- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
3.1.8.2. Стержневая конструкция
В этой задаче необходимо составить математическую модель минимизации веса конструкции, представленной на рис. 3.9, и провести анализ различных случаев крепления стержней в точке С.
Рис. 3.9. Схема конструкции |
При проектировании необходимо учитывать следующие ограничения.
Р(S2 + x23)1/2 b3 x1 x2 x3, Р(S2 + x23)3/2 b4 x1 x2 x3(x21 + x22), где b3, b4 – известные параметры. |
Первым этапом в решении поставленной задачи является составление математической модели, которая имеет вид
целевая функция: f(x)=m=8 x1 x2(S2 + x23)1/2,
ограничения:
x3 b1,
x1x2-1 b2,
Р(S2 + x23)1/2 x1-1 x2-1 x3-1 b3,
Р(S2 + x23)3/2 x1-1 x2-1 x3-1(x21 + x22)-1 b4.
В соответствии с методом геометрического программирования ограничения переписываются в следующем виде:
x3 b1-11,
x1x2-1 b2-1 1,
Р(S2 + x23)1/2 x1-1 x2-1 x3-1 b3-11,
Р(S2 + x23)3/2 x1-1 x2-1 x3-1(x21 + x22)-1 b4-1 1,
а также для получения позиномов вводятся дополнительные ограничения:
S2 + x23,
x21 + x22.
Таким образом, ЦФ и ограничения в связи с принятыми дополнительными ограничениями примут вид:
1) жёсткое соединение узла С:
1) f(x)=8 x1 x2,
2) x3 b1-11,
x1x2-1 b2-1 1,
Р x1-1 x2-1 x3-1 b3-11,
Р x1-1 x2-1 x3-1 μ -1 b4-1 1,
S2 + x23,
x21 + x22;
2) шарнирное соединение узла С:
1) f(x)=8 x1 x2,
x3 b1-11,
x1x2-1 b2-1 1,
Р x1-1 x2-1 x3-1 b3-11,
S2 + x23,
x21 + x22.
Определение степени трудности двух задач осуществляется по формуле
d=n – m – 1,
где n – общее количество позиномов; m – количество оптимизируемых параметров.
Следовательно, для различных вариантов соединения стержней параметр d имеет следующие значения:
жёсткое соединение узла С: d=9 – 6 – 1=2;
шарнирное соединение узла С: d=8 – 6 – 1=1.
Далее строится матрица экспонент:
1) жёсткое соединение узла С:
2) шарнирное соединение узла С:
С помощью представленных матриц, из условий нормализации и ортогональности составляется система уравнений, имеющая следующий вид:
1) жёсткое соединение узла С:
2) шарнирное соединение узла С:
.
Так как количество уравнений в обоих случаях меньше количества неизвестных, то необходимо замкнуть систему введением уравнений равновесия, количество которых равно числу степени трудности d:
где bi(0) – вектор нормализации; bi(j) – вектор невязки; ri – базисная переменная (их количество равно числу d).
Составляется двойственная функция:
1) жёсткое соединение узла С:
2) шарнирное соединение узла С:
Итак, введение дополнительных переменных и ограничений позволило привести задачу в обоих случаях нагружения к такому виду, который позволяет применить обычный алгоритм метода геометрического программирования.