- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
2.8. Геометрическое программирование
2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
Отсутствие универсального метода решения общей задачи нелинейного программирования послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. К таким методам относится и метод геометрического программирования, возникший и получивший развитие в связи с задачами инженерного проектирования.
Основное требование метода геометрического программирования состоит в том, чтобы и целевая функция, и ограничения были выражены в виде так называемых позиномов, имеющих вид:
(2.22)
где - произвольные вещественные числа.
Анализ известных формул расчета деталей машин, а также всевозможных условий прочности, жесткости, устойчивости и др., показывает, что большая часть из них выражается зависимостями вида (2.22). Именно это обстоятельство позволяет считать метод геометрического программирования удачным для решения задач оптимального проектирования объектов машиностроения.
По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое программирование имеет следующие преимущества:
позволяет выявить достаточно полную картину сравнительной значимости проекта и отдельных слагаемых частей целевой функции;
минимальное значение целевой функции находится до определения оптимальных значений параметров;
исходная задача с нелинейными целевой функцией и ограничениями сводится к двойственной задаче с нелинейной целевой функцией, но линейными ограничениями, решить которую легче, чем исходную задачу;
имеется возможность количественной оценки степени трудности решаемой задачи;
для реализации метода с применением ЭВМ можно разработать универсальный программный комплекс.
В общем случае исходную задачу геометрического программирования формулируют следующим образом: найти минимальное значение целевой функции f(x) при ограничениях , причем f(x) и левые части ограничений являются позиномами (2.22).
Одна из важнейших характеристик - степень трудности решаемой исходной задачи геометрического программирования – определяется из выражения
d = n-(m+1),
где п - общее число слагаемых членов во всех позиномах (в целевой функции и ограничениях); m - число оптимизируемых параметров.
Степень трудности решаемой задачи характеризуется:
при d = 0 – сложностью решения системы n линейных уравнений;
при d = 1 – сложностью решения одного нелинейного и системы n линейных уравнений;
при d > 0 – сложностью решения системы d нелинейных алгебраических уравнений и n линейных уравнений.
Подход к оптимизации позиномиальных функций основан на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднее арифметическое. Использование неравенства для средних привело к появлению термина геометрического программирования.
Проиллюстрируем метод геометрического программирования (ГП) в случае линейных ограничений.
Неравенство для средних позволяет заключить, что для произвольных положительных чисел и таких чисел, что, имеет место соотношение
, (2.23)
причем равенство достигается в случае . Полагая, можно переписать выражение (2.23) для любых величини,:
.
Неравенство обращается в равенство только тогда, когда .
Пусть . Тогда ЦФf(x) = .
Следовательно, .
Неравенство имеет место при любых , таких, что. Предположим, что имеет место соотношение:. Тогда неравенство сводится к системе соотношений:для всехприи.Поскольку неравенство может обращаться в равенство, можно получить
,