Тема 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

6.1.Модели теории очередей (массового обслуживания).

6.2.Модели управления запасами.

6.3.Задача упорядочения и согласования.

6.4.Задача о назначении.

6.5.Модели линейного программирования.

Число конкретных моделей принятия решений чрезвычайно велико, как и число проблем, для разрешения которых они разработаны. Рассмотрим некоторые наиболее распространенные их типы.

6.1. Модели теории очередей (массового обслуживания)

Модели массового обслуживания условно делят на модели анализа и модели синтезаоптимизации систем массового обслуживания.

Задачи анализа предполагают оценку эффективности функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках системы: структуре системы, дисциплине обслуживания, потоках требований и законах распределения времени их обслуживания. Задачи синтеза направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.

Систему массового обслуживания в общем виде можно представить как совокупность последовательно связанных между собой входящих потоков, требований на обслуживание, очередей, каналов обслуживания и выходящих потоков требований (рис. 6.1).

ооооо

ооооо

Рис. 6.1. Система массового обслуживания

Случайный характер входящего потока требований (машин, самолетов, пользователей и т.д.), а также длительности обслуживания каналом (станция техобслуживания, аэродром, ЭВМ и т.д.) приводит к образованию случайного процесса в системе, который необходимо исследовать.

Если изучены или заданы входящие потоки требований, механизм (число каналов, обслуживание, продолжительность обслуживания и т.д.) и дисциплина обслуживания, то это дает основание для построения математической модели системы.

В задачах анализа систем массового обслуживания в качестве основных показателей функционирования системы могут быть использованы:

1)вероятность простоя канала обслуживание Po ;

2)вероятность того, что в системе находится n требований, – Pn ;

3)среднее число требований, находящихся в системе (сфере обслуживания):

n=1

50

а) для разомкнутой системы: Точ = Nоч / λ,

где λ – интенсивность поступления потока требований в систему; б) для замкнутой системы: Точ = Nоч / ( λ (m − Nоч ) ),

n=0

8)среднее число занятых каналов обслуживания:

n=1

Имеется большое число разновидностей систем массового обслуживания. Самая простая – детерминированная одноканальная.

Пусть исследуется производственный процесс, в котором поступление требований происходит через равные промежутки времени tn = const (т.е. интенсивность потока поступления

возрастать) и что к началу обслуживания в системе имеется уже n требований. Определить, через какое время очередь исчезнет.

Основные особенности, взаимосвязи и количественные закономерности. Величину

Ψ = λ/ μ называют коэффициентом использования. Очередь будет бесконечно возрастать, если

Ψ >1; если же Ψ =1, то очередь будет иметь постоянную длину.

Схема рассматриваемой системы массового обслуживания представлена на рис. 6.2.

ООООО ОООООО О ООО

Рис. 2

Рис. 6.2. Система массового обслуживания

51

Это происходит до тех пор, пока tk > tn1 , после чего очередь исчезнет. Весь процесс

функционирование системы представим в аналитическом виде.

Построение математической модели. Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в виде:

В модели использована формула суммы геометрической прогрессии.

Чем ближе интенсивность потока λ к интенсивности обслуживания μ , тем через больший промежуток времени исчезнет очередь (при λ/ μ <1). Членом Ψk +1 можно для упрощения расчетов пренебречь, тогда T ≈ n /(μ −λ).

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.

Задача синтеза (оптимизации) одноканальной замкнутой системы массового обслуживания формулируется следующим образом.

Пусть известны характеристики канала обслуживания и характеристики требований, поступающих на обслуживание. Требуется определить оптимальную структуру системы, т.е.

оптимальное число требований mопт , необходимых для обслуживания канала, чтобы эффективность

системы была максимальной.

В качестве критерия оптимизации могут быть приняты удельные приведенные затраты, характеризующие затраты всей системы на одно обслуживание.

6.2. Модели управления запасами

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

1)необходимость гарантирования бесперебойного питания производственного процесса с целью обеспечения его непрерывности;

2)периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;

3)особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъемности транспортных средств и размеров потребления);

4)несовпадение ритма производства и поставок производственных ресурсов с ритмом их потребления.

52

Задача управления запасами в общем случае формируется так.

Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является сумма издержек на хранение и поставку ресурсов.

В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам линейного программирования, общих методов решения которых нет.

Существует множество постановок задачи управления запасами.

Рассмотрим самую простую: однопродуктовую детерминированную задачу управления запасами.

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации. Пусть месячная потребность предприятия в каком-либо материале (песке, щебне, цементе и т.д.) составляет Q условных единиц. Расход этого материала во времени происходит равномерно. Необходимо определить: каков должен быть размер поставки материалов, чтобы суммарные затраты на создание и хранение запаса были минимальны.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.

Обозначим Cx затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, а CD – затраты на доставку

партии материалов. Пусть затраты CD не зависят от количества материалов в поставляемой партии.

Предполагается, что все партии состоят из одинакового числа единиц материала, S – величина поставок.

Движение запасов в течение времени Т (месяца) можно изобразить графически:

t – промежуток времени (период) от момента поставки партии материала до момента ее израсходования.

S

Рис. 6.3. Движение запасов (мгновенное время пополнения запасов)

Количество необходимых поставок партии для удовлетворения месячной потребности в материале:

Построение математической модели. Суммарные месячные расходы на хранение материала и доставку за период Т.

53