2.Поиск оптимального решения. Для поиска оптимального решения необходимо рассмотреть сначала одну из строк табл. 6.6, имеющую меньше нулей. Отметить точкой одни из нулей этой строки и зачеркнуть все остальные нули этой строки и того столбца, в которых находится этот нуль. Аналогичные операции последовательно проводятся для всех строк. Если назначения, которые получены при всех нулях, отмеченных точкой, являются полными (т.е. число нулей, отмеченных точкой, равно n), то решение является оптимальным, в противном случае переход к следующему этапу.

3.Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих нули. Для этого необходимо отметить точкой:

а) все строки, в которых не имеется ни одного отмеченного точкой нуля (табл. 6.6); б) все столбцы, содержащие перечеркнутый нуль, хотя бы в одной из отмеченных точкой

строк (столбец 3, табл. 6.5, 6.6); в) все строки, содержащие отмеченные точкой нули, хотя бы в одном из отмеченных точкой

столбцов (табл. 6.5, 6.6).

Действия б) и в) повторяются поочередно до тех пор, пока есть, что отличать. После этого необходимо зачеркнуть каждую непомеченную строку и каждый непомеченный столбец (цель этого этапа – провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих, по крайней мере, один раз все нули).

4.Перестановка некоторых нулей. Взять наименьшее число из тех клеток, через которые не проведены прямые (в табл. 6.6 – это число 2). Вычесть его из каждого числа невычеркнутых столбцов

иприбавить к каждому числу вычеркнутых строк. Получим табл. 6.7.

Т а б л и ц а 6.7

Третий шаг метода

Эта операция не изменяет оптимального решения, после чего весь цикл расчета начинается с этапа 2 и продолжается до получения оптимального решения. В нашем случае число нулей, отмеченных точкой, оказалось равным 4, значит назначение является полным, а решение оптимальным. Клетки, отмеченные точкой, указывают объект монтажа для каждого крана.

Оптимальное решение может быть не единственным. Для нашей задачи минимальное значение целевой функции будет равно Υ = C11 +C22 +C33 +C44 = 3 + 4 + 2 +8 =17.

6.5. Модели линейного программирования. Общая линейная распределительная задача

Пусть предприятие может изготавливать изделия трех наименований П1, П2, П3. Известно, что для изготовления каждого изделия требуется три вида ресурсов. Объемы выпуска продукции измеряются в рублях.

58

Математическая модель задачи:

Будем характеризовать работу производства двумя параметрами: объемом выпуска продукции и ее качеством. Оценивать качество выпускаемой продукции одним числом очень трудно, а иногда невозможно. Для иллюстрации методов многопараметрической оптимизации примем, что качество оценивается трудоемкостью, измеряемой в единицах человеко-времени.

Требуется найти планы, оптимальные в смысле многопараметрической оптимизации.

6.4.1. Метод последовательных уступок

Суть метода заключается в том, что один из оптимизируемых параметров принимается в качестве целевой функции и задаются некоторые предельные значения граничных условий. Задача решается в нескольких вариантах, которые отличаются друг от друга предельно задаваемыми значениями.

Задавая в качестве целевой функции максимизацию объема выпуска продукции, при условии, что показатель ее качества должен быть не меньше заданного значения, получим:

59

Выводы:

1)повышение требований к качеству продукции приводит к уменьшению объема ее выпуска;

2)в зависимости от требований к качеству продукции меняется структура плана;

3)дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурсами.

Возможна другая постановка задачи. Можно максимизировать качество продукции при наложении ограничений на объем ее выпуска. Математическая модель будет иметь вид:

К1 = 9х1 + 7х2 + 10х3 → max 7х1 +12х2 +13х3 ≥ Обзад 0,2х1 + 0,3х2 + 0,4х3 < 35 0,5х1 + 0,4х2 + 0,3х3 < 42 0,6х1 + 0,8х2 + 1,2х3 <100 хj ≥ 0, j = 1,3.

Результаты решения задачи при различных значениях Обзад представлены в табл. 6.11. Выводы:

1)структура плана меняется;

2)повышение качества лимитирует ресурсы;

3)приреализации требований по увеличению объемавыпускаухудшается качество продукции;

4)в варианте 6 достигнуто полное использование всех ресурсов. При этом качество продукции оказывается на самом низком уровне.

Та б л и ц а 6.11

Результаты решения задачи для различных Обзад

Объединив результаты расчетов, можно построить зависимость объемов выпуска продукции от ее качества.

Значения Об расставлены по мере возрастания качества (К) продукции:

60

Многопараметрическая оптимизация. Многопараметрическая оптимизация представляет собой попытку найти некоторый компромисс между теми параметрами, по которым требуется оптимизировать решение.

Возможной реализацией такого компромиссного подхода является формирование специальной целевой функции.

Два метода, обеспечивающие получение компромиссных решений: а) компромиссная целевая функция; б) оптимизация в смысле многоцелевого программирования.

6.4.2. Компромиссная целевая функция

КЦФ должна удовлетворять следующим требованиям:

1) приведение параметров, имеющих как правило различную размерность, к безразмерной

форме;

2)возможность назначения относительной важности каждого параметра, что и определяет компромисс;

3)увеличение значения целевой функции для улучшающих параметров и уменьшение для ухудшающих параметров.

Пример целевой функции, удовлетворяющей этим требованиям:

k =1

где К – количество параметров, по которым производится оптимизация;

xкн – нормирующая величина, обеспечивающая безразмерность параметров;

αк – коэффициент веса, задающий степень компромисса.

Значение величины можно назначать различными способами. Наиболее распространены два способа.

В первом случае xкн = xк зад , где xк зад принимается из утвержденного документа, например,

технического задания.

Во втором случае, если заданной величины нет, можно решить задачу при максимизации этой величины:

Полученное в результате оптимизации значение xк принять за нормирующее, т.е.

xкн = x *к .

К

Коэффициенты веса назначаются при обеспечении условия ∑αк =1 с помощью экспертных

К=1

оценок, получение которых мы уже рассмотрели.

Рассмотрим применение метода на примере прежней задачи. Оптимизация проводится по двум параметрам: объему и качеству выпускаемой продукции. Целевую функцию можно записать следующим образом:

Е=α1 (Об/ Обн )+α2 (К / Кн )→ max .

Вкачестве нормирующих значений принимаем их максимальные значения, полученные в результате оптимизации отдельно по каждому параметру:

Обн = 1340 Кн = 1028

Получим модель:

Е = 1340α1 Об +1028α2 К → max

61