- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
2.3. Классические методы исследования функций
Такие методы предусматривают собой известные методы дифференциального исчисления.
Экстремум целевой функции f(х) находят из необходимого условия его существования, состоящего в том, что производная в точке экстремума равна нулю. Тогда оптимальное решение x* можно найти из системы уравнений
.
Для того чтобы определить, является ли x* точкой максимума или минимума, используют достаточные условия существования экстремума, согласно которым: если производная в точке экстремума меняет знак с плюса на минус, то f(x*) есть максимум целевой функции; если производная в точке экстремума меняет знак с минуса на плюс, то f(x*) есть минимум целевой функции.
Если представленные уравнения нелинейные, то решить их систему аналитическим путем удается крайне редко. В этих случаях используют ЭВМ и соответствующие численные методы или методы нелинейного программирования. В последнем случае задачу решения системы сводят к задаче минимизации функции:
.
Рассматриваемые методы исследования функций классического анализа можно использовать для решения относительно несложных задач оптимизации без ограничений. Однако большинство инженерных задач связано с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру нахождения оптимума. Однако при наличии ограничений даже может нарушаться условие, в соответствии, с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом.
Например, безусловный минимум функции f(x) = (x-2)2 имеет место в стационарной точке x = 2. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точкаx=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f(x), так как
2.4. Метод множителей лагранжа
Рассмотрим общую задачу оптимизации, содержащую несколько ограничений в виде равенств:
минимизировать f(x) при ограничениях (x)=0, j=1,…, к.
Эта задача может быть решена как задача безусловной оптимизации, полученная путем исключения из целевой функции k независимых переменных с помощью заданных равенств. Наличие ограничений в виде равенств фактически позволяет уменьшить размерность исходной задачи с n до n-k. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Минимизировать f(x)= при ограничении g(x)=
Исключив переменную x3 с помощью уравнения g(x)=0, получим оптимизационную задачу с двумя переменными без ограничений
f(.
Метод исключения переменных применим лишь в тех случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно разрешить относительно некоторого конкретного набора независимых переменных. При наличии большого числа ограничений в виде равенств процесс исключения переменных становится весьма трудоемкой процедурой. Кроме того, возможны ситуации, когда уравнения не удается разрешать относительно переменной. В частности, если в приведенном примере ограничения g(x)=0 задать в виде g(x)=++, то получить аналитическое выражение какой-либо из переменных через другие не представляется возможным. Таким образом, при решении оптимизационных задач, содержащих сложные ограничения в виде равенств, целесообразно использовать метод множителей Лагранжа.
С помощью этого метода находят необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничением в виде равенств. При этом задача с ограничением в виде равенств преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации.
Рассмотрим задачу, имеющую несколько ограничений в виде равенств:
минимизировать f(x)при ограничениях (x)=0, приj=1,2,…., k.
В соответствии с методом множителей эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:
минимизировать L(x,)=f (x)-,
где L(x, )- функция Лагранжа,- множители Лагранжа.
На знак никаких требований не накладывается.
Приравниваем частные производные L(x, )поx к нулю, получаем следующую систему n уравнений сnнеизвестными:
…,
Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств:
(x)=0,
(x)=0,
……...
(x)=0.
Решение расширенной системы, состоящей из n+k неизвестных, определяет стационарную точку функции L.