- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
Примеры, представленные выше, показывают, что метод геометрического программирования может быть отнесен к разряду аналитических, хотя и требует решения системы нескольких нелинейных уравнений при степени трудности, отличной от нуля. Это позволяет использовать полученные ММ и выражения для оптимизируемых параметров для широкого круга задач. Однако опыт проектирования показывает, что данный метод, к сожалению, не всегда целесообразен, поскольку иногда степень трудности слишком велика или задача сводится к анализу сигномов по обобщенному геометрическому программированию, который к настоящему времени не получил достаточного практического развития. Кроме того, при составлении ММ и ее решении может возникнуть ситуация, при которой требования алгоритма не выполняются. Следовательно, в этом случае необходимо пересмотреть вид ЦФ и/или ограничений. Тем не менее следующие примеры иллюстрируют возможные подходы для применения метода геометрического программирования.
3.1.8.1. Двухопорная цапфа
Маховик весом W, установленный на оси диаметром D, поддерживается двухопорной цапфой, изображенной на рис. 3.8. Требуется определить L и D таким образом, чтобы минимизировать момент трения вращающейся оси при допустимом зазоре на смазку.
Рис. 3.8. Конструктивная схема |
Момент трения для двух опор вычисляется по формуле
,
где k1 – константа, зависящая от вязкости применяемого масла; - угловая скорость вращения; - радиальный зазор, опре-деляемый как разность между радиусом цапфы и радиусом оси; e – эксцентриситет конструкции, определяемый как ,
где 0 < e < , а - верхний предел эксцентриситета конструкции; h0 – наименьшая толщина масляного покрытия при установившемся режиме работы механизма.
Ограничения на h0 налагаются следующими неравенствами :
,
где - минимальная толщина масляного покрытия.
Угол кручения оси должен быть не больше заданного мах, а его величина определяется по формуле
,
где k2 – константа, зависящая от точки приложения вращающего момента на оси.
Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
2С W.
Из гидродинамических соображений безопасная нагрузка на опоры определяется соотношением
,
где .
Таким образом, при заданных величинах мах необходимо найти такие параметры D, L, h0, чтобы минимизировать момент трения. Неизвестные обозначим следующим образом: x1 = D, x2 = L, x3 = h0. Поэтому модель оптимизации примет вид:
целевая функция ,
ограничения: 1) (1 – ē) δx3-1<1,
2) 1/(Qmaxk2)x1-1<1,
3) 2/ δ x4-1 x3 - 2/ δ2 x4-1 x32<1,
4) 2 k1ωπW/ δ2 x1-1 x2-3 - 2 k1ωπW / δ3 x1-1 x2-3 x3-1<1.
Определим степень трудности данной оптимизационной задачи:
d = n – m – 1,
где n = 7 – количество позиномов, входящих как в целевую функцию, так и в ограничения; m = 4 – количество неизвестных; поэтому
d = 7 –4 – 1 = 2.
Составим систему уравнений, первое из которых является условием нормализации, а остальные – ортогональности:
δ1 = 1,
3δ1 – δ3 – δ6 - δ7 = 0,
δ1 -3 δ6 -3 δ7 = 0,
-δ2 + δ4 + 2 δ5 - δ7 = 0,
-0,5 δ1 – δ4 – δ5 = 0.
Введем базисные переменные r1 = δ5, r2 = δ2; тогда
δ1 = 1,
δ2 = r2,
δ3 = 8/3,
δ4 = -1-r1 - r2,
δ5 = 0,5 + r1 + r2,
δ6 = 1/3 - r1,
δ7 = r1.
Решая систему нелинейных уравнений равновесия:
(-1 - r1 – r2)-1 r1(-1/5 - 2r1 -2 r2)2 (1/3 - 2 r1)2 (0,5 + r1 + r2) (1/3 - r1)-1 = 1/2δ2и
(-1 - r1 – r2)-1 (-1/5 - 2r1 -2 r2)2 (0,5 + r1 + r2) = (1- ē )/2,
найдем r1,r2. Подставляя найденные значения базисных переменных, можно определить значения двойственных переменных, по которым определяется значение двойственной функцииV(δ).
Анализ представленной ММ показывает, что данная задача относится к обобщенному математическому программированию, поэтому значение двойственной функции не является оценкой значения ЦФ. В связи с этим решение прямой задачи заключается в поиске стационарных точек двойственной задачи.
Следует отметить, что для решения обобщенных задач геометрического программирования разработано два типа методов: последовательные методы, использующие ряд аппроксимационных задач с помощью метода конденсации, и методы непосредственного решения в одном из эквивалентных видов, к которым относятся, например, экспоненциальный и дробно-геометрический с ограничениями в виде неравенств разных знаков.