 = c2 + d 2 .

Таким образом, заключаем, что произведение сопряженных комплексных чисел является числом действительным.

НапримерU ,U пусть даны комплексные числа 10 + 8i , 1 + i . Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение. а) (10 + 8i)+ (1 + i) = (10 +1) + (8 +1)i =11 + 9i ; б) (10 + 8i) − (1 + i) = (10 −1) + (8 −1)i = 9 + 7i ;

в) (10 + 8i)(1 + i) =10 +10i + 8i + 8i2 = 2 +18i ;

Поскольку при решении ряда задач на комплексные числа часто используются операции сопряжения, полезно более подробно изучить сопряжение числа.

Итак, числа a + bi и a − bi - сопряженные. Числом, сопряженным действительному числу a , будет само число a ; сопряженное чисто мнимому числу bi - число − bi . Обозначение:

a = a , a R , bi = −bi , b R

32