- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
5.4. Задача о максимальном быстродействии
Постановка задачи.
Задан объект управления п-го порядка, характеристическое уравнение которого имеет вещественные неположительные корни. Ограничение на управление |u| 1. Цель управления – максимальное быстродействие:
Требуется найти u(t) – функцию управления объектом.
Решение будем проводить для объекта второго порядка. Положим, объект описывается следующим дифференциальным уравнением: a0+a1 +y = u.
Составим характеристическое уравнение:
где
Так как по условию задачи корни уравнения должны быть вещественными неположительными, то
A B и .
Применим принцип максимума Понтрягина. Пусть y1 = y, 1 = y2, подставим эти равенства в дифференциальное
. Выразим
Запишем систему дифференциальных уравнений в фазовых координатах:
Функция Гамильтона: .
В Н только одно слагаемое зависит от и, следовательно, это слагаемое должно стремиться к максимуму. Предположим, что 2 < 0, тогда из следует и = –1; если же 2 0, то и = 1. Таким образом и является знаковой функцией от 2.
Найдем функции i из системы дифференциальных уравнений:
Продифференцируем по t второе уравнение системы:
Заменим согласно первому уравнению системы:
Составим характеристическое уравнение:
Ранее было показано, что A B , следовательно, p1,2 0 и функция 2 будет выглядеть следующим образом:
Если С1 и С2 положительны, то график 2 (t) пройдет выше оси абсцисс, если С1 и С2 отрицательны, график пройдет ниже оси абсцисс, если С1 и С2 имеют разные знаки, то график 2 (t) пересечет ось один раз. Таким образом, график 2(t) пересечет ось абсцисс не более одного раза, следовательно, функция управления сменит свой знак не более одного раза (количество переключений функции управления 1). По аналогии, количество переключений функции управления объектом п-го порядка не превысит (п–1).
Теорема Фельдбаума об n интервалах:
Для объекта n-го порядка, имеющего неположительные вещественные корни, оптимальное по быстродействию управление представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющую на интервале управления не более (n–1) переключения с одной границы допустимой области до другой.
Пример.
Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.
Решение.
Уравнения в фазовых координатах:
2. Функция Гамильтона:.
, где
u – кусочно-постоянная функция, которая переключается не более одного раза, т.е. либо и = 1, либо и = – 1.
Предположим, и = 1, тогда:
Произвольно изменяя S1, можно построить семейство фазовых траекторий, соответствующих и = 1 (рис. 5.3). Стрелки на графиках указывают направление движения по траектории во времени. Направление определяется следующим образом: , следовательно, с увеличением времени растет и значение координаты y2.
Для и = – 1 аналогичным образом получаем
Меняя значение S2 , строим семейство фазовых траекторий для и = –1. В этом случае , т.е. со временем значение координаты y2 убывает. В соответствии с выше сказанным указано направление движения по траектории.
Рис. 5.3. Семейство фазовых траекторий к задаче
о максимальном быстродействии
В данной задаче требуется попасть из любой точки фазовой плоскости в начало координат. Траектории, проходящие через конечную точку (в данном случае через начало координат) образуют линию переключения (рис. 5.4). Допустим, начальная точка лежит выше линии переключения. Для этого случая сначала и = – 1, затем и = 1.
Рис. 5.4. Возможные траектории при движении к началу координат
Найдем время прихода в конечную точку. Для примера взята точка М0 на рис. 5.4.
Находим начальную и конечную траекторию движения. Для рассматриваемого случая начальная траектория y1 = –0,5y22 + S2, конечная траектория y1 = 0,5y22.
Подставляем координаты начальной точки y1(0) = y10, y2(0) = y20, в уравнения для фазовых координат при управлении и = –1, находим постоянные A1, A2, S2:
Нахождение времени переключения. Для этого используем равенство
y1 = 0,5 y22 (уравнение линии переключения):
Находим координат от точки переключения:
Находим коэффициенты K1 и K2, решив систему уравнений:
Находим время прихода в конечную точку из уравнения: