Это выражение называется формулой Вильсона, из которой можно устанавливать оптимальный размер поставок. С помощью этой функции можно установить и оптимальные моменты времени пополнения запасов.

6.3. Задача упорядочения и согласования. Детерминированная задача упорядочения

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации. Пусть имеется несколько изделий,

каждое из которых должно быть обработано на двух машинах. Допустим, что известны время обработки и последовательность обработки каждого изделия на каждой машине (табл. 6.1).

Т а б л и ц а 6.1

Числовые данные задачи

Требуется выбрать такой порядок обработки изделий, при котором суммарное время обработки изделий будет минимальным (или суммарное время ожидания обработки изделий на машине).

Основные особенности, взаимосвязи и количественные закономерности. Основные ограничения задачи:

1)время перехода изделия от одной машины к другой незначительно и им можно пренебречь;

2)каждое изделие обрабатывается в определенном технологическом порядке;

3)каждое обслуживание должно быть завершено прежде, чем начнется следующее. Обозначения:

t1j – время обработки j-го изделия на первой машине; t2j – время обработки j-го изделия на второй машине.

Изобразим процесс обработки изделий на двух машинах графически (рис. 6.4):

Рис. 6.4. Процесс обработки изделий на двух машинах:

Т – полное время, которое пройдет от начала обработки первого изделия на первой машине до конца обработки последнего изделия на второй машине

Построение математической модели. Пусть tnj – время простоя второй машины между

концом выполнения работы по обработке (j −1)-го изделия на второй машине и началом обработки j -го изделия на той же самой машине.

Тогда суммарное время обработки изделий составит:

54

обслуживания (алгоритм Джонсона). При этом каждое из требований должно пройти сначала обслуживание на первом пункте, затем на втором.

Продолжительности обслуживания требований различны. Если использовать метод прямого перебора, то при наличии m требований (изделий) и двух пунктов обслуживания (машин) и при условии, что все виды требований обрабатываются в одинаковом порядке, существует m! возможных вариантов (последовательностей). (Для нашего примера имеется 720 вариантов.)

Алгоритм включает следующие основные этапы:

1. Поиск наименьшего элемента. Ищем в Т-2 наименьший элемент (равен 2, относится ко второй машине) и отмечаем точкой (табл. 6.2).

Т а б л и ц а 6.2

Первый шаг метода

2. Перестановки изделий. Определяется место нахождения элемента. Если этот элемент относится к первой машине, то столбец с точкой поставить на первое место, если ко второй, то поставить на последнее место календарного плана.

При наличии равных минимальных элементов в обеих строках изделие с минимальным временем обработки на первой машине ставится на первое место; а на второй машине – на последнее. Если же одинаковые минимальные элементы оказываются в первой (второй) строке, то на первое (последнее) место ставится изделие, которому соответствует меньший элемент второй (первой) строки.

Т а б л и ц а 6.3

Второй шаг метода

3. Вычеркивание из таблицы столбца, отмеченного точкой и возвращение к п.1 и так далее, пока не будет исчерпан список всех изделий. Получим оптимальную последовательность обработки на двух машинах (Т-3).

Процесс оптимальной обработки:

Tmin = 29 + 4 + 1 = 34

Рис. 6.5. Процесс оптимальной обработки

55

Время простоя определяется графически. В некоторых частных случаях алгоритм Джонсона применяется и для решения задач, требующих трехэтапного обслуживания. Это можно сделать, когда соблюдается одна из следующих систем неравенств:

1) максимальное время обработки изделия на первой машине больше или равно максимальному времени обработки изделия на второй машине:

Класс задач, к которым применяется алгоритм Джонсона, ограничен. Решение же методом прямого перебора всех возможных вариантов уже при 10 изделиях требует более 3 млн переборов. В некоторых задачах упорядочения для решения можно использовать методы линейного и динамического программирования.

6.4. Задача о назначении

Задача о назначении в общем виде формулируется так.

Пусть имеется n работ и n кандидатов для выполнения этих работ, назначение кандидата i на работу j связано с затратами Cij .

Требуется найти назначения кандидатов на все работы, дающие минимальные суммарные затраты: при этом каждого кандидата можно назначить только на одну работу, и каждая работа может быть занята только одним кандидатом.

Это типичная экстремальная задача комбинаторного вида, ее решение путем прямого перебора практически невозможно при сколько-нибудь больших n , так как число перестановок

N = n !

Постановка задачи и выбор критерия. Пусть для монтажа четырех объектов (n = 4)

требуется четыре крана (n = 4). Из отчетных данных известно, какое время необходимо каждому крану Ai для монтажа объекта B j .

Нужно так распределить краны по объектам чтобы суммарное время на монтаж этих объектов было минимально. В нашем случае Cij – затраты времени Ai -го крана при монтаже объектов B j .

Примечание: di – минимальный элемент строки.

56

Так как каждый кран можно распределить (назначить) только на один объект и на каждом объекте может работать только один кран, то введенные переменные xij должны подчиняться двум

условиям:

i=1

Построение математической модели. Критерий оптимизации – суммарное время монтажа четырех объектовΥ математически можно записать:

Нужно найти xij , удовлетворяющие двум вышеприведенным условиям.

Исследование математической модели. Для решения задачи о назначении имеется насколько методов. Самый распространенный – венгерский метод.

Основной его принцип – оптимальность решения задачи о назначении – не нарушается при уменьшении (увеличении) элементов строки (столбца) на одну и ту же величину di (d j ).

Алгоритм метода включает следующие основные этапы:

1. Получение нулей в каждой строке, для чего найти наименьший элемент в каждой строке di (табл. 6.4) и вычесть его из всех элементов, получаем новую матрицу (табл. 6.5), аналогично делается для каждого столбца (табл. 6.6).

57