- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
2.5.1. Метод искусственного базиса
Суть метода. Вводятся искусственные переменные xn+1, xn+2,, xn+m. Эти искусственные переменные добавляются к левым частям ограничений:
(2.14)
Вводится искусственная целевая функция:
Искомые переменные исключаются из выражения искомой целевой функции, при этом искомая целевая функция оказывается выраженной через искомые переменные x1,…,xn.
Полученная задача приведена к каноническому виду. В ней искусственные переменные являются базисными. Далее эта задача решается симплекс-методом.
Чтобы ограничения остались прежними, в результате решения должны быть получены нулевые значения искусственных переменных и искусственной целевой функции.
Особенности решения: если в процессе решения искусственная переменная переходит из базисной в свободную, то столбец, соответствующий этой переменной, исключается из рассмотрения, т.к. эта переменная становится равной нулю.
Анализ полученного решения.
Оптимальное решение полученной целевой функции положительно.
В этом случае задача не имеет решения.
Оптимальное решение полученной целевой функции равно нулю и среди базисных переменных нет ни одной искусственной →
В этом случае исходные переменные оказались поделенными на две группы: свободные и базисные. После этого осуществляется переход к искомой целевой функции. Для этого в исходном выражении целевой функции базисные переменные выражаются через свободные.
Пример 1.
1. Вводим искусственные переменные ,,.
Искусственная целевая функция: ,
.
2. Составляем симплекс таблицу:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
6 |
3 |
0 |
2 |
0 |
–1 |
12 |
|
7 |
1 |
–1 |
1 |
0 |
0 |
5 |
|
8 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
6 |
|
|
5 |
1 |
–4 |
–1 |
1 |
–23 |
|
Далее по симплекс-методу находим разрешающий элемент (3). Меняем местами переменные x1 и x6, причем столбец, соответствующий x6, вычеркиваем из таблицы.
Новая симплекс-таблица:
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
0 |
2/3 |
0 |
–1/3 |
4 |
|
7 |
–1 |
1/3 |
0 |
1/3 |
1 |
|
8 |
0 |
1/3 |
1 |
1/3 |
2 |
|
|
1 |
–2/3 |
–1 |
–2/3 |
–3 |
|
Теперь свободной становится переменная x8, следовательно, вычеркивается соответствующий столбец.
|
2 |
3 |
5 |
|
|
1 |
0 |
2/3 |
–13 |
4 |
|
7 |
–1 |
1/3 |
1/3 |
1 |
|
4 |
0 |
1/3 |
1/3 |
2 |
|
|
1 |
–1/3 |
–1/3 |
–1 |
|
Из равноценных столбцов желательно выбрать такой, чтобы искусственная переменная стала свободной.
В результате всех преобразований получена таблица:
|
2 |
3 |
|
|
1 |
–1 |
1 |
5 |
|
5 |
–3 |
1 |
3 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные разделены на базисные и свободные.
3. Переход к исходной целевой функции:
Запишем ограничения, полученные из итоговой симплекс-таблицы:
Выразим базисные переменные через свободные и подставим эти выражения в целевую функцию:
В итоге получена начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.
|
2 |
3 |
|
|
1 |
–1 |
1 |
5 |
|
5 |
–3 |
1 |
3 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
|
|
–3 |
–2 |
–10 |
|
Пример 2.
1. Вводятся искусственные переменные ,,:
Искусственная целевая функция:
2. Составляется симплекс-таблица:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
7 |
6 |
–3 |
1 |
2 |
1 |
6 |
7 |
2 |
1 |
1 |
–1 |
2 |
|
0 |
–3 |
–4 |
–1 |
–15 |
Далее по симплекс-методу находится разрешающий элемент (1). Меняются местами переменные x3 и x7, причем столбец, соответствующий x7, вычеркивается из таблицы.
Новая симплекс-таблица:
|
1 |
2 |
4 |
|
5 |
–1 |
0 |
2 |
5 |
6 |
–7 |
–1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
–1 |
2 |
|
8 |
1 |
–5 |
–7 |
Теперь свободной становится переменная x6, следовательно, вычеркивается соответствующий столбец.
|
1 |
2 |
|
5 |
11/3 |
2/3 |
11/3 |
4 |
–7/3 |
–1/3 |
2/3 |
3 |
–1/3 |
2/3 |
8/3 |
|
–11/3 |
–2/3 |
–11/3 |
В результате всех преобразований получается таблица:
|
2 |
|
1 |
2/11 |
1 |
4 |
1/11 |
3 |
3 |
8/11 |
3 |
|
0 |
0 |
Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные делятся на базисные и свободные.
Переход к исходной целевой функции:
Записываются ограничения, полученные из итоговой симплекс–таблицы:
Выражаются базисные переменные через свободные и подставляются эти выражения в целевую функцию:
В итоге получается начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.
|
2 |
|
1 |
2/11 |
1 |
4 |
1/11 |
3 |
3 |
8/11 |
3 |
|
–2/11 |
–2 |