1
q max
Х 2
q20
q1
q21 |
q max |
Рис. 2.4. Нахождение паретовского множества решений:
жирной линией выделено множество Парето для рассматриваемого примера
2.4. Описание выбора на языке бинарных отношений
Второй более общий язык, на котором описывается выбор – это язык бинарных отношений. Его большая, нежели у критериального языка, общность основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно. Однако если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна.
Основные предположения этого языка сводятся к следующему:
1)отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится;
2)для каждой пары альтернатив (х, у) некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);
3)отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.
Математически бинарное отношение R на множестве Х определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (х, у). Удобно использовать обозначение хRу, если х находится в
отношении R с у и хR у в противном случае.
Множество всех пар {(х1у), х1у Х} называется полным (и универсальным) бинарным отношением.
Так как в общем случае не все возможные пары (х, у) удовлетворяют условиям,
накладываемым отношением R, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, т.е. R Х . Х.
Задать отношение – это значит тем или иным способом указать все пары (х, у), для которых выполнено отношение R.
Существует четыре разных способа задания бинарных отношений, преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества Х.
1.Непосредственное перечисление таких пар. Этот способ приемлем лишь в случае конечного множества Х.
2.Матричный способ. Все элементы нумеруются и матрица отношения R определяется
своими элементами αij (R)={1 : хiRхj, 0 : хi R хj } для всех i и j.
24
3. Задание отношений графом. Вершинами графа G (R) ставят в соответствие (пронумерованные) элементы множества Х, и если хiRхj, то от вершины хi проводят направленную
дугу к вершине хj, если хi R хj, то дуга отсутствует.
4. На бесконечных множествах используется задание отношения R сечениями. Множество R+ (х) = {у X (у,х) R} называется верхним сечением отношения R. Множество R– (х) = {у X (х,у) R} – нижним сечением.
Отношение однозначно определяется одним из своих сечений.
2.5. Язык функций выбора
Некоторые особенности выбора привели к построению третьего еще более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки.
Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие «предпочтение» вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила «наиболее отличного, оригинального», теряющие смысл в случае двух альтернатив.
Язык функций выбора описывает выбор как операцию над произвольным множеством альтернатив Х, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество
с(х) : с(х) Х.
Функция выбора как отображение совокупности множеств (поскольку для выбора могут предлагаться любые подмножества хi Х) без поэлементного отображения одного множества на
другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока еще не полно изученным математическим объектом. Конечно, накладывая на функцию выбора определенные требования, можно описать и те варианты выбора, которые отражаются в предыдущих языках. Но главное достоинство нового языка – рассмотрение более сложных правил выбора. Разнообразие функций выбора немного превосходит разнообразие других языков, хотя наиболее подробному рассмотрению пока подверглись именно те функции выбора, которые идентичны выбору, описываемому на предыдущих языках.
Контрольные вопросы
1.Каковы требования к управленческим решениям?
2.Значение цели в процессе принятия решения?
3.Какие подходы существуют для решения многокретериальных задач?
4.В чем сущность критериального языка описания выбора?
5.Каковы основные предположения описания выбора на языке бинарных отношений?
Литература
1.Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. – М.: Высшая школа, 1989.
2.Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений. – СПб.: «Лань», 2001.
25