- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
Постановка задачи:
граничные условия: y(x0) = y00, y(x1) = y10,
y(x0) = y01, y(x1) = y11, (4.27)
y(n–1)(x0) = y0 n–1, y(п–1)(x1) = y1 n –1.
Найти: функцию у(х), доставляющую экстремум функционалу.
Поиск решения будем вести на примере следующей задачи:
y(x0) = y00, y(x1) = y10, y(x0) = y01, y(x1) = y11.
Предположим, что экстремум функционала достигается при функции у(х). Дадим функции у(х) приращение у, тогда у получит приращение у, у – приращение у.
Наложим условие у = у = 0 в точках х0 и х1. Далее, аналогично функционалам, зависящим от производных первого порядка; найдем главное приращение функционала:
исходя из (4.5).
Проинтегрируем по частям:
fy y = 0, так как y = 0 в точках х0 и х1.
Последнее выражение также проинтегрируем по частям.
fy y = 0, так как y = 0 в точках х0 и х1.
Таким образом,
На функции, доставляющей экстремум функционалу:
Так как у ≠ 0, то fy – (fy )x +(fy)xx = 0.
Последнее выражение есть формула Эйлера-Пуассона для старшей степени производной 2.
Если функционал зависит от производной n-ой степени, то формула Эйлера-Пуассона примет следующий вид:
(4.28)
Условия Лежандра для определения типа экстремума:
если на интервале интегрирования
, то у(х) доставляет максимум функционалу,
, то у(х) доставляет минимум функционалу,
, то требуются дополнительные исследования на экстремум.
Пример 1.
Решение.
Запишем уравнение Эйлера-Пуассона:
Подставив в эти выражения граничные условия, получим искомую функцию y = x5 + x3 – x2.
Определение типа экстремума: следовательно, найденная функция доставляет функционалу максимум.
Пример 2.
Найти форму прогиба балки из условия минимума потенциальной энергии:
Решение.
1.
отсюда
2. Из начальных условий находятся константы:
3. Подставляются значения констант в функцию и получим:
Задание для самостоятельного решения
Дано:
– функционал, зависящий от функции, ее производной и аргумента функции;
– граничные условия;
– ограничения в виде определенного интеграла (в некоторых вариантах не задаются).
Требуется: решить задачу вариационного исчисления, то есть найти функцию, удовлетворяющую ограничениям и граничным условиям.
Методические указания
1. Для нахождения решения задачи вариационного исчисления использовать формулу Эйлера-Лагранжа.
2. Если в условие задачи в качестве ограничения входит определенный интеграл (изопериметрическая задача), то сначала составляется функция Лагранжа, которая затем подставляется в уравнение Эйлера-Лагранжа.
3. В изопериметрической задаче для нахождения постоянных интегрирования следует использовать граничные условия и ограничения в виде определенного интеграла.
4. Обозначения в задании:
x(t) – функция, которую требуется найти; t – аргумент;
1. экстр..
2. экстр..
3. экстр..
4. экстр..
5. экстр..
6. экстр..
7. экстр..
8. экстр..
9. экстр..
10.экстр..
11.экстр..
12.экстр..
13.экстр..
14.экстр..
15.экстр..
16.экстр..
17.экстр..
18.экстр..
19.экстр..
20.экстр..