Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
313
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

5.4. Задача о максимальном быстродействии

Постановка задачи.

Задан объект управления п-го порядка, характеристическое уравнение которого имеет вещественные неположительные корни. Ограничение на управление |u|  1. Цель управления – максимальное быстродействие:

Требуется найти u(t) – функцию управления объектом.

Решение будем проводить для объекта второго порядка. Положим, объект описывается следующим дифференциальным уравнением: a0+a1 +y = u.

Составим характеристическое уравнение:

где

Так как по условию задачи корни уравнения должны быть вещественными неположительными, то

A   B  и .

Применим принцип максимума Понтрягина. Пусть y1 = y, 1 = y2, подставим эти равенства в дифференциальное

. Выразим

Запишем систему дифференциальных уравнений в фазовых координатах:

Функция Гамильтона: .

В Н только одно слагаемое зависит от и, следовательно, это слагаемое должно стремиться к максимуму. Предположим, что 2 < 0, тогда из следует и = –1; если же 2  0, то и = 1. Таким образом и является знаковой функцией от 2.

Найдем функции i из системы дифференциальных уравнений:

Продифференцируем по t второе уравнение системы:

Заменим согласно первому уравнению системы:

Составим характеристическое уравнение:

Ранее было показано, что A   B , следовательно, p1,2  0 и функция 2 будет выглядеть следующим образом:

Если С1 и С2 положительны, то график 2 (t) пройдет выше оси абсцисс, если С1 и С2 отрицательны, график пройдет ниже оси абсцисс, если С1 и С2 имеют разные знаки, то график 2 (t) пересечет ось один раз. Таким образом, график 2(t) пересечет ось абсцисс не более одного раза, следовательно, функция управления сменит свой знак не более одного раза (количество переключений функции управления  1). По аналогии, количество переключений функции управления объектом п-го порядка не превысит (п–1).

Теорема Фельдбаума об n интервалах:

Для объекта n-го порядка, имеющего неположительные вещественные корни, оптимальное по быстродействию управление представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющую на интервале управления не более (n–1) переключения с одной границы допустимой области до другой.

Пример.

Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.

Решение.

  1. Уравнения в фазовых координатах:

2. Функция Гамильтона:.

, где

u – кусочно-постоянная функция, которая переключается не более одного раза, т.е. либо и = 1, либо и = – 1.

Предположим, и = 1, тогда:

Произвольно изменяя S1, можно построить семейство фазовых траекторий, соответствующих и = 1 (рис. 5.3). Стрелки на графиках указывают направление движения по траектории во времени. Направление определяется следующим образом: , следовательно, с увеличением времени растет и значение координаты y2.

Для и = – 1 аналогичным образом получаем

Меняя значение S2 , строим семейство фазовых траекторий для и = –1. В этом случае , т.е. со временем значение координаты y2 убывает. В соответствии с выше сказанным указано направление движения по траектории.

Рис. 5.3. Семейство фазовых траекторий к задаче

о максимальном быстродействии

В данной задаче требуется попасть из любой точки фазовой плоскости в начало координат. Траектории, проходящие через конечную точку (в данном случае через начало координат) образуют линию переключения (рис. 5.4). Допустим, начальная точка лежит выше линии переключения. Для этого случая сначала и = – 1, затем и = 1.

Рис. 5.4. Возможные траектории при движении к началу координат

Найдем время прихода в конечную точку. Для примера взята точка М0 на рис. 5.4.

  1. Находим начальную и конечную траекторию движения. Для рассматриваемого случая начальная траектория y1 = –0,5y22 + S2, конечная траектория y1 = 0,5y22.

  2. Подставляем координаты начальной точки y1(0) = y10, y2(0) = y20, в уравнения для фазовых координат при управлении и = –1, находим постоянные A1, A2, S2:

  1. Нахождение времени переключения. Для этого используем равенство

y1 = 0,5 y22 (уравнение линии переключения):

  1. Находим координат от точки переключения:

  1. Находим коэффициенты K1 и K2, решив систему уравнений:

  1. Находим время прихода в конечную точку из уравнения:

Соседние файлы в папке МОТС