Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Последнее равенство показывает, что rk (x) служит делителем для rk −1(x) . Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на rk (x) , а поэтому rk (x) будет делителем и для rk −2 (x) . Далее, таким же

rk (x) служит делителем для g(x) , а поэтому, на основании первого равенства, - и для f (x) . Таким образом, rk (x) является общим делителем для f (x) и g(x) .

Возьмем теперь произвольный общий делитель ϕ(x) многочленов f (x) и g(x) . Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств (3.20) делятся на ϕ(x) , то r1(x) также будет делиться на ϕ(x) . Переходя ко второму и следующему равенствам, мы таким же способом получим, что на ϕ(x)

что rk (x) делится на ϕ(x) . Таким образом, rk ( x ) на самом деле будет наибольшим общим делителем для f (x) и g(x) .

Из доказательства справедливости алгоритма Евклида следует и справедливость следующих утверждений:

1 Любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем.

2Если многочлены f (x) и g(x) имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными.

3Наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени, т.е. если d (x) есть (f (x), g(x)), то и

многочлен cd(x) также является (f (x), g(x)) в связи с третьим утверждением.

Условимся, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице, а значит два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен единице.

63

Так как f (x) = g(x) q(x) + r1(x) , т.е. x3 − 4x2 + 4x −1=( x2 + 2x −3)( x −6 ) +

+(19x −19) , следовательно, r1(x) =19x −19 .

2)g(x) : r1(x)

Следовательно, наибольшим общим делителем многочленов f (x) и g(x)

служит двучлен 19x −19 . На основании утверждения 3 наибольшим общим делителем многочлен f (x) и g(x) будем считать многочлен ( x −1).

Займемся дальнейшим исследованием делимости многочленов.

Теорема 3.5 Если d (x) есть наибольший общий делитель многочленов

Доказательство. Можно считать при этом, если степени многочленов f (x) и g(x) больше нуля, то степень u(x) меньше степени g(x) , а степень v(x)

d (x) = rk −2 (x)u1(x) + rk −1(x)v1(x) .

64

Подставляя сюда выражение rk −1(x) через rk −3 (x) и rk −2 (x) из

предшествующего равенства, мы получим: d(x) = rk −3 (x)u2 (x) + rk −2 (x)v2 (x) ,

где, очевидно, u2 (x) = v1(x) , v2 (x) = u1(x) − v1(x)qk −1(x) . Продолжая подниматься вверх по равенствам, мы придем, наконец, к доказываемому равенству.

Для доказательства второго утверждения теоремы предположим, что многочлены u(x) и v(x) , удовлетворяющие равенству (3.21), уже найдены, но,

например, степень u(x) больше или равна степени g(x) . Делим u(x) на g(x) : u(x) = g(x)q(x) + r(x) ,

где степень r(x) меньше степени g(x) , и подставляем это выражение в (3.21). Мы получим равенство f (x)(g(x)q(x)+ r(x))+ g(x)v(x)= d (x), или

f (x)r(x) + g(x)[v(x) + f (x)q(x)]= d (x) .

Степень множителя, стоящего при f (x) , уже меньше степени g(x) . Степень многочлена, стоящего в квадратных скобках, будет в свою очередь меньше степени f (x) , так как в противном случае степень второго слагаемого левой части была бы не меньше степени произведения g(x) f (x) , а так как степень первого слагаемого меньше степени этого произведения, то вся левая часть имела бы степень, большую или равную степени g(x) f (x) , тогда как многочлен d(x) заведомо имеет, при наших предположениях, меньшую степень. Теорема доказана.

Одновременно мы получаем, что если многочлены f (x) и g(x) имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и многочлены u( x ) и v( x ), удовлетворяющие равенству (3.21) можно подобрать так, что их коэффициенты будут рациональными или, соответственно, действительными.

Представление (3.21) называется представлением d( x) (наибольшего общего делителя f (x) и g(x) ) в линейной форме.

Следствие. Многочлены f (x) и g(x) тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены u(x) и v(x) , удовлетворяющие равенству

Теоремы о взаимно простых многочленах

1 Если многочлен f (x) взаимно прост с каждым из многочленов ϕ(x) и ψ (x) , то он взаимно прост и с их произведением.

Доказательство. Поскольку по условию многочлен f (x) взаимно прост с многочленом ϕ(x) , то на основании формулы (3.22) существуют такие многочлены u(x) и v(x) , что

f (x)u(x) +ϕ(x)v(x) =1.

Умножим это равенство на ψ (x) :

f (x)[u(x)ψ (x)]+ [ϕ(x)ψ (x)]v(x) =ψ (x) ,

65

из полученного следует, что всякий общий делитель f (x) и ϕ(x) ψ (x) был бы делителем и для ψ (x) ; однако по условию (f (x),ψ (x))=1.

2 Если произведение многочленов f (x) и g(x) делится на ϕ(x) , но f (x) и ϕ(x) взаимно просты, то g(x) делится на ϕ(x) .

Доказательство. Поскольку f (x) и ϕ(x) - взаимно просты то, согласно (3.22), верно что f (x)u(x) +ϕ(x)v(x) =1. Умножим это равенство на g(x) , имеем:

[f (x)g(x)]u(x) +ϕ(x)[v(x)g(x)]= g(x) .

Так как оба слагаемых левой части этого равенства делятся на ϕ(x) , то следовательно и g(x) делится на ϕ(x) .

3 Если многочлен f (x) делится на каждый из многочленов ϕ(x) и ψ (x) , которые между собой взаимно просты, то f (x) делится и на их произведение.

Доказательство. f (x) = ϕ(x) ϕ(x) , так что произведение, стоящее справа, делится на ψ (x) . Поэтому, по второй теореме, ϕ(x) делится на ψ (x) ,

ϕ(x) =ψ (x)ψ (x) , откуда f (x) =[ϕ(x)ψ (x)]ψ (x) .

Очевидно, что определение наибольшего общего делителя может быть распространено на случай любой конечной системы многочленов.

4 Наибольший общий делитель многочленов f1(x), f2 (x), ..., fs (x) равен наибольшему общему делителю многочлена fs (x) и наибольшего общего делителя многочленов f1(x), f2 (x), ..., fs −1(x) .

Доказательство. При s = 2 теорема очевидна. Примем, что для случая s −1 она справедлива, т.е. уже доказано существование наибольшего общего делителя

d (x) многочленов f1(x), f2 (x), ..., fs −1(x) . Обозначим через d (x) наибольший общий делитель многочленов d (x) и fs (x) . Он будет, очевидно, общим

делителем для всех заданных многочленов. С другой стороны, всякий другой общий делитель этих многочленов будет делителем также и для d (x) , а поэтому и

для d (x) .

В заключении отметим, что система многочленов f1(x), f2 (x), ..., fn (x)

называется взаимно простой, если общими делителями многочленов этой системы являются только многочлены нулевой степени.

3.10 Вопросы для самоконтроля

1 Сформулируйте определение многочлена n -й степени от одной переменной.

2Какой вид многочлена называется каноническим?

3Что значит степень многочлена (нулевая степень, двучлен)?

4Какие действия возможны над многочленами?

5Свойства операций сложения и произведения многочленов.

6Сформулируйте условие существования многочлена, обратного данному.

7Что значит разделить многочлены друг на друга?

8Что значит многочлен f (x) делится нацело на многочлен ϕ(x) ?

66

9Сформулируйте и докажите теорему о делителе многочлена.

10Сформулируйте основные 9 свойств делимости многочлена.

11Какое число называется корнем многочлена?

12Сформулируйте и докажите теорему Безу.

13Чему равен остаток от деления многочлена f (x) на двучлен (x − c)?

14Чему равен остаток от деления многочлена f (x) на двучлен (ax + b)?

15Расскажите в чем заключается суть метода Горнера.

16Сформулируйте основную теорему алгебры.

17Сформулируйте и докажите следствие из основной теоремы алгебры.

18Запишите формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Как называются эти формулы?

19Сформулируйте теорему о разложении многочлена с действительными коэффициентами на множители.

20Какие два многочлена называются взаимно простыми?

21Какой многочлен называется общим делителем заданных многочленов?

22Какой многочлен называется наибольшим общим делителем заданных многочленов?

23В чем заключается суть алгоритма Евклида?

24 Что означает представление d( x ) (наибольшего общего делителя f ( x ) и g( x )) в линейной форме.

25Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что многочлены f (x) и g( x ) взаимно просты.

26Докажите теорему о том, что если многочлен f (x) взаимно прост с каждым из многочленов ϕ(x) и ψ (x) , то он взаимно прост и с их произведением.

27Докажите теорему о том, что если произведение многочленов f (x) и g(x) делится на ϕ(x) , но f (x) и ϕ(x) взаимно просты, то g(x) делится на ϕ(x) .

28Докажите теорему о том, что если многочлен f (x) делится на каждый из многочленов ϕ(x) и ψ (x) , которые между собой взаимно просты, то f (x)

делится и на их произведение.

29 Докажите теорему о том, что наибольший общий делитель

30 Какая система многочленов называется взаимно простой?

67

Глава 4 Матрицы и определители

4.1 Матрицы. Основные понятия и определения

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если в качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются прописной буквой с двумя индексами, указывающими «адрес» элемента – первый индекс дает номер строки, второй – номер столбца, а сама матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, ..., X , Y , .... Размеры матрицы – количество ее строк

или короче: A = aij mn , если же интересует только размерность матрицы, то

возможна еще более короткая запись A(m × n).

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной; если число строк не совпадает с числом столбцов – прямоугольной. Прямоугольная матрица размера (m ×1) - одностолбцовая или просто столбец, а

размера (1× m) - однострочная или просто строка.

Квадратная матрица имеет две диагонали. Диагональ, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу матрицы – главная, вторая диагональ – второстепенная (или побочная). Если же все элементы квадратной матрицы, расположенные выше (или наоборот ниже) диагонали, равны нулю, матрица называется треугольной.

Матрицы, составленные из чисел, естественно возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

68

Входные данные для этой задачи – это множество коэффициентов,

b1

и совокупность свободных членов, образующих матрицу M , (4.4)

bn

имеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных,

x1

который, как оказывается, удобно представлять тоже в виде матрицы x2 , (4.5)

xMn

Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали.

Диагональная матрица D с диагональными элементами d1, d2 , ..., dn обозначается diag(d1, d2 , ..., dn ) , в частности d(1, 1, ..., 1) - единичная матрица. Т.е

единичной называется матрица, главная диагональ которой занята единицами, а остальные элементы равны нулю, например

E2 = 1 0 - единичная матрица второго порядка.

0 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей матрицы А.

69

Субматрицами матрицы (4.6), например, будут следующие таблицы

Матрицы одного и того же порядка считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы нули.

Матрица называется симметричной (симметрической), если все ее элементы симметричные относительно главной диагонали равны между собой.

НапримерU ,U матрица

Основными матричными операциями являются умножение числа на матрицу или матрицы на число, сложение и перемножение матриц.

4.2 Линейные операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить число α на матрицу А или матрицу А на число α ,

нужно умножить на α все элементы матрицы А. НапримерU ,U

Если рассматриваются матрицы над коммутативным кольцом К, то для любой матрицы А и любого α K справедливо равенство αА= Aα . В случае некоммутативного кольца K может оказаться, что αА≠ Aα . Беря в качестве K

70

Сумма матриц

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности, называется матрица, имеющая ту же размерность; элементы полученной матрицы равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

Из этого определения непосредственно вытекают соотношения:

4.A + (B + C)= (A + B)+ C .

5.A + B = B + A .

6.(α + β)A =αA + βA ; A(α + β)= Aα + Aβ .

7.α(A + B)=αA +αB ; (A + B)α = Aα + Bα .

8.A + O = O + A = A .

Вводя обозначение (−1) A = −A , будем иметь

A + (− A)= O , (−α)A = −αA , − (A + B)= −A − B , − (− A)= A .

Для краткости вместо A + (− B) обыкновенно пишут A − B и называют

разностью матриц A и B .

Линейная комбинация матриц

Пусть A1, ..., Am - несколько матриц одной размерности. Матрица с1 A1 + ... + сm Am при сi K , называется линейной комбинацией матриц A1, ..., Am . Нам придется применять этот термин преимущественно к строкам и

столбцам.

Рассмотрим в свете этого понятия систему линейных уравнений общего

вида

введем в рассмотрение столбцы из коэффициентов

71

b1

и столбец из свободных членов B = b2 .

bMm

Очевидно, что при этих обозначениях, систему можно записать в виде x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B .

Тогда задача решения системы уравнений превращается в задачу: даны п столбцов A1, A2 , ..., An и столбец B ; требуется представить столбец B в виде

линейной комбинации A1, A2 , ..., An .

4.3 Умножение матриц

Введем теперь действие умножения матрицы на матрицу.

Предварительно рассмотрим частный случай:

Произведением строки А на столбец В одной и той же длины,

b1 A = (a1, a2 ,..., an ), B = bM2 ,bn

называется число a1b1 + a2b2 + ... + anbn .

матрицы.U В результате же произведения получится матрица, число строк которой

72