Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
147
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

Задания для самостоятельной работы

Найти безусловный экстремум методами покоординатного и наискорейшего спусков:

1. f(x) = 7x12 + 2x1x2 + 5x22 + x1 – 10 x2

Mo = (0; 0)

ε = 0.01

2. f(x) = 3x12 – 3x1x2 + 4x22 – 2x1 + x2

Mo = (1; –1)

ε = 0.01

3. f(x) = x12 + 4x1x2 + 17x22 + 5 x2

Mo = (1; –1)

ε = 0.01

4. f(x) = 4x12 + 4x1x2 + 6x22 – 17 x1

Mo = (5; –1)

ε = 0.01

5. f(x) = 2x12 – 2x1x2 + 3x22 + x1 – 3x2

Mo = (1; 1)

ε = 0.01

6. f(x) = 10x12 + 3x1x2 + x22 + 10x2

Mo = (0; –10)

ε = 0.01

7. f(x) = x12 – 2x1x2 + 6x22 + x1 x2

Mo = (–1; 1)

ε = 0.01

3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами

Чаще всего используется, когда ограничения имеют вид равенств.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Некоторые сведения из математики.

1. Неявно заданная функция.

Говорят, что функция y(х) задана неявно, если эта функция входит в выражение F(x,y) = 0. Например, x2 + y2R2 = 0.

2. Производная неявно заданной функции.

3. Сложная функция.

Функция F является сложной, если она зависит от переменной у, а у, в свою очередь, зависит от переменной х:

4. Производная сложной функции:

5. Разновидность сложной функции:

Вывод формул. Найдем решение для следующей задачи:

Целевая функция F = f(x1, x2)  min,

ограничение: g(x1, x2) = 0,

где f и g – нелинейные функции.

Выразим из g(x1, x2)= 0 переменную x2: x2= (x1).

Подставим x2 в целевую функцию: F = f [x1, (x1)]. Найдем экстремум функции одной переменной F = f [x1, (x1)]. Для этого найдем производную функции F и приравняем ее к нулю

Произведем обратную подстановку х2 вместо :

где –производная от неявно заданной функциих2. Воспользовавшись формулой производной от неявно заданной функции, получим:

Введем обозначение:

(3.18)

В результате этих преобразований получена следующая система уравнений:

{домножили выражение (3.18) на }, (3.19)

Введем функцию L = f(x1, x2) +  g(x1, x2). Тогда ранее полученная система уравнений (3.19) – это частные производные функции L по всем переменным (x1, x2, ), приравненные к нулю. Эта система уравнений и есть условие существования экстремума.

Здесь L – функция Лагранжа,  – неопределенный множитель Лагранжа.

Таким образом, задача поиска условного экстремума с ограничениями-равенствами сводится к задаче поиска безусловного экстремума функции Лагранжа.

Общая постановка задачи.

(3.20)

Алгоритм метода.

1. Составляется функция Лагранжа

где n – количество основных переменных, m – количество неопределенных множителей Лагранжа.

2. Находятся частные производные функции Лагранжа по переменным и приравниваются к нулю:

3. Находится решение полученной системы и определяется вид экстремума.

Пример 1.

Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность радиуса R.

Возьмем на окружности точкуА(х, у), тогда математическое описание задачи примет следующий вид:

S = 4xy  max;

x2 + y2R2 = 0;

x, y  0.

1. Составим функцию Лагранжа: L = f + g = 4xy +  (x2 + y2R2).

2.

Решим систему уравнений.

3. Из первого уравнения: .

Подставляем во второе уравнение: 4x – 2x = 0; x(4 – 2)= 0;

x = 0, 1 =2, 2 = –2.

Корень х =0 не удовлетворяет условиям задачи. По аналогичной причине отбрасываем корень 1:

1 = 2: y = – x/2 = – 2х/2 = –x 0.

2 = –2: y = – x/2 = x.

4. Оставляем корень 1 = 2.

Подставив в третье уравнение системы, получаем.

Пример 2.

Найти точку на прямой 2x1 + 3x2 = 1, квадрат расстояния от которой до точки (1; 2) минимален.

Решение.

  1. Составляем целевую функцию и ограничения

(x1 – 1)2 + (x2 – 2)2 min

2x1 + 3x2 – 1= 0, где x1, x2 – точки, принадлежащие прямой,

2x1 + 3x2 = 1.

2. Составляем функцию Лагранжа

L = (x1–1)2 + (x2–2)2 + λ (2x1 + 3x2 – 1).

3. Находим частные производные по переменным функции Лагранжа и приравниваем их к нулю.

4. Решается полученная система уравнений.

Ответ:

Соседние файлы в папке МОТС