- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
Задания для самостоятельной работы
Найти безусловный экстремум методами покоординатного и наискорейшего спусков:
1. f(x) = 7x12 + 2x1x2 + 5x22 + x1 – 10 x2
Mo = (0; 0)
ε = 0.01
2. f(x) = 3x12 – 3x1x2 + 4x22 – 2x1 + x2
Mo = (1; –1)
ε = 0.01
3. f(x) = x12 + 4x1x2 + 17x22 + 5 x2
Mo = (1; –1)
ε = 0.01
4. f(x) = 4x12 + 4x1x2 + 6x22 – 17 x1
Mo = (5; –1)
ε = 0.01
5. f(x) = 2x12 – 2x1x2 + 3x22 + x1 – 3x2
Mo = (1; 1)
ε = 0.01
6. f(x) = 10x12 + 3x1x2 + x22 + 10x2
Mo = (0; –10)
ε = 0.01
7. f(x) = x12 – 2x1x2 + 6x22 + x1 – x2
Mo = (–1; 1)
ε = 0.01
3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
Чаще всего используется, когда ограничения имеют вид равенств.
Метод неопределенных множителей Лагранжа
Некоторые сведения из математики.
1. Неявно заданная функция.
Говорят, что функция y(х) задана неявно, если эта функция входит в выражение F(x,y) = 0. Например, x2 + y2 – R2 = 0.
2. Производная неявно заданной функции.
3. Сложная функция.
Функция F является сложной, если она зависит от переменной у, а у, в свою очередь, зависит от переменной х:
4. Производная сложной функции:
5. Разновидность сложной функции:
Вывод формул. Найдем решение для следующей задачи:
Целевая функция F = f(x1, x2) min,
ограничение: g(x1, x2) = 0,
где f и g – нелинейные функции.
Выразим из g(x1, x2)= 0 переменную x2: x2= (x1).
Подставим x2 в целевую функцию: F = f [x1, (x1)]. Найдем экстремум функции одной переменной F = f [x1, (x1)]. Для этого найдем производную функции F и приравняем ее к нулю
Произведем обратную подстановку х2 вместо :
где –производная от неявно заданной функциих2. Воспользовавшись формулой производной от неявно заданной функции, получим:
Введем обозначение:
(3.18)
В результате этих преобразований получена следующая система уравнений:
{домножили выражение (3.18) на }, (3.19)
Введем функцию L = f(x1, x2) + g(x1, x2). Тогда ранее полученная система уравнений (3.19) – это частные производные функции L по всем переменным (x1, x2, ), приравненные к нулю. Эта система уравнений и есть условие существования экстремума.
Здесь L – функция Лагранжа, – неопределенный множитель Лагранжа.
Таким образом, задача поиска условного экстремума с ограничениями-равенствами сводится к задаче поиска безусловного экстремума функции Лагранжа.
Общая постановка задачи.
(3.20)
Алгоритм метода.
1. Составляется функция Лагранжа
где n – количество основных переменных, m – количество неопределенных множителей Лагранжа.
2. Находятся частные производные функции Лагранжа по переменным и приравниваются к нулю:
3. Находится решение полученной системы и определяется вид экстремума.
Пример 1.
Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность радиуса R.
Возьмем на окружности точкуА(х, у), тогда математическое описание задачи примет следующий вид:
S = 4xy max;
x2 + y2 – R2 = 0;
x, y 0.
1. Составим функцию Лагранжа: L = f + g = 4xy + (x2 + y2 – R2).
2.
Решим систему уравнений.
3. Из первого уравнения: .
Подставляем во второе уравнение: 4x – 2x = 0; x(4 – 2)= 0;
x = 0, 1 =2, 2 = –2.
Корень х =0 не удовлетворяет условиям задачи. По аналогичной причине отбрасываем корень 1:
1 = 2: y = – x/2 = – 2х/2 = –x 0.
2 = –2: y = – x/2 = x.
4. Оставляем корень 1 = 2.
Подставив в третье уравнение системы, получаем.
Пример 2.
Найти точку на прямой 2x1 + 3x2 = 1, квадрат расстояния от которой до точки (1; 2) минимален.
Решение.
Составляем целевую функцию и ограничения
(x1 – 1)2 + (x2 – 2)2 min
2x1 + 3x2 – 1= 0, где x1, x2 – точки, принадлежащие прямой,
2x1 + 3x2 = 1.
2. Составляем функцию Лагранжа
L = (x1–1)2 + (x2–2)2 + λ (2x1 + 3x2 – 1).
3. Находим частные производные по переменным функции Лагранжа и приравниваем их к нулю.
4. Решается полученная система уравнений.
Ответ: